高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第2課時 組合的綜合應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修23

1、第2課時組合的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.學(xué)會運用組合的概念，分析簡單的實際問題(重點)2.能解決無限制條件的組合問題(難點)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1組合的有關(guān)概念從n個不同元素中取出m(mn)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合組合數(shù)用符號c表示，其公式為c.(m，nn*，mn)，特別地cc1.2組合與排列的異同點共同點：排列與組合都是從n個不同元素中取出m(mn)個元素不同點：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān)3應(yīng)用組合知識解決實際問題的四個步驟(1)判斷：判斷實際問題是否是組合問題(2)方法：選擇利用直接法還是間接法解題(3)計算：利用組合數(shù)公式結(jié)合

2、兩個計數(shù)原理計算(4)結(jié)論：根據(jù)計算結(jié)果寫出方案個數(shù)基礎(chǔ)自測1以下四個命題，屬于組合問題的是()a從3個不同的小球中，取出2個排成一列b老師在排座次時將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌c在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星d從13位司機中任選出兩位開兩輛車往返甲、乙兩地c從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關(guān)，是組合問題2若5名代表分4張同樣的參觀券，每人最多分一張，且全部分完，那么分法一共有() 【導(dǎo)學(xué)號：95032059】aa種b45種c54種 dc種d由于4張同樣的參觀券分給5名代表，每人最多分一張，從5名代表中選4人滿足分配要求，故有c種3某施工小組有男工7名，女

3、工3名，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去支援另一施工小組，不同的選法有()ac種 ba種caa種 dcc種d每個被選的人都無順序差別，是組合問題分兩步完成：第一步，選女工，有c種選法；第二步，選男工，有c種選法故共有cc種不同的選法4設(shè)集合aa1，a2，a3，a4，a5，則集合a中含有3個元素的子集共有_個10從5個元素中取出3個元素組成一組就是集合a的子集，則共有c10個子集合 作 探 究·攻 重 難無限制條件的組合問題現(xiàn)有10名學(xué)生，男生6人，女生4人(1)要選2名男生去參加乒乓球賽，有多少種不同選法？(2)要選男、女生各2人參賽，有多少種不同選法？(3)要選2人去參賽，有多少種不同選

4、法？ 【導(dǎo)學(xué)號：95032060】思路探究首先要分清是組合還是排列問題，與順序有關(guān)即為排列，與順序無關(guān)即為組合，一定要理解清楚題意解(1)從6名男生中選2人的組合數(shù)是c15種(2)分兩步完成，先從6名男生中選2人，再從4名女生中選2人，均為組合c·c90種(3)從10名學(xué)生中選2名的組合數(shù)c45種規(guī)律方法解簡單的組合應(yīng)用題時，要先判斷它是不是組合問題，取出的元素只是組成一組，與順序無關(guān)則是組合問題；取出的元素排成一列，與順序有關(guān)則是排列問題只有當(dāng)該問題能構(gòu)成組合模型時，才能運用組合數(shù)公式求出其種數(shù)在解題時還應(yīng)注意兩個計數(shù)原理的運用，在分類和分步時，注意有無重復(fù)或遺漏跟蹤訓(xùn)練1有兩條平

5、行直線a和b，在直線a上取4個點，直線b上取5個點，以這些點為頂點作三角形，這樣的三角形共有()a70個b80個c82個d84個a分兩類分別求即可，共有cccc304070.2若7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動若每天安排3人，則不同的安排方案共有_種(用數(shù)字作答) 【導(dǎo)學(xué)號：95032061】140第一步，安排周六有c種方法，第二步，安排周日有c種方法，所以不同的安排方案共有cc140種有限制條件的組合問題高二(1)班共有35名同學(xué)，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學(xué)參加活動(1)其中某一女生必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有

6、多少種？(3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？思路探究可從整體上分析，進行合理分類，弄清關(guān)鍵詞“恰有”“至少”“至多”等字眼使用兩個計數(shù)原理解決解(1)從余下的34名學(xué)生中選取2名，有c561(種)不同的取法有561種(2)從34名可選學(xué)生中選取3名，有c種或者ccc5 984種不同的取法有5 984種(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有cc2 100種不同的取法有2 100種(4)選取2名女生有cc種，選取3名女生有c種，共有選取方式nccc2 1004552 555種不同的

7、取法有2 555種(5)選取3名的總數(shù)有c，因此選取方式共有ncc6 5454556 090種不同的取法有6 090種規(guī)律方法常見的限制條件及解題方法1特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)2含有“至多”“至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解3分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問題分類表達，逐類求解跟蹤訓(xùn)練3某地區(qū)發(fā)生了特別重大鐵路交通事故，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴事故現(xiàn)場搶救傷員，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽

8、調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？解(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有c種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有c種選法，所以共有c·c90種抽調(diào)方法(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法，法一：(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類：選2名外科專家，共有c·c種選法；選3名外科專家，共有c·c種選法；選4名外科專家，共有c·c種選法；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有c·cc·cc·c185種抽調(diào)方法法二：(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有

9、c種選法，考慮選取1名外科專家參加，有c·c種選法；沒有外科專家參加，有c種選法，所以共有：cc·cc185種抽調(diào)方法(3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種情況，分類解答沒有外科專家參加，有c種選法；有1名外科專家參加，有c·c種選法；有2名外科專家參加，有c·c種選法所以共有cc·cc·c115種抽調(diào)方法分組(分配)問題6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩

10、本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本. 【導(dǎo)學(xué)號：95032062】思路探究(1)是平均分組問題，與順序無關(guān)，相當(dāng)于6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，可以理解為一個人一個人地來取，(2)是“均勻分組問題”，(3)是分組問題，分三步進行，(4)分組后再分配，(5)明確“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”解(1)根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到：ccc90種(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有ccc種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有a種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：cccxa，所

11、以x15.因此分為三份，每份兩本一共有15種方法(3)這是“不均勻分組”問題，一共有ccc60種方法(4)在(3)的基礎(chǔ)上再進行全排列，所以一共有ccca360種方法(5)可以分為三類情況：“2、2、2型”即(1)中的分配情況，有ccc90種方法；“1、2、3型”即(4)中的分配情況，有cc5ca360種方法；“1、1、4型”，有ca90種方法所以一共有9036090540種方法規(guī)律方法1分清是分組問題還是分配問題，是解題的關(guān)鍵2分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：(1)完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等(2)部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n！.(3)完全非

12、均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象跟蹤訓(xùn)練4將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答)36分兩步完成：第一步，將4名大學(xué)生按2,1,1分成三組，其分法有種；第二步，將分好的三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有a種所以滿足條件的分配方案有·a36(種)排列、組合的綜合應(yīng)用探究問題1從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素相乘，有多少個不同的結(jié)果？完成的“這件事”指的是什么？提示共有c6(個)不同結(jié)果完成的“這件事”是指從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素并相乘2從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素相除，有多少不同結(jié)果？這是排列問題，還是組合問題？

13、完成的“這件事”指的是什么？提示共有a210(個)不同結(jié)果；這個問題屬于排列問題；完成的“這件事”是指從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素并相除3完成“從集合0,1,2,3,4中任取三個不同元素組成一個是偶數(shù)的三位數(shù)”這件事需先分類，還是先分步？有多少個不同的結(jié)果？提示由于0不能排在百位，而個位必須是偶數(shù).0是否排在個位影響百位與十位的排法，所以完成這件事需按0是否在個位分類進行第一類：0在個位，則百位與十位共a種排法；第二類：0不在個位且不在百位，則需先從2,4中任選一個排個位再從剩下非零數(shù)字中取一個排百位，最后從剩余數(shù)字中任取一個排十位，共ccc18(種)不同的結(jié)果，由分類加法計數(shù)原理，

14、完成“這件事”共有accc30(種)不同的結(jié)果有5個男生和3個女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語文課代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表. 【導(dǎo)學(xué)號：95032063】思路探究(1)按選中女生的人數(shù)多少分類選取(2)采用先選后排的方法(3)先安排該男生，再選出其他人擔(dān)任四科課代表(4)先安排語文課代表的女生，再安排“某男生”課代表，最后選其他人擔(dān)任余下三科的課代表解(1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4

15、男，共有cccc種，后排有a種，共(cccc)·a5 400種(2)除去該女生后，先選后排，有c·a840種(3)先選后排，但先安排該男生，有c·c·a3 360種(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有c種，再安排該男生有c種，其余3人全排有a種，共c·c·a360種規(guī)律方法 解決排列、組合綜合問題要遵循兩個原則1按事情發(fā)生的過程進行分步2按元素的性質(zhì)進行分類解決時通常從以下三個途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；(3)先不考慮附加

16、條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)跟蹤訓(xùn)練5某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()a360b520c600d720c分兩類：第一類，甲、乙中只有一人參加，則有cca2×10×24480種選法第二類，甲、乙都參加時，則有c(aaa)10×(2412)120種選法所以共有480120600種選法當(dāng) 堂 達 標(biāo)·固 雙 基1某研究性學(xué)習(xí)小組有4名男生和4名女生，一次問卷調(diào)查活動需要挑選3名同學(xué)參加，其中至少一名女生，則不同

17、的選法種數(shù)為()a120b84c52d48c間接法：cc52種2編號為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有() 【導(dǎo)學(xué)號：95032064】a60種 b20種c10種 d8種c四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個空檔中放入三盞亮燈，即c10.3某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有()a4種 b10種c18種 d20種b分兩種情況：選2本畫冊，2本集郵冊送給4位朋友有c6種方法；選1本畫冊，3本集郵冊送給4位朋友有c4種方法，所以不同的贈送方法共有6410種，故選b.4在直角坐標(biāo)平面xoy上，平行直線xn(n0,1,2，5)與平行直線yn(n0,1,2，5)組成的圖形中，矩形共有_個225在垂直于x軸的6條直線中任取2條，在垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個矩形，所以矩形總數(shù)為c×c15×15225個5課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生；(2)兩隊長當(dāng)選；(3)至少有一名隊長當(dāng)選；(4)至多有兩名女生當(dāng)選. 【導(dǎo)學(xué)號：95032065】解(