二輪復(fù)習(xí)之特征方程法求遞推數(shù)列的通項公式(基礎(chǔ)篇)

1、二輪復(fù)習(xí)之特征方程法求遞推數(shù)列的通項公式（基礎(chǔ)篇）適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級高三適用區(qū)域人教版課時時長（分鐘）60知識點常見數(shù)列通項公式的求法（構(gòu)造法、特征法等）教學(xué)目標(biāo)1、 讓學(xué)生數(shù)列的掌握各種不同數(shù)列的通項的求法2、 特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。教學(xué)重點構(gòu)造法、特征法等教學(xué)難點構(gòu)造法、特征法等教學(xué)過程 一、高考解讀各種數(shù)列問題在很多情形下，就是對數(shù)列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問題中，數(shù)列通項公式的求解問題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)一、等差數(shù)列的通

2、項公式：an= 或an= ；說明：等差數(shù)列（通常可稱為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。等差中項的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。其中 ，成等差數(shù)列。等差數(shù)列的前和的求和公式 ；二、等比數(shù)列通項公式：an= 或an= ；3、前n項和公式：Sn = （q=1） = ，（q1）三、知識講解考點1 （一階線性遞推式）設(shè)已知數(shù)列的項滿足,其中求這個數(shù)列的通項公式。采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法特征方程法：針對問題中的遞推關(guān)系式作出一個方程稱之為特征方程；借助這個特征方程的根快速求解

3、通項公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述.考點2 設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)時，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.證明：因為由特征方程得作換元則當(dāng)時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故當(dāng)時，為0數(shù)列，故（證畢）四、例題精析例題1 已知數(shù)列中，求.【規(guī)范解答】設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.【總結(jié)與思考】遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例題2 設(shè)數(shù)列：，求.【規(guī)范解答】設(shè)，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得【總結(jié)與思考】（1）若為的二次式，則可設(shè);(

4、2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.例題3 已知數(shù)列中，,，求。【規(guī)范解答】在兩邊乘以得：令，則,應(yīng)用例7解法得：所以【總結(jié)與思考】引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型3的方法解決。例題4 已知數(shù)列中，,，求。【規(guī)范解答】由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以?！究偨Y(jié)與思考】 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型3的方法求解。例題5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首

5、項，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：數(shù)列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故【總結(jié)與思考】對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。課程小結(jié)設(shè)已知數(shù)列的項滿足,其中求這個數(shù)列的通項公式。采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法特征方程法：針對問題中的遞推關(guān)系式作出一個方程稱之為特征方程；借助這個特征方程的根快速求解通項公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述.定理1：設(shè)上述遞