特征值特征向量.ppt

1、定義定義 1 1 設(shè)A為n階方陣，X是n維向量，如果 存在數(shù)l，使方程AX=lX有非零解，則稱l為矩陣A的特征值，相應(yīng)的非零解稱為A的屬于l的特征向量方程AX=lXAX-lX =O(A-lE)X=O特征值特征值: :使n元齊次方程AX=lX 有非零解的數(shù)l0A的對(duì)應(yīng)于l0的特征向量特征向量：的非零解方程XAX0l即不論l取何值，方程AX=lX一定有解43 矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量例如：對(duì) ，取 l=4，代入方程AX= lX1513A得 AX= 4X(A-4E)X=O5511400415134EA00551121xx00552121xxxx05502121xxxx(A-4E)

2、X= O021xx有非零解所以，l=4是矩陣A的一個(gè)特征值對(duì) ，取 ，得一個(gè)基礎(chǔ)解系021xx12x11V則方程(A-4E)X=O的全部解為：cccVc為任意常數(shù)A的屬于l=4 的特征向量：cccVc01、求、求n階方陣階方陣A的特征值：的特征值：數(shù)l0是A的特征值l0使方程AX= lX有非零解0 EAl因此 ：l0是A的特征值l0使 成立0 EAl的根是特征方程00EAll求求A的特征值步驟：的特征值步驟： (1) 計(jì)算n階行列式EAl解得方程的根l1，l2， ，ln，(2)0AEl令則l1， l2， ，ln即是A的特征值有非零解使方程OXEAll0有非零解元齊次方程組OXEAnl設(shè)nnnn

3、nnaaaaaaaaaA212222111211111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaallll1 2121 2111211112121222212221212121122 1 ()()() nnnnnnnnnnnnnnnj jjjjnjj jjnnaaaAAAaaaAAAAEaaaAAAA AAaaalllllll ( 1) nnnfll 則方程 即 是l的n次方程 0 EAl 0lnf在復(fù)數(shù)域上，方程 一定有 n個(gè)根。0 EAl EAl lnfA的特征多項(xiàng)式方程0 EAlA的特征方程定義定義 2 設(shè)A為n階方陣， 為其特征值組，則其特征方程可表示為：12,ml ll 12

4、120mkkkmllllll則 稱為 的代數(shù)重?cái)?shù)(重?cái)?shù))，而 特征子空間的維數(shù) 稱為幾何重?cái)?shù)(度數(shù))。ikilildimiidV顯然：12 miikkkndk解：令 ， 得 l1 =-1，l2 =7則A的特征值為l1 =-1，l2 =70AEl2354AElll2241567llll4532A【例1】求 的特征值2、求求A的屬于特征值的屬于特征值l l的特征向量的特征向量設(shè)li是A的特征值，則方程AX=li , X有非零解.即方程(A-liE)X=O有非零解，方程組(A-liE)X=O的全部非零解A的對(duì)應(yīng)于特征值li的特征向量:2）求出(A-liE)X=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系 V1、V2、Vs 步驟

5、：1）把 l= li代入方程(A-liE)X=O得一齊次線性方程組(A-liE)X=O3） A的屬于特征值li 的特征向量為：ssVcVcVc2211sccc,21是不全為零任意常數(shù)【例2】求矩陣 的特征值與特征向量 201034011A解： 2110430213421102AElllllllll 得 l1 =2，l2 = l3= 1（二重根）則A的特征值為l1 =2，l2 = l3= 1把l1 =2代入方程(A- lE)X=O ，得(A -2E)X=O000001014013321xxx0040312121xxxxx0021xx,得一基礎(chǔ)解系于是，A的屬于l1 =2的全部特征向量為：把l2=

6、 l3= 1代入方程(A- lE)X=O ，得(A-E)X=O000101024012321xxx行變換于是，A的屬于l2=1的全部特征向量為：取13x0023121xxxx13122xxxx得一基礎(chǔ)解系取11x1001V0,1001111ccVc1212V0,1212122ccVc010100240012A010100000012解：324324321262262264423707700AEllllllllllll 2781627lllll 得 l1 =-2， l 2 = l 3= 7（二重根）則A的特征值為l 1 =-2，l 2 = l 3= 7把l1 =-2代入方程(A-lE)X=O ，

7、得(A +2E)X=O000524282425321xxx000524282425A0005242821410009180000141000120000021324262423A【例3】求矩陣 的特征值與特征向量524028204250A 000120000021于是，A的屬于l1=-2的全部特征向量為：02023221xxxx232122xxxx,得一基礎(chǔ)解系取12x2121V0,2121111ccVc把l2 = l3= 7代入方程(A-lE)X=O ，得(A -7E)X=O000424212424321xxx000424212424A00000000021231xx令 分別取10,01，得

8、基礎(chǔ)解系于是，A的屬于l2=l3 = 7的全部特征向量為：022321xxx31222xxx120,02132VV不全為零32,cc120021323322ccVcVc定理定理 1 n階方陣A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性 無關(guān)。即 若 是屬于特征值l1 的特征向量1 是屬于特征值l2的特征向量2且l1 l2，則 與 線性無關(guān)12 證明：設(shè)l1、l2 、lm是A的m個(gè)不同的特征值， 1、2、 m是分別屬于l1、l2 、lm 的特征向量，即 是方程 的非零解 要證： 線性無關(guān)02211mmxxx設(shè)：iAXXlia即有 ，且iiiAaal0ia 12,ma aa 在(1)式兩邊左乘A，得1122(

9、)0mmA xxx02211mmAxAxAx0222111mmmxxxlll0222111mmmxxxlll(2)在(2)式兩邊左乘A，得0222111mmmAxAxAxlll022221111mmmmxxxllllll0222221121mmmxxxlll（3）02211mmxxx（1）0222111mmmxxxlll（2）0222221121mmmxxxlll（3）0122121111mmmmmmxxxlll（m）做矩陣乘積:1 11 112222211112111000mmmmmmmmmxxxxBxxllllll （*）0B，即B可逆互不相同，由于mlll,21不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線

10、性無關(guān)1 122000mmxxx 所以：則：120mxxx定理定理 2 設(shè)l是A的特征值，是A的屬于l的特征向量，則: (1) kl是 kA的特征值(k為任意常數(shù)) (2) lm 是Am 的特征值(m為正整數(shù)) (3) 當(dāng)A可逆時(shí)，l0，且l-1是A-1的特征值因?yàn)?是A的屬于l的特征向量，即是方程AX=lX的非零解，所以有 A=l 且0 證（1）：kl是 kA的特征值且0 ，所以是方程kAX=klX的非零解kl是 kA的特征值因?yàn)?kA)要證方程(kA)X=(kl)X 有非零解=k(A) =k (l) =(kl先證當(dāng)A可逆時(shí)， l0：反證：若不然，l=0由A= l ，得A=0因?yàn)锳可逆，兩邊

11、左乘A-1，得=0。矛盾證（3）當(dāng)A可逆時(shí)，l0，且l-1是A-1的特征值再證l-1是A-1的特征值： 因?yàn)?A=l， 兩邊左乘A-1 ，得=A-1l =lA-1 且0 l-1= A-1 即是方程A-1 X= l-1 X的非零解故l-1是A-1的特征值03AE【例4】設(shè)四階方陣A滿足 求 的一個(gè)特征值。0,2, 03AEAAAE*A解：1*AAA0A由,即A可逆,由EAA2162242EA4A4AEAAA*0A又1*4AA所以l=-3是A的一個(gè)特征值且由11233A由定理 的（ ）可知，是的一個(gè)特征值再由定理2的（1）可知：的一個(gè)特征值是1434)31)(4(A*43A 的一個(gè)特征值為0) 3

12、(EA定理定理 3 矩陣A與其轉(zhuǎn)置 矩陣A有相同的特征值證明：()()AEAEAEAEllll即 A與A有相同的特征多項(xiàng)式故A與A有相同的特征值定理定理 4 設(shè)l1、l2 、l n是A的n個(gè)特征值，則 說明 （1）利用本定理結(jié)論(1)可檢驗(yàn)所求 的特征值是否正確。（2）由結(jié)論(2)可得性質(zhì)：n階方陣A可逆A的所有特征值li0（1） l1+l2 +ln=a11+ a22+ +ann A（2）l1l2 l n定義定義 3 若T為可逆矩陣，對(duì)矩陣A、B，若：1TATB則稱A與B相似。定理定理 5 若矩陣A、B相似，則A、B具有相同的本征值。【例6】設(shè)A滿足 證明其特征值只能取 1或2.OEAA232證明：2222323232 32(32)0AAEAAEAlll lll0232ll021ll1l2l或兩邊右乘方程OEAA232的特征向量的屬于是