7函數(shù)的性質(zhì)二

1、 理解函數(shù)的周期性與對稱性的理解函數(shù)的周期性與對稱性的概念，能綜合運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解題概念，能綜合運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解題.1.函數(shù)函數(shù)f(x)=2x2-x+1的對稱軸方程是的對稱軸方程是x= .142.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)滿足滿足f(x+4)=f(x)，當(dāng)，當(dāng)2x3時，時，f(x)=x，則，則f(106.5)= .2.5 由周期函數(shù)的定義知由周期函數(shù)的定義知f(106. 5)=f(264+2.5)=f(2.5)=2.5.3.函數(shù)函數(shù)f(x)=ax2+bx+6(ab0)滿足條件滿足條件 f(-1)=f(3)，則，則f(2)的值為的值為( )ba.5 b.6c.8 d.與與a、b的值有關(guān)的值有關(guān) 由

2、由f(-1)=f(3)，知二次函數(shù)，知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+6的對稱軸方程是的對稱軸方程是x=1，所以所以f(2)=f(0)=6.4.設(shè)設(shè)f(x)滿足滿足f(x+ )=-f(x),且且f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù).若若f(1)1,f(2)=a,則下列結(jié)論正確的是則下列結(jié)論正確的是( )d32a.a2 b.a1 d.a-1 由已知得由已知得f(x+3)=f(x)，所以，所以f(x)的 周 期 是的 周 期 是 3 , 且 是 奇 函 數(shù)且 是 奇 函 數(shù) , 所 以所 以a=f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1)f(3) b.f(2)f(5)c.f(3)f(5) d.f(3)f(6

3、) 由已知，由已知，f(x)的對稱軸方程是的對稱軸方程是x=4，所以所以f(3)=f(5)f(6).1.函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)滿足滿足f(a+x)=f(a-x)或或f(x)=f(2a-x)，則函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 對稱對稱.一般的，若一般的，若f(a+x)=f(b-x)，則，則函數(shù)函數(shù)f(x)的對稱軸方程是的對稱軸方程是 .x=ax=2ab 2.函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 函數(shù)的周期性的定義：設(shè)函數(shù)函數(shù)的周期性的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x),xd，若存在非零常數(shù)，若存在非零常數(shù)t，使得，使得對任意的對任意的xd都有都有 ，則函，則函數(shù)數(shù)f(x)

4、為周期函數(shù)，為周期函數(shù)，t為為y=f(x)的一個周的一個周期期.若函數(shù)若函數(shù)f(x)對定義域中任意對定義域中任意x滿足滿足f(x+a)=-f(x)或或f(x+a)=- a0)，則函數(shù)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，它的一個周期是是周期函數(shù)，它的一個周期是 .f(x+t)=f(x)1( )f x2a f(x)是定義在是定義在r上的函數(shù)，若上的函數(shù)，若f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x)(xr，ba0)，求證：，求證：f(x)是周期函數(shù)是周期函數(shù).例例1 函數(shù)的性質(zhì)是互相聯(lián)系的，尤其是函數(shù)的性質(zhì)是互相聯(lián)系的，尤其是對稱性與單調(diào)性對稱性與單調(diào)性.本題已知函數(shù)的兩條平行本題已知函數(shù)的兩條

5、平行于于y軸的對稱軸，函數(shù)必是周期函數(shù)，一軸的對稱軸，函數(shù)必是周期函數(shù)，一個周期是個周期是2(b-a)，注意推導(dǎo)過程，注意推導(dǎo)過程. 因?yàn)橐驗(yàn)閒x+2(b-a)=fb+(x+b-2a)=fb-(x+b-2a)=f(2a-x)=fa+(a-x)=fa-(a-x)=f(x)，且且2(b-a)0，所以，所以f(x)是周期函數(shù)是周期函數(shù).設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在是定義在r上的偶函數(shù)上的偶函數(shù),且滿足：且滿足：f(x)=f(2-x)；當(dāng)當(dāng)0 x1時，時，f(x)=x2.（1）判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)是否是周期函數(shù)；是否是周期函數(shù)；（2）求求f(5.5)的值的值. (1)由由 f(x)=f(2-x)

6、f(x)=f(-x) f(x)=f(x+2) f(x)是周期為是周期為2的周期函數(shù)的周期函數(shù).(2) f(5.5)=f(4+1.5)=f(1.5)=f(0.5)=0.25.f(-x)=f(2-x)例例2 已知已知a0,且且a1,f(logax)= ( ).（1）求求f(x)的解析式；的解析式；（2）判斷判斷f(x)的奇偶性和單調(diào)性；的奇偶性和單調(diào)性；（3）若函數(shù)若函數(shù)f(x)定義在（定義在（-1，1）時，有）時，有f(1-m)+f(1-m2)1時，時，a2-10，ax1-ax20，所以所以f(x1)f(x2)，當(dāng)當(dāng)0a1時，時，a2-10，所以所以f(x1)0且且a1時，時，f(x)總是增函數(shù)

7、總是增函數(shù).21aa 121xxa a(2)因?yàn)橐驗(yàn)閒(-x)= (a-x-ax)=- (ax-a-x)=-f(x),所以所以f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù).設(shè)設(shè)x1、x2r，且，且x1x2，則則f(x1)-f(x2)= (ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)21aa 21aa 21aa 21aa (3)當(dāng)當(dāng)x(-1,1)時，有時，有 -11-m1 0m2 -11-m21 -2m2且且m0由由f(1-m)+f(1-m2)0，得，得f(1-m)-f(1-m2).而而f(x)為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以f(1-m)f(m2-1).又又f(x)為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，所以1-m0，解得，解得m1或或m

8、-2.綜上所述，可知綜上所述，可知1m .所以集合所以集合m=m|1m .0m0)在區(qū)間在區(qū)間-8,8上有四個不同的根上有四個不同的根x1、x2、x3、x4，則，則x1+x2+x3+x4= .學(xué)例1-8 因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)是定義在是定義在r上的奇函數(shù)，上的奇函數(shù)，且滿足且滿足f(x-4)=-f(x)，所以，所以f(x-4)=f(-x).所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，對稱，且且f(0)=0.由由f(x-4)=-f(x)知知f(x-8)=f(x),所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)是以是以8為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).又因?yàn)橛忠驗(yàn)閒(x)在區(qū)間在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，所以所以f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 -2，0上也是增函數(shù)上也是增函數(shù).故函數(shù)故函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示的大致圖象如圖所示.那么