高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.1.1 簡(jiǎn)單形式的柯西不等式活頁(yè)作業(yè)8 北師大版選修45

1、活頁(yè)作業(yè)(八)簡(jiǎn)單形式的柯西不等式一、選擇題1已知a，b(0，)，且ab1，則p(axby)2與qax2by2的大小關(guān)系是()apqbp<qcpqdp>q解析：設(shè)m(x，y)，n(，)，則|axby|m·n|m|n|··，(axby)2ax2by2，即pq.答案：a2設(shè)x>0，y>0，m>0，n>0，且1，則uxy的最小值是()a()2 bc d(mn)2解析：根據(jù)柯西不等式，得xy(xy)2()2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，這時(shí)u取最小值為()2.答案：a3已知x，y(0，)，且xy1，則的最小值為()a4 b2 c1 d解析：2

2、2224.答案：a4已知r，則4cos 的最大值是()a2 b3 c d解析：4cos ·3，當(dāng)且僅當(dāng) 4cos ，即sin ±，cos 時(shí)等號(hào)成立答案：b二、填空題5若x2y5，則x2y2的最小值為_.解析：由柯西不等式，得(x2y2)(1222)(x2y)2，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)所以5(x2y2)25.所以x2y25.答案：56已知a2b24，則|acos bsin |的最大值是_.解析：因?yàn)?acos bsin )2(a2b2)(cos2sin2)4，當(dāng)且僅當(dāng)asin bcos 時(shí)等號(hào)成立，所以|acos bsin |2.答案：2三、解答題7已知函數(shù)y34，求函數(shù)的定義

3、域和最大值解：易知函數(shù)的定義域?yàn)?,6，且y>0.y34·5，當(dāng)且僅當(dāng)34，即x時(shí)取等號(hào)故函數(shù)的定義域?yàn)?,6，最大值為5.8若0<x<1,0<y<1，求證：2.證明：如圖，設(shè)p(x，y)，o(0,0)，a(0,1)，b(1,0)，c(1,1)，其中點(diǎn)p(x，y)為以1為邊長(zhǎng)的正方形obca內(nèi)任一點(diǎn)，則|2.一、選擇題1已知為銳角，a，b均為正實(shí)數(shù)則下列不等式成立的是()a(ab)2b(ab)2ca2b2d(ab)2<解析：設(shè)m，n(cos ，sin )，則|ab|·，當(dāng)且僅當(dāng)asin2bcos2時(shí)取等號(hào)所以(ab)2.答案：a2若長(zhǎng)方形

4、abcd是半徑為r的圓的內(nèi)接長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)方形abcd的周長(zhǎng)的最大值為()a2rb2rc4r d4r解析：如圖，設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方形abcd的長(zhǎng)為x，則寬為.于是長(zhǎng)方形abcd的周長(zhǎng)l2(x)2(1·x1·)由柯西不等式，得l2x2()2(1212)2×2r·4r，當(dāng)且僅當(dāng)x·1·1，即xr時(shí)等號(hào)成立此時(shí)，r，即長(zhǎng)方形abcd為正方形故周長(zhǎng)最大的內(nèi)接長(zhǎng)方形是正方形，其周長(zhǎng)為4r.答案：d二、填空題3函數(shù)y3sin x2的最大值是_.解析：y3sin x23sin x45，當(dāng)且僅當(dāng)4sin x3時(shí)取等號(hào)，ymax5.答案：54已知x，y均為正數(shù)，

5、且xy2，則x44y的最大值為_.解析：x44y(2)2(1222)()2()25(xy)5×210，當(dāng)且僅當(dāng)1·2·，即y4x(x>0)時(shí)等號(hào)成立，x44y10.由得x，符合x>0.x44y的最大值為10.答案：10三、解答題5已知a1，a2，b1，b2為正實(shí)數(shù)求證：(a1b1a2b2)(a1a2)2.證明：2(a1a2)2.6已知x，y為正實(shí)數(shù)，且xy1，求x2y2的值解：法一依題意，有0<x<1,0<y<1.令xsin ，ysin ，則xysin cos sin cos sin()1.0<<，即.x2y2sin2sin2sin2sin2sin2cos21.法二有1xy，令tx2y2(t>0)，則有t(2t)1，即t22t10(t1)20.t>0，t10，即t1.x2y21.我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)