奧數(shù)入門知識(shí)之趣味數(shù)學(xué)

1、奧數(shù)入門知識(shí)之趣味數(shù)學(xué)1 .鐘聲小明家離火車站很近，他每天都可以根據(jù)車站大樓的鐘聲起床。車站大樓的鐘，每敲響 一下延時(shí)3秒，間隔1秒后再敲第二下。假如從第一下鐘聲響起，小明就醒了，那么到小明確切判斷出已是清晨6點(diǎn)，前后共經(jīng)過(guò)了幾秒鐘？分析與解 從第一下鐘聲響起，到敲響第 6下共有5個(gè)“延時(shí)”、5個(gè)“間隔”，共計(jì)（3+1） X5=20秒。當(dāng)?shù)?下敲響后，小明要判斷是否清晨 6點(diǎn)，他一定要等到“延 至 時(shí)3秒”和“間隔1秒”都結(jié)束后而沒(méi)有第7下敲響，才能判斷出確是清晨 6點(diǎn)。因此，答案應(yīng)是：（3+1） X6=24 （秒）。2 .越減越多同學(xué)們對(duì)這樣的問(wèn)題可能并不陌生士 ”一個(gè)長(zhǎng)方形被切去1個(gè)角,還

2、剩 幾個(gè)角？”這種題的最大特點(diǎn)是答案不唯一,要根據(jù)去掉的這個(gè)角的不同情 況來(lái)確定“剝角”的多少，以下3幅示意圖.表明了3種不同情況的3種不同答案 其中第3種情 況最有趣.長(zhǎng)方形原有4個(gè)角,切去了 1個(gè)角.反而多了 1個(gè)角.出現(xiàn)了越 減越多的情況,下面一道題的思考方法與上題類似，看你能否正確回答軻3個(gè)第 剃4個(gè)角 軻5個(gè)第<1> 圖13“一個(gè)正方體，鋸埠一個(gè)角,還剃幾個(gè)角？ ”請(qǐng)注意，這里的“角”是 立體的“角”.它不同于平面上的角,分析與解 鋸捶角的情況有4種.因此剜角的答案也有4種，如14圖所 示）.正有7個(gè)角還有a個(gè)肅還有g(shù)個(gè)期還有io個(gè)角圖14如果有人問(wèn)你“會(huì)數(shù)數(shù)兒?jiǎn)幔?”,

3、你會(huì)不屑一顧地說(shuō)：“這么大了,還 不會(huì)數(shù)數(shù)兒！ ”其實(shí).數(shù)數(shù)兒的學(xué)問(wèn)還是很大的。不信.清你數(shù)出下面幾何 圖形的個(gè)數(shù)，明工有（ ）個(gè)長(zhǎng)方彬 有（ ）個(gè)怫彩圖15分析與解圖（1）中：邊長(zhǎng)1個(gè)單位的三角形有12個(gè)：邊長(zhǎng)2個(gè)單位的 三角形有6個(gè),邊長(zhǎng)3個(gè)單位的三角形有2個(gè)。一共有三角形20個(gè)。圖（2）中：先按公式,計(jì)算出邊長(zhǎng)8個(gè)單位的大正方形中，共有（V +22+32+42+52+62+72 + 82）=204個(gè)正方形：然后再分別計(jì)算左、右兩儡 各多出的一部分構(gòu)成13X2=26個(gè)正方形；最后計(jì)算出共有大、小不同的正方 形 204+26=230 個(gè)，圖 <3）中：共有長(zhǎng)方形（1+2 + A4+5）

4、 X （1*2*34-4） = 15X10=150 （個(gè)）。圖（4）中：共有梯形（1+2+3+4+5） X（1+2+3）=15X6=90 （個(gè)）。29.巧手?jǐn)[花壇有9個(gè)外觀完全相同的小球.其中只有一個(gè)重量輕一點(diǎn)兒現(xiàn)在要求你 用一架天平去稱，問(wèn)你至少稱幾次.才能找出較輕的球？如果是27個(gè)球“ 81個(gè)球中只有一個(gè)*交輕的球你知道至少稱幾次才能 找出那個(gè)較輕的球嗎？這里有規(guī)律嗎？分析與解9個(gè)球,至少稱兩次就可以找到那個(gè)較輕的球第一次1天平兩側(cè)各放3個(gè)球：如果天平平衡，說(shuō)明較輕的球在下面：如果不平衡.那么拾起 一側(cè)的3個(gè)球中必有輕球,第二次：從含有輕球的3個(gè)球中任選兩個(gè)，分別放在天平兩側(cè)如果平 衡，下

5、面的球是輕的；如果不平衡,抬起一側(cè)的球是輕的如果是27個(gè)球.至少需要稱3次口第一次：天平兩側(cè)各放9個(gè)球。如果平衡.說(shuō)明輕球在下面9個(gè)中；如果不平衡.抬起一惻的9個(gè)球中含有輕球電第二次、第三次與前面所說(shuō)9個(gè)球的稱法相同在這種用天平確定輕球，或重球：的智力即中，球的總個(gè)數(shù)與至少稱的 次數(shù)之間的關(guān)系是：若3"V球的總個(gè)數(shù)W3向,則（n+1）即為至少稱的次數(shù)例如，設(shè)有25個(gè)球.因?yàn)?2V25<3,所以至少稱3次：設(shè)有81個(gè)球.因?yàn)?3<81=3,所以至少稱4次28.最少拿幾次?晚飯后，爸爸、媽媽和小紅三個(gè)人決定下一盤(pán)跳棋。打開(kāi)裝棋子的盒子前，爸爸忽然用做？ ”小紅毫不猶15個(gè)，你

6、閉著眼睛3個(gè)大手捂著盒子對(duì)小紅說(shuō)：“小紅，爸爸給你出一道跳棋子的題，看你會(huì)不會(huì) 豫地說(shuō)：“行，您出吧？ ” “好，你聽(tīng)著：這盒跳棋有紅、綠、藍(lán)色棋子各 往外拿，每次只能拿1個(gè)棋子，問(wèn)你至少拿幾次才能保證拿出的棋子中有是同一顏色的？ ”匚，聽(tīng)完題后，小紅陷入了沉思。同學(xué)們，你們會(huì)做這道題嗎？分析與解 至少拿7次，才能保證其中有3個(gè)棋子同一顏色。我們可以這樣想：按最壞的情況，小紅每次拿出的棋子顏色都不一樣， 但從第4次開(kāi)始, 將有2個(gè)棋子是同一顏色。到第6次，三種顏色的棋子各有2個(gè)。當(dāng)?shù)?次取出棋子時(shí)，不管 是什么顏色，先取出的6個(gè)棋子中必有2個(gè)與它同色，即出現(xiàn)3個(gè)棋子同一顏色的現(xiàn)象。同學(xué)們，你們

7、能從這道題中發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題的規(guī)律嗎？如果要求有4個(gè)棋子同一顏色，至少要拿幾次？如果要求 5個(gè)棋子的顏色相同呢？學(xué)校門口修了一個(gè)正方形花壇， 花壇竣工時(shí)，大隊(duì)部在花壇旁掛出一塊小黑板， 上面 寫(xiě)著：“各中隊(duì)少先隊(duì)員：花壇修好了，同學(xué)們都希望管理這個(gè)花壇。哪個(gè)中隊(duì)的少先隊(duì)員 能做出下面兩道題，就請(qǐng)那個(gè)中隊(duì)的少先隊(duì)員負(fù)責(zé)管理這個(gè)花壇。 要在這個(gè)花壇的四周擺上16盆麥冬，要求每邊都是7盆，應(yīng)該怎樣擺? 還要在這個(gè)花壇四周擺上24盆用紅，要求每邊也是7盆，應(yīng)該怎樣擺?同學(xué)們，你會(huì)擺嗎？請(qǐng)你試試看。分析與解答案如下圖:圖29請(qǐng)你把18這八個(gè)數(shù)分別填入下圖所示正方體頂點(diǎn)的圓圈里，使每個(gè)面的4個(gè)角上的數(shù)之和都相

8、等。分析與解 做這種填數(shù)游戲，有兩種方法，一種是“笨”方法，即湊數(shù)的方法。分別 用這8個(gè)數(shù)去試，這種方法可行，但很費(fèi)事。另一種方法是用分析、計(jì)算的方法。這道題可 以分析、計(jì)算如下：在計(jì)算各個(gè)面上 4個(gè)數(shù)的和時(shí)，頂點(diǎn)上的數(shù)總是分屬 3個(gè)不同的面， 這樣，每個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)都被重復(fù)計(jì)算了 3次。因此，各個(gè)面上4個(gè)數(shù)的和為18這8個(gè) 數(shù)的和的3倍，即(1+2+3+.+8) X 3=108.又因?yàn)檎襟w有6個(gè)面，也就是每個(gè)面上的四 個(gè)數(shù)的和應(yīng)是108+ 6=18.18應(yīng)是我們填數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。如果在前面上填入1、7、2、8 （如圖31）,那么右側(cè)面上已有2、8,其余兩頂點(diǎn)只 能填3、5.以此類推，答案如圖31所

9、示。31.算算這筆賬小明哥哥的個(gè)體商店里，同時(shí)放著甲、乙兩種收錄機(jī)，售價(jià)都是990元。但是甲種收錄機(jī)是緊俏商品，賺了 10%;乙種收錄機(jī)是滯銷品，賠了 10%。假如今天兩種收錄機(jī)各售出一臺(tái)，小明哥哥的商店是賺錢了還是賠錢了 ？若賺了， 則 賺了多少？若賠了，則賠了多少？你會(huì)算這筆賬嗎？分析與解 賺了 10%后是990元，原價(jià)是：990+ （ 1 + 10%） =900 （元）更賠了 10淅是 990 元，原價(jià)是：990+ （ 1-10%） =1100 （元）那么兩臺(tái)收錄機(jī)，原來(lái)進(jìn)價(jià)為 900+ 1100=2000元，現(xiàn)在賣了 990X 2=1980元。因此，這個(gè)商店賣出甲、乙兩種收錄機(jī)各一臺(tái)，

10、賠了2000-1980=20 元。n 所學(xué)校.男生有5%的人體育燈達(dá)標(biāo)“，得了優(yōu)秀。這所學(xué)校的9是男生：在全?！斑_(dá)標(biāo)”獲優(yōu)秀的學(xué)生中, :是男生。問(wèn)女生“達(dá)標(biāo)”獲4優(yōu)秀的學(xué)生占全校學(xué)生總數(shù)的百分之幾？分析與解根據(jù)已知條件,狹體行“達(dá)林.優(yōu)勢(shì)的男生3全校人數(shù)的：X5%_ 3"Too"根據(jù)獲優(yōu)秀的學(xué)生中.:把男生,則女生占;。即男生占3份，女生44占1份.所以女生獲優(yōu)秀的占全校人數(shù)的備3 =焉=1%33.誰(shuí)得優(yōu)秀？六年級(jí)同學(xué)畢業(yè)前，凡報(bào)考重點(diǎn)中學(xué)的同學(xué)，都要參加體育加試。加試后，甲、乙、 丙、丁四名同學(xué)談?wù)撍麄兊某煽?jī)：甲說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么乙也得優(yōu)。”乙說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么

11、丙也得優(yōu)?！眱?nèi)說(shuō)：“如果我得優(yōu)，那么丁也得優(yōu)。”以上三名同學(xué)說(shuō)的都是真話，但這四人中得優(yōu)的卻只有兩名。問(wèn)這四人中誰(shuí)得優(yōu)秀？匚，分析與解 我們可以這樣想：如果甲得優(yōu)秀，那么乙、丙、丁都得優(yōu)秀，這與實(shí)際不符；如果乙得優(yōu)秀，則丙、丁也得優(yōu)秀，也與實(shí)際不符。因此，只能丙、丁得優(yōu)秀，才 符合實(shí)際情況。判斷結(jié)果是：丙、丁得優(yōu)秀。9.擴(kuò)大魚(yú)池24),喜獲豐收。為了進(jìn)養(yǎng)魚(yú)專業(yè)戶張強(qiáng)，去年承包了一個(gè)叫“金三角”的魚(yú)池(如圖 一步增產(chǎn)，決定把魚(yú)池?cái)U(kuò)大。但有這樣的要求：擴(kuò)大后的魚(yú)池必須仍是三角形，保持“金三角”魚(yú)池的稱號(hào)；擴(kuò)大后的魚(yú)池面積是原面積 的4倍；原魚(yú)池的三個(gè)角上栽的3棵大柳樹(shù)不能移動(dòng)。你能替張強(qiáng)設(shè)計(jì)一個(gè)施

12、工草圖 嗎？分析與解 草圖如圖25所示。我們只要過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，分別作它們所對(duì)的邊的平行線，兩兩相交，成一個(gè)大三角形，這個(gè)大三角形的面積是原三角形面積的 4倍。15 巧妙的算法（一）1'=122=1+332= 1*3+542 = 1+3+5+7請(qǐng)你仔細(xì)觀察上面這些算式,試著找出某種規(guī)律.并利用這個(gè)規(guī)律迅速 算出下面式子的答案：! 1 > 1+3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 152）1+3 + 5 + 7 + 9 + 11 +13+15 + 17+19 + 21+23 + 25+ 27 + 29 + 31 - 33 35+37 - 39分析與解由已知的算式1

13、2=122=1+332=1+3 + 5=1+3+5 1我們不難看出：5'=1型才為他95項(xiàng)=主讓了f打6” = 1型才5 4 V4 /夢(mèng)T才4（帆M更2）的答案為20項(xiàng)因此, < 1 J的答案為8 項(xiàng)數(shù)J的平方.即64； 數(shù)）的平方，即400卜11.巧妙的算法(二)13 + 23 =9 13+23+33 =36(1+2) 2=9(1+2+3) 2=36請(qǐng)你仔細(xì)觀察上面兩組算式.找出規(guī)律并迅速算出下面算式的答案：(1 ) 1323 + 33+43-F53 + 63-F73-»-83*93 + lO3(2) 13+23+33+ 203分析與解 求幾個(gè)數(shù)的立方和.一般總是先求

14、出各數(shù)的立方再相加。但 對(duì)于從1開(kāi)始的若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的立方和.我們可以從題中的兩組算式得 到啟發(fā)，找出規(guī)律.迅速算出它的答案：(1 ) 13+23+33+*103=(1+2+3+ 10) 2=552=3025：(2) 13+23+33+2()3二(1+2+3 + 20) 2=21()2二4410012.哪個(gè)分?jǐn)?shù)大？衣三個(gè)分?jǐn)?shù)111111111請(qǐng)你比較一下，哪個(gè)分?jǐn)?shù)大？分析與解在比較11111111111111111111的大小時(shí)，如果用先通分再比較大小的一般方法，就太麻煩了。我們知道,，而1的倒數(shù)2卻比!的倒數(shù)3小。就普遍的情況而言.一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大,這個(gè)分?jǐn)?shù)反而小。這 樣，要比較這三個(gè)分?jǐn)?shù)

15、的大小,只要比較它們的倒數(shù)就可以了。皿、的倒數(shù)是io一；11111 1111山-的倒數(shù)是10一111111 11111犒的倒數(shù)是I。焉因?yàn)?1 1 110< 10< 11111111111 1111所以,111111 11111 11111111111* 111111 1111113.想辦法巧算計(jì)算:1x2 2 x3 3x4998x999 999x1000分析與解計(jì)算這道題要是先通分再加，那實(shí)在是太困難了。我們可以 把這樣的分?jǐn)?shù)拆開(kāi):因?yàn)椋?7 = 1-1，1x2214.從1到100萬(wàn)大家對(duì)德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候的一個(gè)故事可能很熟悉了傳說(shuō)他在十歲的時(shí)候，老師出了一個(gè)題目：1+2+3

16、+99+10O的和是多少？老師剛把題目說(shuō)完，小高斯就算出了答案：這100個(gè)數(shù)的和是5050.原來(lái)，小高斯是這樣算的：依次把這100個(gè)數(shù)的頭和尾都加起來(lái)，即1 +100, 2+99, 3 + 98,，50+ 中 51,共50對(duì)，每對(duì)都是101，總和就是101X50=5050.現(xiàn)在請(qǐng)你算一道題：從1到 1000000這100萬(wàn)個(gè)數(shù)的數(shù)字之和是多少？注意：這里說(shuō)的“ 100萬(wàn)個(gè)數(shù)的數(shù)字之和”，不是“這 100萬(wàn)個(gè)數(shù)之和”。例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12這12個(gè)數(shù)的數(shù)字之和就是 1+2+ 3+ 4+5+ 6+7+8+9 +1 + 0+ 1+1+1+2=51.請(qǐng)你先仔細(xì)想想小

17、高斯用的方法，會(huì)對(duì)你算這道 題有啟發(fā)。分析與解 可以在這100萬(wàn)個(gè)數(shù)前面加一個(gè)“ 0”，再把這些數(shù)兩兩分組：999999和 0 999998和1 999997和2 999996和3依此類推，一共可分為50萬(wàn)組，最后剩下1000000 這個(gè)數(shù)不成對(duì)。各組數(shù)的數(shù)字之和都是 9+ 9+ 9+ 9+ 9+ 9=54,最后的1000000數(shù)字之和是1.所以 這100萬(wàn)個(gè)數(shù)的數(shù)字之和為：(54X 500000) +1=2700000115 .求數(shù)列的和你能用巧妙的方法,求出下列算式的結(jié)果嗎？注意.高斯求和的方法在 這里用不上。1111111 一+ + + + + + 241224406084222222(

18、、) 十 - / -3 15 35 63 99 143分析與解 這是兩道求數(shù)列和的計(jì)算踵,巧算的方法與第13題類似.要 根據(jù)每個(gè)數(shù)列中各個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，進(jìn)行"拆分”，使拆分成的新數(shù)列的中間部 分互相抵消，從而達(dá)到“巧”算的目的1 11 11 11 11 1 1 1 1原式=a-a)+(5-N+q-%)+tw)+q-石)+(行？+(f-£)iiiiiiiii i i i i=-+ 一 十-+ 一 一 + - .+.+.2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14=1 -=14 14(2)原式=(1 ：) + ( + /) +(卜) + (； -/)+(/ +5 +

19、 信一擊11 11 1 1 11 1T療5+5 亍 g+m+rra112=1 =13 1316 .不必大乘大除下面這道計(jì)算題.按一般運(yùn)算法則計(jì)算是很麻煩的。如果你能發(fā)現(xiàn)數(shù)字 的特點(diǎn).采用巧算,則這道題將變得很容易C請(qǐng)你不要用紙和筆.用腦子想 一想，就得出答案,行嗎？（限10秒鐘）19941994x 1994-1995x1993分析與解 根據(jù)分母的數(shù)字特點(diǎn).可用如下方法計(jì)算: 19941994X1994-1995X10031994 19942 -(1994 + 1) X (1994 -1)1994- 19942 -(19942 -!)19945= 19941994- -1994- +117.猜猜

20、是幾？一個(gè)三位數(shù),罵在一張紙上，倒過(guò)來(lái)看是正著看的1.5倍.正著看是倒 過(guò)來(lái)存的自。這個(gè)三位數(shù)是幾？3分析與解 這個(gè)三位數(shù)是666.其實(shí),只要你稍加思索,就可以想出來(lái)了。 這道題如果要求找一個(gè)一位數(shù),那就是6；找一個(gè)兩位數(shù).則是66；找一個(gè) 四位數(shù),則是6666.依此類推&18.完全數(shù)如果整數(shù)a能被b整除，那么b就叫做a的一個(gè)因數(shù)。例如，1、2、3、4、6都 是12的因數(shù)。有一種數(shù)，它恰好等于除去它本身以外的一切因數(shù)的和，這種數(shù)叫做完全數(shù)。 例如，6就是最小的一個(gè)完全數(shù)，因?yàn)槌?6以外的6的因數(shù)是1、2、3,而6=1+2+ 3.你能 在20至30之間找出第二個(gè)完全數(shù)嗎？分析與解20至3

21、0之間的完全數(shù)是28.因?yàn)槌?8以外的28的因數(shù)是1、2、4、7、14,而28=1+2+4+ 7+14.尋找完全數(shù)并不是容易的事。經(jīng)過(guò)不少更數(shù)學(xué)家 研究，到目前為止，一共找到了 23個(gè)完全數(shù)。第三、四個(gè)完全數(shù)是：496=1+2+4+8+ 16+31+62+ 124+248 8128=1 + 2 + 4+8+ 16+32+64+ 127+254+ 508+1016+ 2032+4064奇怪的是，已發(fā)現(xiàn)的23個(gè)完全數(shù)是偶數(shù)，會(huì)不會(huì)有奇完全數(shù)存在呢？至今無(wú)人能回答。完全數(shù) 問(wèn)題還是一個(gè)沒(méi)有解決的問(wèn)題。19.有這樣的數(shù)嗎？小明異想天開(kāi)地提出：“世界上應(yīng)該存在這樣兩個(gè)數(shù),它們的積與它們 的差相等。&qu

22、ot;他的話音剛落,就引起了同學(xué)們的哄堂大笑，大家都覺(jué)得這是 不可能的。但是，世界上有些事情往往產(chǎn)生于一些怪想法。小明的想法，后 來(lái)竟被同學(xué)們討論證實(shí)了。你能找到這樣的兩個(gè)數(shù)嗎？告訴你.這樣的數(shù)還不止一對(duì)呢！分析與解下面舉出幾個(gè)兩數(shù)的積等于兩數(shù)的差的實(shí)例：11111-X -=-23 2 3 611111-X = = 45 4 5 202 2 _ 2 2, 5- 7 = 5-7 = 353 3 3 3 9 .，、 4 7 4 7 28同學(xué)們.你可再試著找一些。20.兩數(shù)的積與兩數(shù)的和能相等嗎？數(shù)學(xué)課上小明偶然發(fā)現(xiàn)2X2=2 + 2。下課后,小明問(wèn)王老師：“2X2=2 + 2.這樣兩數(shù)的積等于兩數(shù)

23、的和的情況，還有嗎？ “王老師聽(tīng)后很高興地拍 著小明肩膀說(shuō)：“你能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中敏銳地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.提出問(wèn)題，這是很寶 貴的.希望你能保持這個(gè)優(yōu)點(diǎn)。你提的問(wèn)題在數(shù)學(xué)中不是偶然的現(xiàn) 象.還可以舉H；很多實(shí)例。例如，3X11=3 + 4，甚至還有三個(gè)數(shù)的積 等于這三個(gè)數(shù)的和.四個(gè)數(shù)的積等于這四個(gè)數(shù)的和.五個(gè)數(shù)的積等于這五個(gè) 數(shù)的和。這些現(xiàn)象近似于數(shù)學(xué)游戲，有興趣，你回去仔細(xì)想想,一定會(huì)找到 答案的。明天我們一起交換看法好嗎？ ”小明聽(tīng)后高興地接受了老師的建議.同學(xué)們，你們能找出這樣的數(shù)嗎？分析與解 下面是部分例子。兩數(shù)積二兩數(shù)和:11X1. 1=11+1. 11 13X1-=3+1t2 21 14Xl-

24、 = 4 + l-3 35X1 = 5 + 1 三數(shù)積二三數(shù)和：1 X2X3=l+2 + 3四數(shù)積二四數(shù)和：1 XI X2X4=1+l+2 + 4五數(shù)積二五數(shù)和：1X1X1X2X5 = 1+1+1+2+51 XI X1 X3X3F+1+1+3+31X1 X 2X2X2= 1+1+2+2+2其中，有關(guān)兩數(shù)積二兩數(shù)和的例子，可以找出無(wú)數(shù)組.請(qǐng)?jiān)僬页鲆恍?1.老路行不通五年級(jí)的時(shí)候.我們?cè)跀?shù)學(xué)課上就學(xué)習(xí)過(guò)計(jì)算與三角形有關(guān)的陰影部分 面積的方法.但下面這道題卻無(wú)法用習(xí)慣的方法解答.需要另辟蹊徑。這條 要走的“新路”所依靠的知識(shí)，仍然是最基本的：如果幾個(gè)三角形的底和高 都相等，那么它們的面積也相等。已

25、知：在aABC 中.BO5BD. AC=4EC. DG=GS=SE. AF=FG.求陰影部分的面積占AABC面積的幾分之幾？分析與解這道題若起來(lái)很像一道中學(xué)較復(fù)雜的幾何求解題。其實(shí)，只 需要一些小學(xué)最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以解答了。根據(jù)BC=5BD,可以知道，ZkABD的面積=（ZABC的面積；根據(jù)AC11 4= 4EC,可以知道.口£（：的而枳= ：z!ADC的面積=X=河（7的44 5面積= ；ZABC的面枳。依此類推.ADG的面枳= ：ZADE的面積= JJ:ZiABC的面積：ZiFGE的面積=；回（：,的面積。 JJ陽(yáng)影部分的面枳占ZFGE面積的1,即占回（3面積的:X ；=2。

26、22.關(guān)鍵在于觀察你在數(shù)學(xué)謖上學(xué)了不少幾何圖形的知識(shí),掌握了不少平面圖形的求面積 公式，但是有許多組合面積的計(jì)算.單靠這些知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，它更需要 對(duì)組合圖形的觀察能力一下面就是一道考查你的觀察能力的題目。試試看， 你能很快做出來(lái)嗎？已知圖內(nèi)各圖相切.小圓半徑為1.求陰影部分的面積圖27分析與解按一般的解港規(guī)律,要求面積.首先得確定所求的是什么圖 形,或是由什么圖形組合而成.而本題構(gòu)成陰影部分的圖形.卻是個(gè)不規(guī)則 的圖形口但仔細(xì)觀察,就能發(fā)現(xiàn)陰影部分是由兩部分組成的：下面是一個(gè)小 的半圓，上面是大的半圓減去2個(gè)小圓和3個(gè)小半圓的剩余部分的;*由此V可得到以下解法:I 、 *n 1 兒 *3陰

27、影部分而枳=k二X （下一223223 . 一筐蘋(píng)果入冬前，媽媽買來(lái)了一筐蘋(píng)果，清理時(shí)，發(fā)現(xiàn)這筐蘋(píng)果2個(gè)、2個(gè)地?cái)?shù)，余1個(gè)；3個(gè)、3個(gè)地?cái)?shù)，余2個(gè)；4個(gè)、4個(gè)地?cái)?shù)，余3個(gè);5個(gè)、5個(gè)地?cái)?shù)，余4個(gè)；6個(gè)、6個(gè)地?cái)?shù)，余5個(gè)。你知道這筐蘋(píng)果至少有多少個(gè) 囹 嗎？L分析與解 根據(jù)題目條件，可以知道，這筐蘋(píng)果的個(gè)數(shù)加 1,就恰好是2、3、4、5、6的公倍數(shù)。而題目要求“至少有多少個(gè)"，所以，蘋(píng)果的個(gè)數(shù)應(yīng)該是2、3、4、5、6的最小公倍數(shù)減去1. 2 , 3, 4, 5, 6=60 60-1=59即這筐蘋(píng)果至少有59個(gè)。24 .怎樣分？有44枚棋子，要分裝在1O個(gè)小盒中，要求每個(gè)小盒中的棋子數(shù)互

28、不相同，應(yīng)該怎樣分?分析與解無(wú)法分。因?yàn)橐胧惯@10個(gè)小盒中的棋子數(shù)互不相同，至少可使這 10個(gè)盒子中的棋子數(shù)分 別為0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;這樣共需要45枚棋子。而實(shí)際只有44枚棋子，因此，必有兩盒或兩盒以上的棋子數(shù)相同。圖2825 .不要急于動(dòng)手左圖是一個(gè)正方形，被分成6橫彳T, 6縱列。在每個(gè)方格中，可任意填入1、2、3中 的一個(gè)數(shù)字，但要使每行、每列及兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和各不相同，這可能嗎？為什么？分析與解不可能。這是因?yàn)槊啃小⒚苛泻蛢蓷l對(duì)角線都是由 6個(gè)方格組成的，那么數(shù)字之和最小是1X6=6,數(shù)字之和最大是 3X6=18.要想使各行、各列及對(duì)角線上的數(shù)字之和各不相

29、同，只能出現(xiàn)6、7、8、9、17、18至這13種數(shù)字和，但實(shí)際卻需要 6 （行）+ 6 （列）+ 2 （對(duì)角線）=14種不同的數(shù)字和。由此可知，要達(dá)到每行、每列及兩條對(duì)角線上的數(shù)字和各不相同是不可能的。26 .數(shù)字小魔術(shù)新年聯(lián)歡會(huì)上，同學(xué)們一致要求教數(shù)生的王老師出一個(gè)節(jié)目。王老師微笑著走到講臺(tái) 前說(shuō)：“我給你們表演一個(gè)數(shù)字魔術(shù)吧！”說(shuō)完，王老師拿出一疊紙條，發(fā)給每人一張，并 神秘地說(shuō)：“由于我教你們 數(shù)罡，所以你們腦子里的數(shù)也聽(tīng)我的話。不信，你們每人獨(dú)立地在紙條上寫(xiě)上任意4個(gè)自然數(shù)更（不重復(fù)寫(xiě)），我保證能從你們寫(xiě)的 4個(gè)數(shù)中，找出兩個(gè)數(shù)，它們的差能被 3整除?！蓖趵蠋煹脑捯粢宦?，同學(xué)們就活躍起

30、來(lái)。有的同學(xué)還說(shuō)：“我寫(xiě)的數(shù)最調(diào)皮，就不聽(tīng) 王老師的話。”不一會(huì)兒，同學(xué)們都把數(shù)寫(xiě)好了，但是當(dāng)同學(xué)們一個(gè)個(gè)念起自己寫(xiě)的4個(gè)數(shù)時(shí)，奇怪的事果真發(fā)生了。同學(xué)們寫(xiě)的數(shù)還真聽(tīng)王老師的話，竟沒(méi)有一個(gè)同學(xué)寫(xiě)的數(shù)例外， 都讓王老師找出了差能被3整除的兩個(gè)數(shù)。同學(xué)們，你們知道王老師數(shù)字小魔術(shù)的秘密嗎？分析與解其實(shí)，同學(xué)們寫(xiě)在紙條上的數(shù)字并不是聽(tīng)王老師的話，而是聽(tīng)數(shù)學(xué)規(guī)律的話。因?yàn)槿我庖粋€(gè)自然數(shù)被3除，余數(shù)只能有3種可能，即余0、余1、余2.如果把自 然數(shù)按被3除后的余數(shù)分類，只能分為3類，而王老師讓同學(xué)們?cè)诩垪l上寫(xiě)的卻是 4個(gè)數(shù)， 那么必有兩個(gè)數(shù)的余數(shù)相同。余數(shù)相同的兩個(gè)數(shù)相減（以大減?。┧玫牟睿?dāng)然能被

31、3整 除。王老師是根據(jù)數(shù)學(xué)基本性質(zhì)設(shè)計(jì)小魔術(shù)的。所以，只要我們刻苦學(xué)習(xí) 教宣，掌握規(guī)律， 也會(huì)在數(shù)學(xué)王國(guó)中創(chuàng)造出魔術(shù)般的奇跡。51.托爾斯泰的算題（一）托爾斯泰是19世紀(jì)末俄國(guó)的偉大作家。他對(duì)算術(shù)也很有興趣，還寫(xiě)過(guò)算術(shù)課本。他 特別喜歡表面復(fù)雜，但卻有簡(jiǎn)便方法解答的算題。下面就是托爾斯泰非常喜歡的“割草人”算題：“一隊(duì)割草人要收割兩塊草地，其中一 塊比另一塊大1倍。全隊(duì)在大塊草地上收割半天之后，分為兩半,一半人繼蝮留在大塊草地上.到傍說(shuō)時(shí)也 草割完：另一半人到小塊草地上割草,到傍晚還剩下一小塊沒(méi)割,剩下的一 小塊要第二天1個(gè)人用1整天才能割完問(wèn)割草隊(duì)共有幾人？”分析與解托爾斯泰本人是怎樣解算這

32、道題的呢？他認(rèn)為.既然大塊草 地上割草隊(duì)全體割了半天,接著全隊(duì)的一半人又割了半天。很明顯，這一半人在半天內(nèi)收割大塊草地的另一方面，小塊3草地相塊草地的; 以大塊草地為1.那么在小塊草地卜，隊(duì)人,4割了半天后剩下的草地為:二=而這剩卜的：，一個(gè)人一天割關(guān)r2 366,這說(shuō)明 個(gè)人割草的效率為天割K草地的工6大.小草地合起來(lái)是1+； = ：,割草隊(duì)割了一天總共割了2 22 6 6二 1xg.說(shuō)明割草隊(duì)共行8人。6托爾斯泰的解時(shí)十分巧妙說(shuō)明他算術(shù)功底很深-托爾斯泰還很注重算 術(shù)題的直觀解法.如下圖,左邊代表大塊草地,右邊代表小塊草地小塊草 地是大塊草地的邛.,個(gè)人*天初困此，用個(gè)正方形都代表兩個(gè)6人

33、一天所割的草 第一天一共割了四個(gè)正方形.說(shuō)明割草隊(duì)共有8個(gè)人圖341. 從甲地到乙地有2種走法，從乙地到內(nèi)地有 4種走法，從甲地不經(jīng)過(guò)乙地到內(nèi)地有3種走法，則從甲地到內(nèi)地的不同的走法共有 種.2. 甲、乙、丙3個(gè)班各有三好學(xué)生3, 5, 2名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選兩名來(lái)自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會(huì),共有 種不同的推選方法.3. 從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中一名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，一名同學(xué)參加下午的活動(dòng).有 種不同的選法.4. 從a、b、c、d這4個(gè)字母中，每次取出3個(gè)按順序排成一列，共有 種不同的排法.5. 若從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，則選派的方案有 種.6. 有a