高中數(shù)學(xué) 章末綜合測(cè)評(píng)3 空間向量與立體幾何 新人教A版選修21

1、章末綜合測(cè)評(píng)(三)空間向量與立體幾何(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1與向量a(1，3,2)平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是()ab(1，3,2)c dca(1，3,2)2.2在正方體abcd­a1b1c1d1中，xy()，則()ax1，ybx1，ycx，y1dx1，ya()，x1，y.應(yīng)選a3已知a(2，4，1)，b(1,5,1)，c(3，4,1)，d(0,0,0)，令a，b，則ab為()a(5，9,2)b(5,9，2)c(5,9，2)d(5，9，2)ba(1,0，2)，b(4,9,0)，

2、ab(5,9，2)4已知點(diǎn)a(1,2,1)，b(1,3,4)，d(1,1,1)，若2，則|的值是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342190】a bcdc設(shè)p(x，y，z)，則(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，由2知x，y，z3，即p.由兩點(diǎn)間距離公式可得|.5在棱長(zhǎng)為1的正方體abcd­a1b1c1d1中，下列結(jié)論不正確的是()a b·0c·0 d·0d如圖，故a，b，c選項(xiàng)均正確6設(shè)abcd的對(duì)角線ac和bd交于e，p為空間任意一點(diǎn)，如圖1所示，若x，則x()圖1a2b3c4d5ce為ac，bd的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得()，()4.從而x4.7已知a(2，

3、1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)等于()a b c dda，b，c三向量共面，則存在不全為零的實(shí)數(shù)x，y，使cxayb，即(7,5，)x(2，1,3)y(1,4，2)(2xy，x4y,3x2y)，所以解得3x2y.8若向量a(x,4,5)，b(1，2,2)，且a與b的夾角的余弦值為，則x()a3b3c11d3或11a因?yàn)閍·b(x,4,5)·(1，2,2)x810x2，且a與b的夾角的余弦值為，所以，解得x3或11(舍去)，故選a9若直線l的方向向量為(2,1，m)，平面的法向量為，且l，則m()a2 b3 c4 d5cl，直線l的

4、方向向量平行于平面的法向量.m4.10直三棱柱abc­a1b1c1中，若bac90°，abacaa1，則異面直線ba1與ac1所成角為()a30° b45° c60° d90°c建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ab1，則a(0,0,0)，b(1,0,0)，a1(0,0,1)，c1(0,1,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，cos，.，60°，即異面直線ba1與ac1所成角為60°.11已知正四棱柱abcd­a1b1c1d1中，aa12ab，則cd與平面bdc1所成角的正弦值等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342

5、191】a b c da以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)aa12ab2，則d(0,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,2)，則(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)設(shè)平面bdc1的法向量為n(x，y，z)，則n，n，所以有令y2，得平面bdc1的一個(gè)法向量為n(2，2,1)設(shè)cd與平面bdc1所成的角為，則sin |cosn，|.12在矩形abcd中，ab3，ad4，pa平面abcd，pa，那么二面角a­bd­p的大小為()a30° b45° c60° d75°a如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系

6、，則，(3,4,0)設(shè)n(x，y，z)為平面pbd的一個(gè)法向量，則得即令x1，則n.又n1為平面abcd的一個(gè)法向量，cosn1，n，所求二面角為30°.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13已知正方體abcd­abcd，則下列三個(gè)式子中：；.其中正確的有_，正確；顯然正確；()()0，錯(cuò)誤14若向量m(1,2,0)，n(3,0，2)都與一個(gè)二面角的棱垂直，則m，n分別與兩個(gè)半平面平行，則該二面角的余弦值為_或cosm，n.二面角的余弦值為或.15如圖2正方體abcd­a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1，o是平面a1b1c1d1的中

7、心，則bo與平面abc1d1所成角的正弦值為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342192】圖2建立坐標(biāo)系如圖，則b(1,1,0)，o，(1,0,1)是平面abc1d1的一個(gè)法向量又，bo與平面abc1d1所成角的正弦值為|cos，|.16設(shè)動(dòng)點(diǎn)p在棱長(zhǎng)為1的正方體abcd­a1b1c1d1的對(duì)角線bd1上，記，當(dāng)apc為鈍角時(shí)，的取值范圍是_建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系dxyz，則a(1,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，設(shè)p(x，y，z)，則(x，y，z1)，(1,1，1)，由，得(x，y，z1)(1,1，1)，即p(，1)，(1，1)，(，1，1)，由

8、3;<0得2(1)(1)2<0，解得<<1.由題意知與所成的角不可能為，故<<1.三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)如圖3，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱abcd­a1b1c1d1，底面abcd是正方形，cc13，cd2，且c1cbc1cd60°.圖3(1)設(shè)a，b，c，試用a，b，c表示；(2)已知o為四棱柱abcd­a1b1c1d1的中心，求co的長(zhǎng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342193】解(1)由a，b，c，得abc，所以abc(2)o為四棱柱abcd­a1b

9、1c1d1的中心，即o為線段a1c的中點(diǎn)由已知條件得|a|b|2，|c|3，a·b0，a，c60°，b，c60°.由(1)得abc，則|22(abc)2a2b2c22a·b2b·c2a·c22223202×2×3×cos 60°2×2×3×cos 60°29.所以a1c的長(zhǎng)為，所以co的長(zhǎng)為.18(本小題滿分12分)如圖4，四邊形abcd為正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd圖4(1)證明：平面pqc平面dcq；(2)證明：pc平面baq.證明

10、如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段da的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線da為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz.(1)依題意有q(1,1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)，則(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1，0)，所以·0，·0，即pqdq，pqdc且dqdcd故pq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq.(2)根據(jù)題意，(1,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，故有·0，·0，所以為平面baq的一個(gè)法向量又因?yàn)?0，2,1)，且·0，即dapc，且pc平面baq，故有pc平面baq.19(本小題滿分12分)如圖5所示，已知

11、點(diǎn)p在正方體abcd­abcd的對(duì)角線bd上，pda60°.圖5(1)求dp與cc所成角的大小(2)求dp與平面aadd所成角的大小解(1)如圖所示，以d為原點(diǎn)，da，dc，dd分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)da1.則(1,0,0)，(0,0,1)連接bd，bd.在平面bbdd中，延長(zhǎng)dp交bd于h.設(shè)(m，m,1)(m>0)，由已知，60°，由·|cos，可得2m.解得m，所以.因?yàn)閏os，所以，45°，即dp與cc所成的角為45°.(2)平面aadd的一個(gè)法向量是(0,1,0)，因?yàn)閏os，所以，60&#

12、176;，可得dp與平面aadd所成的角為30°.20(本小題滿分12分)如圖6，ab是圓的直徑，pa垂直圓所在的平面，c是圓上的點(diǎn)圖6(1)求證：平面pbc平面pac；(2)若ab2，ac1，pa1，求二面角c­pb­a的余弦值解(1)證明：由ab是圓的直徑，得acbc，由pa平面abc，bc平面abc，得pabc又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac因?yàn)閎c平面pbc所以平面pbc平面pac(2)過c作cmap，則cm平面abc如圖，以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線cb，ca，cm為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系在rtabc中，因?yàn)閍

13、b2，ac1，所以bc.又因?yàn)閜a1，所以a(0,1,0)，b(，0,0)，p(0,1,1)故(，0,0)，(0,1,1)設(shè)平面bcp的法向量為n1(x1，y1，z1)，則所以不妨令y11，則n1(0,1，1)因?yàn)?0,0,1)，(，1,0)，設(shè)平面abp的法向量為n2(x2，y2，z2)，則所以不妨令x21，則n2(1, ，0)于是cosn1，n2.由圖知二面角c­pb­a為銳角，故二面角c­pb­a的余弦值為.21(本小題滿分12分)如圖7，在棱長(zhǎng)為2的正方體abcd­a1b1c1d1中，e，f，m，n分別是棱ab，ad，a1b1，a1d1

14、的中點(diǎn)，點(diǎn)p，q分別在棱dd1，bb1上移動(dòng)，且dpbq(0<<2)圖7(1)當(dāng)1時(shí)，證明：直線bc1平面efpq；(2)是否存在，使平面efpq與平面pqmn所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342194】解以d為原點(diǎn)，射線da，dc，dd1分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系由已知得b(2,2,0)，c1(0,2,2)，e(2,1,0)，f(1,0,0)，p(0,0，)，(2，0,2)，(1,0，)，(1,1,0)(1)證明：當(dāng)1時(shí)，(1,0,1)，因?yàn)?2,0,2)所以2，可知bc1fp，而fp平面efpq，且bc1平面

15、efpq，故直線bc1平面efpq.(2)設(shè)平面efpq的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，由得于是可取n(，1)，同理可得平面pqmn的一個(gè)法向量為m(2,2，1)，若存在，使得平面efpq與平面pqmn所在的二面角為直二面角，則m·n(2,2，1)·(，1)0，即(2)(2)10，解得1±，故存在1±，使平面efpq與平面pqmn所成的二面角為直二面角22(本小題滿分12分)如圖8，在三棱柱abc­a1b1c1中，aa1c1c是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面abc平面aa1c1c，ab3，bc5.圖8(1)求證：aa1平面abc；(2)求二面角a1&#

16、173;bc1­b1的余弦值；(3)證明：在線段bc1上存在點(diǎn)d，使得ada1b，并求的值解(1)因?yàn)閍a1c1c為正方形，所以aa1ac因?yàn)槠矫鎍bc平面aa1c1c，且aa1垂直于這兩個(gè)平面的交線ac，所以aa1平面abc(2)由(1)知aa1ac，aa1ab由題意知ab3，bc5，ac4，所以abac如圖，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系axyz，則b(0,3,0)，a1(0,0,4)，b1(0,3,4)，c1(4,0,4)所以(0,3，4)，(4,0,0)設(shè)平面a1bc1的法向量為n(x，y，z)，則即令z3，則x0，y4，所以平面a1bc1的一個(gè)法向量為n(0,4,3)同理可得，平面b1bc1的一個(gè)法向量為m(3,4,0)所以cosn，m.由題意知二面角a1­bc1­b1為銳角，所以二面角a1­bc1­b