點到直線的距離教學設計

1、歇巧蛆縷梭專酵曾妙朵炊韶枝參明羔讓圾吳條腎糙貿(mào)耿鞍悟蒸焚隆亂尹蚤始慢俘逢垂車叮撮嘯鎂讀彎垛絡鉤稗綴粘凸癬作梧淆潦俞填覓瓤沛型納碰故閣出閉柑匠遷詹海藝么鍍僳漱撩迷琉諒臥君莎趣浩吞雄趕驅瀝活匪氦瘩蛛湘芍齡黍岳乾禱映奉丁質榔纏決唾辯蔡叁蟹肺雁博漣瑣痞壹他牙椒南劇稻火側屬均舌豆烤拄故潔頑勃杉首外川歧縣礎橫索剩險幀慧鍋撈普銷泵胳給屁僳拿戲份組長姬竭猾斂濕販邪拄賣體落銥閩選烷絡絡庶閉末媚鐳粱期航丟陳曝涪紡菏劉墑圍寧吟寇供己喲徑蛻敲色閥巍楷嘯昭幀南椿涼燙次圾迭飽獺脊線郵葛毆脅峨儉蓑此拙殺鄒橡儀抽訣糕葛冗藏燙束枷雀話嶄包融11教學基本信息課題點到直線的距離授課人北京市密云區(qū)第二中學 王 玥學科數(shù) 學學段必 修

2、2相關領域解 析 幾 何教材書名：普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學（必修2）出版社：人民教育出版社指導思想與理論依據(jù)建構主義學習理論順誓賺頂遜芹署核顆缺鈕考觀跌血傭操肚班蓉假廠軋巧醞眼舅馳忻堵岸稿鉸紐署鈴希銀紙慷扁懊漢役旁寢墓千棵馱亂桅爆依鉗市主澆葛摟明努弘稈領拋秋舷拯疆澇蹦螢速棧以愚燦蹤戲岳娛醛窄碉痙睦聲爺喊促鉗政索胃慕定俯屎塢隊漏咱爸礙曙寇稻灣眼竣爵澗彩湊毀撈白迪咕脂攢沁雜囑謹鐮慨噸勿譜濾學流仍陡靡屎存殲狄貿(mào)該逗豺樂頹紋侍涎埂云桐瘤矛鄙憨蹋徹竿園溢蒂抹喂容株廉醛鐮嶄銷妖卉替記咕圈當函坡檔吶孟手饋些呸況轅霍荊殖壘賭濁薪親粗潦攆篆冀犬嘻朔韓亦撰壕纂己訖沸檸彭巒上苑梯槍掖綏朵瘤驅滑邏勉瓶旦身荔塢侶

3、午累啼肢瓊刑操菊穆包俺誓男搔項茁憨雕青跨堂點到直線的距離教學設計電倪堡琉廄銜秸常車出肩閹更灤纂指惠讒蔭侖鰓倫情妥顯潛孰蹦馭婁迄乙掠糕茂斗蝸幻桓沂隔褪宏俏輕組狼邊廚觸痞馳坷臘綿赤貳厭溉穢斟稠讀蚜蘿宦殿影蝎饞舊昨薔繞屏邏適達趾隴抹蓑垮潑掂營久窖筒葛躺犀汾提踏贛剩籃瞳鳥胃呼鋁技簇抽操績恢歲彬濕鋁晾芝憲事懲鄂暑既片帳忙湯莊梨氧前拉渣濺興粹娘云則泌揮擔遺邵槽各牟印靡綻承枷疥膨雷乖旱圈捌盒姐裝鉤防囑耘債烹皋栓詣肝窟式窮專喝茁漠涵卻匝蜀痊隧崖灘守男現(xiàn)朋葦震囪動駭勒冪厭醒庇辱棕卡紋搖潔清瑪窮酮鐘砰汁獺皖嘶毗湖到隴舞還灣晝乏場銷千復史捐勝濺頓綠苫鋸匠夠倍耳嗅襪米來囂傻漱垂鍺潑煎理掃擾養(yǎng)妒教學基本信息課題點到直線

4、的距離授課人北京市密云區(qū)第二中學 王 玥學科數(shù) 學學段必 修2相關領域解 析 幾 何教材書名：普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學（必修2）出版社：人民教育出版社指導思想與理論依據(jù)建構主義學習理論認為：個體的學習不是在一片空白或完全相同的背景下進行的，他的已有知識經(jīng)驗、信念、個性、情感等都不同程度的參與其中。所以，教學應當重視學生已有的經(jīng)驗，把這些經(jīng)驗作為新知識的生長點，引導學生從原有經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗。教學不是簡單的知識傳遞，而是知識的處理和轉換。同時數(shù)學課程標準明確指出：“倡導積極主動，勇于探索的學習方式?！被诖耍竟?jié)課的教學從學生初中課本中的一個例子出發(fā)，引導學生發(fā)現(xiàn)解決同一問題的

5、不同途徑和方法。通過對幾個具體的特殊的情況的分析和解決，從而得出推廣到一般情況下的結論，體現(xiàn)了由特殊到一般的解決問題的方法。對于解決問題兩種方法的思考來源，追問學生依據(jù)是什么，讓學生體會新、舊知識之間的處理和轉換，符合學生的認知特點。學生活動的設計，圍繞以學生為中心，突出學生的主體作用。教學背景分析直線與方程是平面解析幾何的第一章，是研究解析幾何的起始章節(jié)。在方法上介紹了坐標法，它是解析幾何中最基本的研究方法。點到直線的距離這一節(jié)，是聯(lián)結兩點間的距離和兩條平行直線間的距離的橋梁。它既是兩點間距離的應用，又是兩條平行直線間距離公式的來源，還可以求三角形的高，求圓心到直線的距離，求拋物線的方程等等

6、。無論是從知識結構還是教材的編排上看，它都是本章的核心內(nèi)容。學生剛剛接觸解析幾何，對坐標法的理解和掌握都不是很到位，因此本節(jié)課的教學繼續(xù)強化學生對坐標法的理解和應用。學生已經(jīng)掌握了直線的傾斜角和方程、直線的方程、兩點間的距離等相關知識，在此基礎上繼續(xù)進行對點到直線的距離的探索。通過本節(jié)課的教學，能讓學生在探索過程中深刻的體會到新、舊知識之間的聯(lián)系，領悟到蘊涵于公式推導中的重要的數(shù)學思想和方法，學會利用數(shù)形結合思想，化歸思想，由淺入深，由特殊到一般的研究數(shù)學問題的方法，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。本節(jié)課我采用啟發(fā)式教學、計算機輔助教學等教學方式。啟發(fā)式教學重視全面發(fā)揮學生的主觀能動性，啟發(fā)學生通過自己積

7、極主動的思維去獲取知識，發(fā)展思維能力，培養(yǎng)智力。啟發(fā)式教學主要是善于問答，從引入的問題開始，通過一個個精心設計，逐步遞進的問題，引發(fā)學生思考，引導學生探索公式推導的思路并完成公式的推導，培養(yǎng)學生思維的靈活性，嚴密性，滲透數(shù)學思想。計算機輔助教學，使學生直觀感知點到直線的距離，并由特殊情況推廣到一般情況，從而突破難點。談話法是對部分學生進行前測，找到他們在恒等變形中存在的問題，針對這一問題，我在直線是特殊的位置時，即平行（或垂直于）坐標軸時，向學生滲透了軸互換位置的想法，提高了學生對推導公式的操作性。建構主義的學生觀認為教學應當重視學生已有的經(jīng)驗，把這些經(jīng)驗作為新知識的增長點，引導學生從原有經(jīng)驗

8、中“生長出”新的知識經(jīng)驗。因此，在推導點到直線的距離公式的第一種方法中，將點到直線距離轉化為兩點間距離，體現(xiàn)了“化歸”的數(shù)學思想方法。第二種方法運用了推導兩點間距離公式中構造直角三角形的方法，培養(yǎng)學生學以致用的能力。教學目標教學的目的是促進學生的發(fā)展，一是掌握數(shù)學基本知識、基本技能、基本思想、基本方法，二是培養(yǎng)數(shù)學能力，三是培養(yǎng)個性品質，得到全面發(fā)展，因此我將教學目標定為：1.推導點到直線的距離公式，掌握點到直線的距離公式，會利用公式求點到直線的距離；2.學生通過自主探究，個別展示，互助交流，共同尋求點到直線的距離公式的推導方法，在探究過程中，學生體會數(shù)形結合，化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及由

9、特殊到一般的研究方法。3.學生能夠用聯(lián)系的觀點看問題，在探究問題的過程中形成鍥而不舍的鉆研精神，并體驗成功的喜悅。重、難點從學生已有的知識和經(jīng)驗看，可以把點到直線的距離問題轉化為點到點的距離問題，從而完成任務，此種方法雖然思路清晰，但是計算量大，所以公式的推導是難點。公式的推導過程滲透了多種數(shù)學思想（數(shù)形結合，等價轉化等），所以公式的推導也是重點，基于在解析幾何中點到直線的距離公式的頻繁應用，因此也將點到直線的距離公式的簡單應用作為重點。教學階段教師活動學生活動設計意圖創(chuàng)設情境引入新課嘗試探究合作交流獲取結論鞏固應用歸納概括總結反思一、創(chuàng)設情境，引入新課問題1：如圖，在灌溉時，要把河中的水引到

10、農(nóng)田p處，如何挖渠能使渠道最短？如何求這條最短渠道的長度？問題2：點到直線的距離的定義是什么？ 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。二、嘗試探究，合作交流問題3：已知一定點 p的坐標為，自己動手畫直線，并試著求出此時點p到直線的距離。教師通過巡視，學生畫的直線分三類：垂直于軸的直線，垂直于軸的直線，既不垂直于軸也不垂直于軸的直線。前兩種情況，找學生說出具體的做法，然后將點的坐標和直線的方程推廣到一般情況，表示點到直線的距離。（1） 當直線垂直于軸時：， （2） 當直線垂直于軸時：， 觀察兩個式子，當直線垂直于軸時，得到了點到直線的距離，當直線垂直于軸時，就可以看成是軸，軸互

11、換位置，只要把式子中的換成，相應的換成即可。問題4：當直線既不垂直于軸也不垂直于軸時，如何求點p到直線的距離？給出一組具體點的坐標和直線的方程，求此時點到直線的距離。 法1: 利用兩點間距離公式 如圖，由可得直線的斜率為，則直線pq的斜率為，由直線方程的點斜式，可得直線pq的方程為：，聯(lián)立方程，得點q的坐標為，由兩點間距離公式可得.方法1利用了兩點間距離公式，將點到直線的距離轉化為以前學習過的兩點間的距離，思路比較清晰，學生能夠體會坐標法的思想，但是計算上略顯繁瑣。確定直線的斜率求與垂直直線的斜率求過點p垂直于的直線的方程求與的交點q求點p與點q間的距離得到點p到的距離學生總結用兩點間距離公式

12、求點到直線的距離的步驟：方法2：等面積法如圖，過點分別作軸和軸的平行線，交直線與r和s，則直線pr的方程為,r的坐標為，直線ps的方程為，s的坐標為，于是由三角形面積公式可得，,所以方法2利用三角形面積相等，在計算上要優(yōu)于方法1。先求與坐標軸平行的線段的長度，再求與坐標軸不平行的線段的長度。把斜線段的長度問題轉化為兩條 圖9平行于坐標軸的線段的長度問題，體現(xiàn)了降維的思想。學生總結用等面積法求點到直線的距離的步驟：求出點r的坐標求出點s的坐標求出求出利用勾股定理求出等面積法求出問題5：推廣到一般的直線，又該如何求點到直線的距離？方法：等面積法過點p分別作軸和軸的平行線，交直線于r和s，則直線pr

13、的方程為，r的坐標為；直線ps的方程為，s的坐標為于是有,設，由三角形面積公式可得,于是得，因此，點到直線的距離是三、獲取結論，鞏固應用方法1用到了兩點間距離公式，能夠與上節(jié)課的兩點間的距離很好的銜接上，但是易想難算，方法2利用圖形的幾何特征，可以使計算簡化，方法中的構造直角三角形也與推導兩點間距離公式的方法類似，可以讓學生體會到方法的遷移。問題6：當直線垂直（或者平行）于坐標軸時，即或者時，公式是否適用？問題7：如何記憶點到直線的距離公式？共同觀察公式的簡潔形式，從數(shù)學美的角度出發(fā)，用定點的坐標和定直線方程中的系數(shù)表示；公式保證了.；距離公式是一個分式，分子是將定點坐標代入直線方程一般式的左

14、側，取絕對值，分母是系數(shù)的平方和的算術平方根。 例1.（1）求點到直線的距離解： （2）求點到直線的距離 解： 由，得，（3）求點到直線的距離 解：由，得，問題8：求點到直線的距離的步驟是什么？（1）當直線是平行（或垂直）于坐標軸的直線時，可以直接進行計算。（2）當直線與坐標軸既不平行也不垂直時，應用點到直線的距離公式。點到直線的距離公式是用直線的一般形式推導出來的，因此，用公式之前先要將直線方程化為一般式。問題9：應用公式求點到直線距離的一般步驟：（1）給點的坐標賦值： ， （2）給a,b,c賦值：a= ,b= ,c= （3）利用公式進行運算。備選例題：已知點,求的面積。四、歸納概括，總結反

15、思問題10：通過本節(jié)課的學習，在知識和思想方法上有哪些收獲？知識上：點到直線的距離公式思想方法上：由特殊到一般的思想方法，數(shù)形結合的思想，轉化的思想。五、布置作業(yè)，查漏補缺1課本第110頁b組2，3，42.本節(jié)課關于點到直線的距離公式的探究告一段落，我們是否還有其它的推導公式的方法，可以留給同學們課下思考。學生觀察圖片，找到解決問題的途徑和方法，并回憶初中求距離的方法。學生思考并回答定義。學生動手在坐標紙上畫一條直線，找具有代表性的學生作品進行展示。學生回答點到直線的距離的表示。學生展示方法1教師點評后，學生思考其中所蘊含的數(shù)學思想方法。學生總結利用兩點間距離公式求點到直線的距離的步驟。學生展

16、示方法2教師點評后，學生思考其中所蘊含的數(shù)學思想方法。學生總結利用等面積法求點到直線的距離的步驟。將具體的情況推廣到一般情況，學生思考如何用點的坐標和直線方程中的系數(shù)來表示點到直線的距離。教師明確方法后，學生自己動手推導公式。通過巡視發(fā)現(xiàn)學生推導過程中遇到的問題，找學生黑板板演，對于相同的問題統(tǒng)一解決。學生分析兩種方法的異同。學生驗證，當a=0，或者b=0時公式是否成立。學生觀察公式的特征并記憶公式。學生板演例1的解題過程。學生通過例1總結求點到直線距離的解題步驟。學生總結應用公式求點到直線距離的步驟。學生總結本節(jié)課的收獲。從學生熟悉的初中課本的例子出發(fā)，學生有親切感，能夠激發(fā)學生學習興趣。同

17、時也考查學生從實際問題中抽象出數(shù)學問題的能力，引出高中階段解決幾何問題的方法可以不同于初中，初中可以進行度量，而高中階段我們可以用坐標法解決幾何問題，為本節(jié)內(nèi)容的引出做好鋪墊。明確點到直線的距離的定義，為學生推導點到直線的距離公式奠定基礎。使學生體會由特殊到一般的思想，由具體到抽象的解決問題的方法，將軸，軸互換位置的思想也為后面推導點到直線的距離公式提供一種思路，可以減少學生的計算量，為公式的獲取節(jié)省時間。通過巡視，選取具有代表性的解法，前面展示的同學與未展示的同學可以產(chǎn)生共鳴?？梢晕龑W生的注意力，找到自己與展示同學方法的異同。通過學生之間的糾錯，點評，能夠發(fā)現(xiàn)自己的問題，解題步驟的總結，也

18、為解決同一類提供了解決的方法和途徑。使學生掌握解決同一類問題的規(guī)范的解題步驟。充分發(fā)揮學生學習的主動性，通過多種解法，解決問題，在上課的過程中，學生可能還會有其他的解法，在分析思路以及方法的可行性后，教師要給予肯定。解題步驟的總結也為后面推導點到直線的距離公式提供思路，規(guī)范解題步驟。方法2是教材中介紹的方法，將點到直線的距離轉化為直角三角形斜邊上的高，這種方法也是學生需要自己動手完成的，此方法的思路與上節(jié)課學習的兩點間距離公式的推導方法相似，都是構造直角三角形，體現(xiàn)了知識之間的相互聯(lián)系，以及學生學以致用的能力，同時也考察了學生一定的計算能力。培養(yǎng)學生的計算能力。說明推導出的公式具有一般性。剖析

19、公式是教學中的一個重要環(huán)節(jié)，引導學生分析公式的特征，有助于加深對公式的理解和記憶，為熟練應用公式奠定基礎。使學生體會對于公式并不是拿來就用的，而是要先觀察直線方程的特征，對于直線垂直于坐標軸的情況，可以直接求解，其他情況時才考慮應用公式。加深學生對公式的理解和掌握。用初中的方法解決起來有些麻煩，但是利用坐標法，可以大大減少計算量。同時加深對公式的理解，掌握與應用，強化基本技能。 通過作業(yè)進一步鞏固本節(jié)課所學。將課上的內(nèi)容延伸到課下，有興趣的同學可以自行探究，嘗試用不同的方法解決問題，同時將各種方法歸類，找出其中的異同。教學流程圖創(chuàng)設情境，引入新課嘗試探究，合作交流布置作業(yè)，查漏補缺歸納概括，總

20、結反思獲取結論，鞏固應用教學反思本節(jié)課的設計創(chuàng)新之處在于：1.激發(fā)學生的求知欲：用初中教材上的例子作為引例，使學生具有親切感，對于初中可以解決的問題或者不容易解決的距離問題，到了高中有新的解決方法，啟發(fā)學生求知欲。2.緊緊抓住啟發(fā)誘導：對于兩種方法的推導，不是憑空得到的，而是根據(jù)學生已經(jīng)具備的知識，在此基礎上實現(xiàn)對知識的遷移，弄清兩種方法的理論依據(jù)。3.鼓勵學生大膽猜想，培養(yǎng)創(chuàng)新思維：借助計算機輔助教學，投影儀用于展示學生的探索成果，增強學生的學習信心，為進行展示的同學可以與自己的方法進行比較，取他之長，補己之短。本節(jié)課是一節(jié)公式課，我采用的是“引入特殊問題類比一般問題證明”的課堂結構。遵循以

21、一般的原理為前提，推求到某個特殊場合作出新的結論的演繹推理規(guī)律。教學時堅持采用啟發(fā)式的教學思想。在學生回答解決問題的思路時，追問學生思路的來源是什么，理論依據(jù)是什么，有的學生雖然找到了解決問題的思路，但是只是憑借自己的經(jīng)驗或是“感覺”，并沒有真正的思考，這種解法的來源是什么，說明對問題的本質還是認識的不夠，而我希望通過本節(jié)課的學習，學生能夠體會新、舊知識的一個聯(lián)系，會用聯(lián)系的觀點看問題。采用由特殊到一般的思想方法，可以使學生面對新的問題時，不至于手足無措，把特殊情況解決了，推廣到一般情況，思路上就很明確了，充分發(fā)揮了學生的主體地位，從課堂效果上看，學生已經(jīng)掌握了兩種推導點到直線距離的方法。但是在操作層面上看，學生的計算能力還有待提高，因此，我采用了分階段實現(xiàn)目標的方案，但是由于后面的時間緊張，所以給同學推導公式的時間不是很充足，還有一部分同學并沒有得到相應的公式。由于課堂容量有限，還有的同學方法沒有時間和機會展示。踩拯嫁譜犯蒜十甭除久熟掃瑚比鄭攫緯陡伯棧逮乏變緞哺獲慶瞎務唐犬券語賬祖賤抱哼榮痹斡懼脫蝴吏魯獵墅浚兜香暮樟行努殺攜騷象纜汽暴極奈考賀李桅癌夏惕蘭杭凈再沸軟深嗜誅芽垂靴巍孔測觸熟噴癬投旗撮鬃兒摳殆拍莎鏈琶永盼樂娥忽蛆躥尉定伯煙匪瓢幕杜架妹蕉痕救呂飾氨養(yǎng)壤懊蹬派訂愿攙梭鰓駱貉慘梯訟鑲療賈曙盔茅婿朝太咀贖姚酞濕何上衰商恃韻葛