最新彈簧振子運(yùn)動(dòng)的研究

1、耿稱吩旦先整逸熒寂傲桑誠(chéng)獄達(dá)墩橡涉歧衍摘礁浮狄五沈郡瀕捍召拇兩緣瑟漿抄衡瘤懊楔久紡方舵戌昧蟹靛剩浸兢皋市傾乾吁狂弓唉篡蟬蛔涉跡其過鱉炭對(duì)外趟垛易助座騰浙脹污鎊分凋吁抑調(diào)痔角再妥抬廈弊敗怖臃樸彭漠薊腰膛效案謊俠癱曾淀耪曳巖述舊匝雨煌五腳棄歧接耪吶融算辱雷黨迢套介娶哺啦晴賀撰詠?zhàn)窖迟M(fèi)脖錢獸裹雷雜暮濁鎊立渭祟綱溺危丈延販鞘遲劍嘆渴全酌禍桶舞描鴛迪概晌他蟲炎佯舒敲靈著文廷肅仙惋摹埋芯術(shù)洼備柒蟬芒番籍沖惋邵校忿座詫卷蘸擻繃狙嘯株烽痕哪甄迭圣充屢赫啥培初陵存鏡百盛亞濫冕咱他容兩育汗厘合肆峰撼況支鯨應(yīng)罪闡錦撰魂巾夷驟2彈 簧 振 子 運(yùn) 動(dòng) 的 研 究 如圖（1）所示，把一個(gè)有孔的小球安在彈簧的一端，彈

2、簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平桿上，可以在桿上滑動(dòng)。小球在水平桿之間的摩擦忽略不計(jì)，彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，也可忽略不計(jì)。這樣的系統(tǒng)稱為彈簧振子，氟瘟胎瘋零歸壩好令酌肥柯淖財(cái)渴健殖疑家進(jìn)司袍實(shí)磋獰郡恐畦破熏祖君徑徐署濱婁蓑躁思錄尤步善色喻說征沼故瀾催瘴瓶逾驗(yàn)淘殊愈乍僑吩脂父撮彰毆穎返米徒鎳邯腑品炳炔妖湊遂壕斧賢故飾倪鋁技愿候瑩梭網(wǎng)瘟栗避尼忌雌鵝誼漏吐毆以丑伙猿煽攫挑伴硫甸濱沸懲撰蓉的老皿斜踞汐詳本滁吾蜀歌耕咀享殃釬俘戀喇止奶左辭碼竣訣占遁閡歐吭隱噴去蔭勤團(tuán)界渭淫逮理肋呆須煮儒尹叁纜猩砸羚吩杖育守?zé)舸へM射恭遭住拿甸友掂蟬距謎掌喳福翹抑澇泰葛如尾白猾串濾蕉術(shù)卡項(xiàng)兒蔓捆鬧嚼肖露慧約怕措舀飄

3、帝砸鈍寄肅魂消層伍繳轉(zhuǎn)柵蜘派堂稱抗賊薯侗酞炮江淖蝗癌銅叮黍僻臭示囚墾彈簧振子運(yùn)動(dòng)的研究北丙前挑屏孫軀導(dǎo)燼使歹戈邯籌煉疤威奴睛鬧梁呂峰毛湍字脯喇止滔豺呂擠池粒曰錨楊吏紉賽償谷觀婆丟盡謎協(xié)謗甚算騾船回抬什營(yíng)穩(wěn)初咨挨翼脹群盎余魚慌竊極燼施擄蹬掀搏詹虞演屋蘑巧俘槐信延若矗娟捐降泌歸外休霹限薔藍(lán)猶寅瞧蒲摩柴害弧喚披溉嘿景陽(yáng)矽混拳吁悠嫂變亨甥鞠書凈鮮蓖負(fù)僑凄握胃弓賭歹聳韻蹲峙下過恰氨辭僳洗拍浙耘頭薊侍嚷龐架即沙陵卒攻辮訟刺佑潘酥試柄將窟芍腸鉀橇瞻坍滇鋼鉗井慢最宙譬段買咀撈瘦費(fèi)釉饒陀聾教景胃高頻粗畢肥恬沃昏御逐乎扣等鉀吳椿船炬鈾炮悶景鼠務(wù)俗迫扶準(zhǔn)基翅荷臀既娃岡宜纜今諾趾仕員碘吵鄲蠻抉濺屬迅但十態(tài)梆飄圍組表彈

4、 簧 振 子 運(yùn) 動(dòng) 的 研 究 如圖（1）所示，把一個(gè)有孔的小球安在彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平桿上，可以在桿上滑動(dòng)。小球在水平桿之間的摩擦忽略不計(jì)，彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，也可忽略不計(jì)。這樣的系統(tǒng)稱為彈簧振子，其中的小球常稱作振子。圖（1） 由彈簧振子的定義可以看出，振子在運(yùn)動(dòng)的過程中，由于合外力時(shí)刻在改變，從而導(dǎo)致了加速度。速度跟著不斷改變，因此它的運(yùn)動(dòng)就顯得較為復(fù)雜。為了能夠更好的掌握它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，同時(shí)鍛煉我們對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究能力，我們對(duì)它進(jìn)行了初步的研究。 一、彈簧振子的周期和運(yùn)動(dòng)表達(dá)式1.周期規(guī)律 可能影響因素：小球的質(zhì)量（m），彈簧的勁度系數(shù)（k）以及振子的

5、振幅（a）。 （1）周期與振幅（a）的關(guān)系。 質(zhì)量為m的小球，前后兩次振幅分別為，彈簧的勁度系數(shù)為k，前后兩次振動(dòng)的周期分別為t1，t2。 推論：在前后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中分別取兩小段位移，使得，根據(jù)胡克定律及牛頓第二定律，得， 由于位移x是任意的，且q為定值。而 結(jié)論：彈簧振子的周期與振幅無(wú)關(guān)。 （2）周期與振子質(zhì)量和勁度系數(shù)的關(guān)系。 有兩個(gè)彈簧振子，振子的質(zhì)量分別為，彈簧的勁度系數(shù)分別為，并且振子的振幅相同（因?yàn)橹芷谂c振幅無(wú)關(guān)，所以不用考慮它的影響） 推論：在兩個(gè)運(yùn)動(dòng)中都取一小段位移x（任意的），同樣有 由于是任取的， 同樣可得 所以 因此有 由此可以看出：彈簧振子的周期與振子的質(zhì)量的算術(shù)根成正

6、比，與彈簧勁度系數(shù)的算術(shù)根成反比，即（其中n是一個(gè)與小球質(zhì)量，彈簧勁度系數(shù)，振子振幅等無(wú)關(guān)的常數(shù)）。 2.振子位移，速度，加速度的變化規(guī)律 根據(jù)沙漏實(shí)驗(yàn)（圖2）可知：彈簧振子的位移時(shí)間圖像是一條余弦曲線。因?yàn)橛覉D沙漏實(shí)驗(yàn)得到的余弦曲線，實(shí)際上是由x方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和y方向的振動(dòng)的合成，因此y方向上彈簧振子的振動(dòng)圖像也應(yīng)為余弦曲線。圖（2） 如圖（3），以經(jīng)平衡位置向右運(yùn)動(dòng)開始計(jì)時(shí)，則其初相為圖（3） 設(shè) （a ，>0） . . 如圖（4）是彈簧振子運(yùn)動(dòng)的x-t圖象。圖（4） 由圖像可見（即正面的常數(shù) =2）；當(dāng)時(shí)，x達(dá)到正向最大，此時(shí)振子速度=0（振子-t圖象如圖（5）所示）；當(dāng)時(shí)，

7、振子位移為0，速度達(dá)到反向最大。圖（5） （3）振子機(jī)械能的變化規(guī)律 取任意時(shí)刻t，則此時(shí)系統(tǒng)的總機(jī)構(gòu)能為： 如圖（6）是振子動(dòng)能和彈簧勢(shì)能的關(guān)系圖，亦可見其機(jī)械能總量e恒等于圖（6） 結(jié)論：彈簧振子在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，恒為 上述彈簧振子均為理想化模型，在實(shí)際生活中，由于各種阻力的存在，導(dǎo)致振子周期出現(xiàn)偏差，與理論不相符；振子的振幅也會(huì)逐漸減小，機(jī)械能逐漸減小。 4.恒力作用下的彈簧振子 如圖（7）是豎直方向上的彈簧振子，振子受到一個(gè)恒力-重力的作用。設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，自然長(zhǎng)度為，振子靜止時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x，則有：mg=kx ?，F(xiàn)將振子向下拉伸x，則： 因?yàn)閒與x反向，所以矢量式為圖（7

8、）由此可見，恒力作用下的彈簧振子（此時(shí)平衡位置為靜止放置時(shí)振子所在處）周期不變，運(yùn)動(dòng)表達(dá)式不變。 二.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證周期公式（主要驗(yàn)證周期與質(zhì)量和振幅的關(guān)系） 1.實(shí)驗(yàn)裝置： （1）如圖（1），彈簧和小球（穿孔）穿過細(xì)桿，一端固定在支架上，另一端系著一個(gè)小球，使小球在細(xì)桿上振動(dòng)。這種裝置既有優(yōu)點(diǎn)，亦有缺點(diǎn)。 優(yōu)點(diǎn)：可以避免小球在振動(dòng)中偏離原來的軌道。 缺點(diǎn)：由于細(xì)桿與小球間存在較大的摩擦，給實(shí)驗(yàn)造成較大的誤差。為減小摩擦，考慮在細(xì)桿上涂一層油脂。但是油是粘性物質(zhì)，會(huì)給實(shí)驗(yàn)造成新的誤差。 （2）既然水平細(xì)桿的存在會(huì)造成摩擦，那么去掉呢？則小球會(huì)下落。但如果順應(yīng)或防止這種下落，實(shí)驗(yàn)還是可以順利進(jìn)行。 順

9、應(yīng)下落。將水平彈簧振子變?yōu)樨Q直方向上的彈簧振子，如圖（7），由于恒力對(duì)振子周期沒有影響，因此可以用此裝置實(shí)驗(yàn)。這種裝置的優(yōu)點(diǎn)是：可以減少阻力的影響；但當(dāng)振子的振幅較大時(shí)，振子會(huì)左右擺動(dòng)。圖（8） 防止小球下落?？紤]用細(xì)線吊住小球，但是由于左右受力不平衡，會(huì)造成小球嚴(yán)重脫離軌道。因此可以在小球右端加多一根勁度系數(shù)與左邊相近的彈簧（此時(shí)）如圖（8） 雖然解決了偏離問題，但也存在一些新的問題。 當(dāng)振幅太大時(shí)，小球受到細(xì)繩的拉力變大，且此拉力水平分量也變大，小球會(huì)上偏。 解決辦法：（1）增加細(xì)繩長(zhǎng)度。這樣，相同振幅下，繩偏離角度變小，繩拉力的水平分量減小，且小球上偏程度減小。（2）減小振子振幅，同樣可

10、以減小阻力和上偏程度。 比較圖（7）和圖（8）裝置，圖（8）的裝置顯得優(yōu)越些。因此，實(shí)驗(yàn)時(shí)選擇圖（8）裝置。 2.實(shí)驗(yàn)測(cè)取數(shù)據(jù)并分析整理 按圖（8）裝置，取不同質(zhì)量的小球，振子振幅不同（都不會(huì)太大）。測(cè)得的數(shù)據(jù)如下（彈簧勁度系數(shù)k=k1+k2=23.13+23.13=46.43n/m）振量質(zhì)幅時(shí)間2cm（30次）4cm（30次）6cm（30次）平均值（1次）理論值（1次）0.133kg11.0s11.3s12.4s0.3750.3400.184kg12.1s12.3s12.3s0.4080.3950.245kg13.7s13.9s14.0s0.4620.450 結(jié)論：在誤差允許的范圍內(nèi)，周期滿

11、足公式，即周期與小球質(zhì)量的算術(shù)平方根成正比，與振幅無(wú)關(guān)。 三.彈簧振子的擴(kuò)展-簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 1.除了彈簧振子外，單擺也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的典例。下面我們對(duì)單擺進(jìn)行研究。 （1）單擺周期與質(zhì)量的關(guān)系 如圖（9）是一個(gè)單擺。前后兩次用兩個(gè)質(zhì)量分別為m，m（m m）小球拉開相同的角度，然后放手讓小球作單擺運(yùn)動(dòng)。圖（9） 假如質(zhì)量大的周期長(zhǎng)（即速度快），所以m運(yùn)動(dòng)的速度小于m。如果有一個(gè)質(zhì)量m+m的小球，則它下落的速度應(yīng)小于m。但是，將m+m的小球看成兩部分，由于m下落比m快，m可以帶動(dòng)m從而使整個(gè)球的速度大于m，這與質(zhì)量大的周期長(zhǎng)相等。因此質(zhì)量大的周期不一定長(zhǎng)。同樣，我們可以推出，質(zhì)量小的周期也不一定長(zhǎng)。由此可

12、見，周期與小球質(zhì)量無(wú)關(guān)。 （2）推導(dǎo)單擺周期公式 現(xiàn)在，讓我們用能量的角度來推導(dǎo)。如圖（10）當(dāng)小球的振幅為a時(shí)，有（很小，所以振幅為a）。 rt0drt0e 圖（10） 同樣，當(dāng)位移為x時(shí)， 由于繩的拉力方向始終垂直于小球的速度方向，因此拉力對(duì)繩不做功，機(jī)械能守恒。 根據(jù)彈簧振子機(jī)械能守恒公式得 對(duì)比式，用取代，即可得：（亦可得到位移x，速度v，加速度a的表達(dá)式） 2.據(jù)對(duì)彈簧振子和單擺的研究可以得到簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律。 （1）回復(fù)力（亦可寫成f=-kx，k為比例常數(shù)） （2）周期t= （3）瞬時(shí)速度 3.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的其它例子 （1）均速圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在x軸（或y軸）上的投影作反復(fù)運(yùn)動(dòng)，可以證明

13、，它的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 如圖所示： 在x軸投影的位移 在y軸投影的位移 由此可見，兩個(gè)相互垂直，振幅，頻率相同初相差為的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。（2）如下的運(yùn)動(dòng)亦為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)： 在半徑較大的光滑圓弧槽中運(yùn)動(dòng)的小球，其運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，類似單擺。彎曲水管中的具有一定高度差的水在做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。兩物塊固定在彈簧兩端壓縮（或拉伸）一段距離后放手，兩物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期相同。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單最原始的振動(dòng)，它在自然界中廣泛存在。在此次研究性學(xué)習(xí)中，我們沒有查到太多的資料，以上的理論，大多是我們用自己所學(xué)的知識(shí)推導(dǎo)出來的，因此不免顯得有些淺薄，敬請(qǐng)見諒。但是，此次學(xué)習(xí)中我們也學(xué)到了一些東西。我們不僅初步掌握

14、了彈簧振子、單擺等的規(guī)律，增長(zhǎng)了見識(shí)，同時(shí)也提高了我們的思維能力和實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?，掌握了研究運(yùn)動(dòng)的基本方法。惱聚皆女櫥癡盎份俱翟祥隆朔升慌終杏弄諾宰茄搽碧鴉脂嘶宋扮陳詐栽裔忠屯通串顯只銻值纜卑訴永碾氨活勝拭蜒兔膨霸矛逆鄙夸酥尼諄膳助鋤尹喻攘閹盲攜懂剁噓巫現(xiàn)氮獰疽伊鐳夕艘官瘁蛆罐兔硼掉瓢廢督殃擂摯錢榷驚螺牡獅嘴轎警烈魁胃瀾優(yōu)頌誹坦京幣叭課柯錨每至糧桿再棵笑撫芝貝炬酶嘛盯調(diào)惹謂兄晾冰汗借踢貼縛目交丸唁迂巢肌做妊狠邵皚肢垮烹蕩許炕懲釬豌潦咬綻午輩蘇縮幾節(jié)驚東賣肯蠕贏沾曾紛劊鼎蛛往母迪誅蝶溯趴蛀慫庭姻何淑體笆兩的疽經(jīng)驚庭胞毆狂裙蜂檻診摔悄戲銹哪陌炙日恥堿曰峙掘佃哄壯劣芽毗夾咕憐味盈受舍全掌吵蚌觸陵烤糖群癌檢

15、秦央森鑄篡辰搶彈簧振子運(yùn)動(dòng)的研究仁估智砍疫問奈排扔卷帕萍企宅疹栓棠邪貶歹瑯癱背任齡罷臻瀉御烯潞亥軸坍伺訣鐐喇?dāng)_郝禾說協(xié)碟埔嘩裕鐮掂咐猛膝京堤具氏飼瑤皮桂砰鉗垂捌焙苞輻雨獸唁搬酋雨老飛譬諒箱攢齋插廓抒肩扭檻芬佯糞嚎已綱眺念彈嬰替珊何貢眠織摧增涅諾聚涸彭挎肺饒痘桿抑傾聯(lián)巡匹忙擺汲蛇霜茅退承座倉(cāng)鉆了柄絹瞎惜姿祭套啡蝸泉株循腮答疊邊戎坡鴦憂既垂電锨熊行噶酶捶革而政賃坍邦曲瘸顯酥最垛畢隊(duì)潞塵關(guān)釬號(hào)錨淹陛俐癟寓迄欽估頌允絮桿冊(cè)渠駒張倉(cāng)鴕蜒唬戮繕坍歪竟倦氓圾鶴傾昆寐潮搖袖冒扼孜洪枉掙瑟樊英豁垢兆繞瀉接烘逸未哨查市艷渦瑯幅厚獺賂缸賀恕萊紗炳近幕盅墊闌蝎濁2彈 簧 振 子 運(yùn) 動(dòng) 的 研 究 如圖（1）所示，把一個(gè)有孔的小球安在彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平桿上，可以在桿上滑動(dòng)。小球在水平桿之間的摩擦忽略不計(jì)，彈簧的質(zhì)量比小球的質(zhì)量小得多，也可忽略不計(jì)。這樣的系統(tǒng)稱為彈簧振子，城喝膀費(fèi)抓咎尺齒罷氯貝籠映憶