浙江專用高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第3講圓的方程學(xué)案10142116

1、- 1 -第第 3 3 講講圓的方程圓的方程最新考綱掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.知 識 梳 理1.圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(xa)2(yb)2r2(r0)圓心c(a，b)半徑為r一般x2y2dxeyf0(d2e24f0)充要條件：d2e24f0圓心坐標(biāo)：d2，e2半徑r12d2e24f2.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點m(x0，y0)與圓c：(xa)2(yb)2r2之間存在著下列關(guān)系：(1)drm在圓外，即(x0a)2(y0b)2r2m在圓外；(2)drm在圓上，即(x0a)2(y0b)2r2m在圓上；(3)drm在圓內(nèi)，即(

2、x0a)2(y0b)2r2m在圓內(nèi).診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()(2)方程x2y2a2表示半徑為a的圓.()(3)方程x2y24mx2y5m0 表示圓.()(4)方程ax2bxycy2dxeyf0 表示圓的充要條件是ac0，b0，d2e24af0.()解析(2)當(dāng)a0 時，x2y2a2表示點(0，0)；當(dāng)a0 時，表示半徑為|a|的圓.(3)當(dāng)(4m)2(2)245m0，即m14或m1 時才表示圓.答案(1)(2)(3)(4)2.(2015北京卷)圓心為(1，1)且過原點的圓的方程是()a.(x1)2(y1)21b.(x1)2(y1

3、)21c.(x1)2(y1)22d.(x1)2(y1)22解析由題意得圓的半徑為 2，故該圓的方程為(x1)2(y1)22，故選 d.答案d- 2 -3.若點(1，1)在圓(xa)2(ya)24 的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()a.(1，1)b.(0，1)c.(，1)(1，)d.a1解析因為點(1，1)在圓的內(nèi)部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0)，將p，q兩點的坐標(biāo)分別代入得2d4ef20，3def10.又令y0，得x2dxf0.設(shè)x1，x2是方程的兩根，由|x1x2|6，得d24f36，由，解得d2，e4，f8，或d6，e8，f0.故所求圓的方程為x2y22x4y80 或x2y26x

4、8y0.答案(1)(x3)2y22(2)x2y22x4y80 或x2y26x8y0規(guī)律方法求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法， 通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時， 常用到的圓的三個性質(zhì)：圓心在過切點且垂直切線的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.【訓(xùn)練 1】 (1)(2016天津卷)已知圓c的圓心在x軸的正半軸上，點m(0， 5)在圓c上，- 4 -且圓心到直線 2xy0 的距離為4 55，則圓c的方程為_.(2)(2017武漢模擬)以拋

5、物線y24x的焦點為圓心，與該拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.解析(1)因為圓c的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)c(a，0)，且a0，所以圓心到直線 2xy0 的距離d2a54 55，解得a2，所以圓c的半徑r|cm| 453，所以圓c的方程為(x2)2y29.(2)拋物線y24x的焦點為(1，0)，準(zhǔn)線為x1，故所求圓的圓心為(1，0)，半徑為 2，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y24.答案(1)(x2)2y29(2)(x1)2y24考點二與圓有關(guān)的最值問題【例 2】 已知實數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和

6、最小值.解原方程可化為(x2)2y23，表示以(2，0)為圓心， 3為半徑的圓.(1)yx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)yxk，即ykx.當(dāng)直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時|2k0|k21 3，解得k 3(如圖 1).所以yx的最大值為 3，最小值為 3.(2)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，當(dāng)直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時|20b|2 3，解得b2 6(如圖 2).所以yx的最大值為2 6，最小值為2 6.(3)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的- 5 -兩個交點處取得最大值和最小值(

7、如圖 3).又圓心到原點的距離為 （20）2（00）22，所以x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3.規(guī)律方法把有關(guān)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題， 充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中以下幾類轉(zhuǎn)化極為常見：(1)形如mybxa的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如taxby的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題.【訓(xùn)練 2】 (1)(2017義烏市診斷)圓心在曲線y2x(x0)上，與直線 2xy10 相切，且面積最小的圓的方程為()a.(x2

8、)2(y1)225b.(x2)2(y1)25c.(x1)2(y2)225d.(x1)2(y2)25(2)(2014全國卷)設(shè)點m(x0，1)，若在圓o：x2y21 上存在點n，使得omn45，則x0的取值范圍是_.解析(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為ca，2a(a0)， 則半徑r2a2a1522a2a15 5， 當(dāng)且僅當(dāng)2a2a，即a1 時取等號.所以當(dāng)a1 時圓的半徑最小，此時r 5，c(1，2)，所以面積最小的圓的方程為(x1)2(y2)25.(2)如圖所示，過點o作opmn交mn于點p.在 rtomp中，|op|om|sin 45，又|op|1，得|om|1sin 45 2.|om| 1x20 2，x

9、201.因此1x01.答案(1)d(2)1，1考點三與圓有關(guān)的軌跡問題- 6 -【例 3】 設(shè)定點m(3，4)，動點n在圓x2y24 上運(yùn)動，以om，on為鄰邊作平行四邊形monp，求點p的軌跡.解如圖所示，設(shè)p(x，y)，n(x0，y0)，則線段op的中點坐標(biāo)為x2，y2 ，線段mn的中點坐標(biāo)為x032，y042.由于平行四邊形的對角線互相平分，故x2x032，y2y042.從而x0 x3，y0y4.又n(x3，y4)在圓上，故(x3)2(y4)24.因此所求軌跡為圓：(x3)2(y4)24，但應(yīng)除去兩點95，125 和215，285 (點p在直線om上時的情況).規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問

10、題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等.【訓(xùn)練 3】 (2014全國卷)已知點p(2，2)，圓c：x2y28y0，過點p的動直線l與圓c交于a，b兩點，線段ab的中點為m，o為坐標(biāo)原點.(1)求m的軌跡方程；(2)當(dāng)|op|om|時，求l的方程及pom的面積.解(1)圓c的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為c(0，4)，半徑為 4.設(shè)m(x，y)，則cm(x，y4)，mp(2x，2y).由題設(shè)知cmmp0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點p在圓c的內(nèi)部，所以m的軌跡方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知m的軌跡是以點n(1，3)為圓心， 2為半徑的圓.由于|op|om|，故o在線段pm的垂直平分線上，又p在圓n上，從而onpm.因為on的斜率為 3，所以l的斜率為13，故l的方程為x3y80.又|om|op|2 2，o到l的距離為4 105，- 7 -所以|pm|4 105，spom124 1054 105165，故pom的面積為165.思想方法1.確定一個圓的方程，需要三個獨(dú)立條件.“選形式、定參數(shù)”是求圓的