高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題對(duì)點(diǎn)練16 空間中的平行與垂直 理

1、專題對(duì)點(diǎn)練16空間中的平行與垂直1.(2017江蘇無錫一模,16)如圖,在斜三棱柱abc-a1b1c1中,側(cè)面aa1c1c是菱形,ac1與a1c交于點(diǎn)o,e是棱ab上一點(diǎn),且oe平面bcc1b1.(1)求證:e是ab的中點(diǎn);(2)若ac1a1b,求證:ac1bc.證明 (1)連接bc1,取ab的中點(diǎn)e'.側(cè)面aa1c1c是菱形,ac1與a1c交于點(diǎn)o,o為ac1的中點(diǎn).e'是ab的中點(diǎn),oe'bc1.oe'平面bcc1b1,bc1平面bcc1b1,oe'平面bcc1b1.oe平面bcc1b1,e,e'重合,e是ab的中點(diǎn).(2)側(cè)面aa1c1c是

2、菱形,ac1a1c.ac1a1b,a1ca1b=a1,a1c平面a1bc,a1b平面a1bc,ac1平面a1bc,bc平面a1bc,ac1bc.2.(2017江蘇南京三模,15)如圖,在三棱錐a-bcd中,e,f分別為bc,cd上的點(diǎn),且bd平面aef.(1)求證:ef平面abd;(2)若ae平面bcd,bdcd,求證:平面aef平面acd.證明 (1)bd平面aef,bd平面bcd,平面bcd平面aef=ef,bdef.又bd平面abd,ef平面abd,ef平面abd.(2)ae平面bcd,cd平面bcd,aecd.由(1)可知bdef.bdcd,efcd.又aeef=e,ae平面aef,e

3、f平面aef,cd平面aef.又cd平面acd,平面aef平面acd.3.如圖,在直三棱柱abc-a1b1c1中,abc為等腰直角三角形,bac=90°,且ab=aa1,d,e,f分別為b1a,c1c,bc的中點(diǎn),求證:(1)de平面abc;(2)b1f平面aef.證明 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系axyz,不妨設(shè)ab=aa1=4,則a(0,0,0),e(0,4,2),f(2,2,0),b(4,0,0),b1(4,0,4).(1)取ab的中點(diǎn)為n,連接cn,則n(2,0,0),c(0,4,0),d(2,0,2),de=(-2,4,0),nc=(-2,4,0),de=nc,denc.nc平

4、面abc,de平面abc,de平面abc.(2)b1f=(-2,2,-4),ef=(2,-2,-2),af=(2,2,0).b1f·ef=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,b1f·af=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.b1fef,b1faf,即b1fef,b1faf.又afef=f,b1f平面aef.4.在直三棱柱abc-a1b1c1中,abc=90°,bc=2,cc1=4,點(diǎn)e在線段bb1上,且eb1=1,d,f,g分別為cc1,c1b1,c1a1的中點(diǎn).求證:(1)b1d平面

5、abd;(2)平面egf平面abd.證明 (1)以b為坐標(biāo)原點(diǎn),ba,bc,bb1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則b(0,0,0),d(0,2,2),b1(0,0,4),c1(0,2,4).設(shè)ba=a,則a(a,0,0),所以ba=(a,0,0),bd=(0,2,2),b1d=(0,2,-2),b1d·ba=0,b1d·bd=0+4-4=0,即b1dba,b1dbd.又babd=b,ba,bd平面abd,因此b1d平面abd.(2)由(1)知,e(0,0,3),ga2,1,4,f(0,1,4),則eg=a2,1,1,ef=(0,1,1),b1

6、d·eg=0+2-2=0,b1d·ef=0+2-2=0,即b1deg,b1def.又egef=e,eg,ef平面egf,因此b1d平面egf.結(jié)合(1)可知平面egf平面abd.5.(2017北京房山一模,理16)如圖1,在邊長為2的菱形abcd中,bad=60°,將bcd沿對(duì)角線bd折起到bc'd的位置,使平面bc'd平面abd,e是bd的中點(diǎn),fa平面abd,且fa=23,如圖2.(1)求證:fa平面bc'd;(2)求平面abd與平面fbc'所成角的余弦值;(3)在線段ad上是否存在一點(diǎn)m,使得c'm平面fbc'

7、?若存在,求amad的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)證明 bc'=c'd,e為bd的中點(diǎn),c'ebd.又平面bc'd平面abd,且平面bc'd平面abd=bd,c'e平面abd.fa平面abd,fac'e.又c'e平面bc'd,fa平面bc'd,fa平面bc'd.(2)解 以db所在直線為x軸,ae所在直線為y軸,ec'所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則b(1,0,0),a(0,-3,0),d(-1,0,0),f(0,-3,23),c'(0,0,3),bf=(-1,-3,23),bc&#

8、39;=(-1,0,3).設(shè)平面fbc'的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則m·bf=-x-3y+23z=0,m·bc'=-x+3z=0,取z=1,則m=(3,1,1).平面abd的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),cos<m,n>=m·n|m|n|=15×1=55.則平面abd與平面fbc'所成角的余弦值為55.(3)解 假設(shè)在線段ad上存在m(x,y,z),使得c'm平面fbc',設(shè)am=ad,則(x,y+3,z)=(-1,3,0)=(-,3,0),x=-,y=3(-1),z=0.而c'm=(

9、-,3(-1),-3),由mc'm,得-3=3(-1)1=-31,無解.線段ad上不存在點(diǎn)m,使得c'm平面fbc'.6.在長方體abcd-a1b1c1d1中,aa1=2ab=2bc,e,f,e1分別是棱aa1,bb1,a1b1的中點(diǎn).(1)求證:ce平面c1e1f;(2)求證:平面c1e1f平面cef.證明 以d為原點(diǎn),da,dc,dd1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)bc=1,則c(0,1,0),e(1,0,1),c1(0,1,2),f(1,1,1),e11,12,2.(1)設(shè)平面c1e1f的法向量為n=(x,y,z).c1e1=1,-12,0

10、,fc1=(-1,0,1),n·c1e1=0,n·fc1=0,即x-12y=0,-x+z=0.令x=1,得n=(1,2,1).ce=(1,-1,1),n·ce=1-2+1=0,cen.又ce平面c1e1f,ce平面c1e1f.(2)設(shè)平面efc的法向量為m=(a,b,c),由ef=(0,1,0),fc=(-1,0,-1),m·ef=0,m·fc=0,即b=0,-a-c=0.令a=-1,得m=(-1,0,1).m·n=1×(-1)+2×0+1×1=-1+1=0,平面c1e1f平面cef.導(dǎo)學(xué)號(hào)1680419

11、87.(2017安徽安慶二模,理18)在如圖所示的五面體中,四邊形abcd為直角梯形,bad=adc=2,平面ade平面abcd,ef=2dc=4ab=4,ade是邊長為2的正三角形.(1)證明:be平面acf;(2)求二面角a-bc-f的余弦值.(1)證明 取ad的中點(diǎn)o,以o為原點(diǎn),oa為x軸,過o作ab的平行線為y軸,oe為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則b(1,1,0),e(0,0,3),a(1,0,0),c(-1,2,0),f(0,4,3),be=(-1,-1,3),af=(-1,4,3),ac=(-2,2,0),be·af=1-4+3=0,be·ac=2-2=0,b

12、eaf,beac.又afac=a,be平面acf.(2)解 bc=(-2,1,0),bf=(-1,3,3).設(shè)平面bcf的法向量n=(x,y,z),則n·bc=-2x+y=0,n·bf=-x+3y+3z=0,取x=1,得n=1,2,-53.易知平面abc的一個(gè)法向量m=(0,0,1).設(shè)二面角a-bc-f的平面角為,則cos =m·n|m|n|=-531×1+4+253=-104.二面角a-bc-f的余弦值為-104.導(dǎo)學(xué)號(hào)168041998.(2017北京西城二模,理16)如圖,在幾何體abcdef中,底面abcd為矩形,efcd,adfc.點(diǎn)m在棱f

13、c上,平面adm與棱fb交于點(diǎn)n.(1)求證:admn;(2)求證:平面admn平面cdef;(3)若cdea,ef=ed,cd=2ef,平面ade平面bcf=l,求二面角a-l-b的大小.(1)證明 因?yàn)樗倪呅蝍bcd為矩形,所以adbc,所以ad平面fbc.又因?yàn)槠矫鎍dmn平面fbc=mn,所以admn.(2)證明 因?yàn)樗倪呅蝍bcd為矩形,所以adcd.因?yàn)閍dfc,所以ad平面cdef.所以平面admn平面cdef.(3)解 因?yàn)閑acd,adcd,所以cd平面ade,所以cdde.由(2)得ad平面cdef,所以adde.所以da,dc,de兩兩互相垂直.建立空間直角坐標(biāo)系dxyz.不妨設(shè)ef=ed=1,則cd=2.設(shè)ad=a(a>0),由題意,得a(a,0,0),b(a,2,0),c(0,2,0),d(0,0,0),e(0,0,1),f(0,1,1).所以cb=(a,0,0),cf=(0,-1,1).設(shè)平面fbc的法向量為n=(x,y,z),則n·cb=0,n·cf=0,即ax=0,-y+z=0,令z=1,則y=1.所以n=(0,1,1).又平面ade的一個(gè)法