2021高考數(shù)學(xué)(江蘇專用)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第八章8.6橢圓(含解析)

1、8.6 橢 圓1橢圓的概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1，F(xiàn)2 的距離的和等于常數(shù) (大于 F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn) F1，F(xiàn)2 叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距集合 P M|MF1MF22a，F(xiàn)1F22c，其中 a>0， c>0，且 a，c 為常數(shù)：(1) 若 a>c，則集合 P 為橢圓；(2) 若 a c，則集合 P 為線段；(3) 若 a<c，則集合 P 為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程ax22by221abay2bx21（a>b>0）（a>b>0）圖形性質(zhì)范圍a xab yb b x b a y a對(duì)稱性對(duì)稱軸：

2、坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1（a,0）， A2（a,0）B1（0， b），B2（0， b）A1 （0， a）， A2（0， a）B1（b,0），B2（b,0）軸長軸 A1A2 的長為 2a；短軸 B1B2 的長為 2b焦距F1 F2 2c離心率ce a （0,1）aa，b，c 的關(guān)系a2b2c23.橢圓的第二定義平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn) P 到定點(diǎn) F 的距離和它到定直線 l(點(diǎn) F 不在直線 l 上)的距離的比是常數(shù) e(0<e<1) 的點(diǎn)的軌跡是橢圓定點(diǎn) F 是焦點(diǎn)，定直線 l 是準(zhǔn)線，常數(shù) e 是離心率概 念 方 法 微 思 考1在橢圓的定義中，若 2aF1F2或 2a<F1F

3、2，動(dòng)點(diǎn) P的軌跡如何？提示 當(dāng) 2aF 1F2時(shí)動(dòng)點(diǎn) P的軌跡是線段 F1F2；當(dāng) 2a<F1F2時(shí)動(dòng)點(diǎn) P的軌跡是不存在的 2橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？提示由 e ac 1 ab 2知，當(dāng) a 不變時(shí)，e 越大， b 越小，橢圓越扁；e 越小， b 越大，橢圓越圓題組一 思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確 (請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×” )(1) 橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形( )(2) 橢圓上一點(diǎn) P與兩焦點(diǎn) F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為 2a2c(其中 a為橢圓的長半軸長， c 為橢圓的半焦距 ) ( )(3) 方程 mx2ny21(m>0

4、， n>0，m n)表示的曲線是橢圓 ( )b2 1(a> b>0)與 a2xb21(a>b>0) 的焦距相等 ( )題組二 教材改編1 的焦距為 4，則 m 等于 ()B8D122橢圓 10xm my 210m m 2A4C 4 或 8 答案 C 解析 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)， 10 m>m2>0， 10m(m 2) 4， m 4.當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)， m2>10m>0，m2(10m)4，m 8. m 4 或 8.x2 y2x2 y2A. 1A.15101C.x2y21C.10 153過點(diǎn) A(3，2)且與橢圓 x9y41 有相同焦點(diǎn)的橢

5、圓的方程為 ( )B. x2 y2 1B.25201D.x y 120 15答案 Ax2y29 4解析 由題意知 c25，可設(shè)橢圓方程為 x y 1(>0) ，則 9 41，解得 10 或 5 5 2(舍去 )， 所求橢圓的方程為 1x51y0 1.x2 y24已知點(diǎn) P是橢圓 x y 1上 y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn) P及焦點(diǎn) F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的 54面積等于 1，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 答案215，1 或 215，1解析 設(shè) P(x，y)，由題意知 c2a2b25 41， 所以 c 1，則 F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)由題意可得點(diǎn) P 到 x 軸的距離為 1，所以 y ±

6、1，把 y±1代入 xy1，54得 x± 215，又 x>0，所以 x 215， 所以 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 215， 1 或 215， 1 . 題組三 易錯(cuò)自糾5若方程 5x mmy31表示橢圓，則 m 的取值范圍是 （5m m 3A（ 3,5）C（3,1）（1,5） 答案 CB（5,3）D（5,1）（1,3）5m>0，解析 由方程表示橢圓知 m3>0 ，5mm3，解得 3<m<5 且 m 1.6已知橢圓 x y 1（m>0） 的離心率 e 10，則 m 的值為5 m 5答案 3 或 2353解析 若 a25，b2m，則 c 5 m，m 3.由

7、ca 510，即 55m 510，解得25 m 3 .若 a2 m， b2 5，則 c m5. 由 ca 510，即 m 5 510，解得7設(shè)點(diǎn) P（x，y）在橢圓 4x2 y2 4上，則 5x2y26x的最大值為 ，最小值為 答案 11 1解析 由橢圓的幾何性質(zhì)知 1x1，由 y2 4x24，得 5x2 y2 6x x2 6x 4 （x 3）2 5，所以當(dāng) x1時(shí)，5x2y26x取得最大值 11；當(dāng) x1時(shí) 5x2 y2 6x取得最小值 1.第 1 課時(shí) 橢圓及其性質(zhì)橢圓的定義及其應(yīng)用1（2019 ·保定模擬 ）與圓 C1：（x3）2y21外切，且與圓 C2：（x 3）2 y2 8

8、1 內(nèi)切的動(dòng)圓圓 心 P 的軌跡方程為 答案22x5161個(gè)焦點(diǎn)在 BC 邊上，則 ABC 的周長是 解析 設(shè)動(dòng)圓的半徑為 r，圓心為 P（x，y），則有 PC1r1， PC2 9r.所以 PC1PC210 的橢圓上，得點(diǎn) P 的軌跡方10>C1C26，即 P 在以 C1（ 3,0），C2（3,0） 為焦點(diǎn)，長軸長為x2程為2x52.如圖， ABC 的頂點(diǎn) B，C 在橢圓 3y21 上，頂點(diǎn) A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外答案 4 3 解析 a23， a 3.ABC 的周長為 AC ABBCAC CF2ABBF22a2a4a4 3.x2 y23設(shè)點(diǎn) P 為橢圓 C： 2 1(a>

9、2)上一點(diǎn)， F 1， F2分別為 C 的左、右焦點(diǎn)，且 F1PF2 a460°，則 PF 1F2的面積為 答案433解析 由題意知， c a2 4.又F1PF260°，F(xiàn)1PPF22a，F(xiàn)1F22 a24，F(xiàn)1F22（F1P PF2）22F1P·PF22F1P·PF2·cos 60 °4a23F1P·PF24a216， SPF1F2 2F1P·PF2sin 604已知 F 是橢圓 5x29y2 45 的左焦點(diǎn)， P 是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)， A(1,1)是一定點(diǎn)，則 PA PF 的最大值為 ，最小值為 答案 6 2 6

10、 2 解析 橢圓方程化為 x y 1，95設(shè) F1 是橢圓的右焦點(diǎn)，則 F1(2,0)，AF1 2， PAPFPAPF16，又 AF1PAPF1AF1(當(dāng) P，A，F(xiàn)1共線時(shí)等號(hào)成立 )，PA PF6 2，PAPF6 2.思維升華 橢圓定義的應(yīng)用技巧 (1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和 離心率等(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn) 1 定義法例1(1)(2020 ·湖北 “荊、荊、襄、宜x 4a8， a 2，又離心率為 2， y2”四地七校聯(lián)考 )已知橢圓 C：x2 y2 1(a&g

11、t;b>0)的左、 ab1右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，離心率為 2，過F2的直線與橢圓 C交于 A，B兩點(diǎn)，若 F1AB的周長 為 8 ，則橢圓方程為 ()x2 y2A. 1A.4 31x2 y2B.16121x2C.x2 y21x2 y2D.x4y21答案 A解析 如圖，由橢圓的定義可知， F1AB 的周長為 4a，B.x23x2C.x431x2D.x5 c 1，x2 y2b2 3，所以橢圓方程為 x y 1.43(2)(2019 全·國)已知橢圓 C的焦點(diǎn)為 F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過 F2的直線與 C交于 A，B兩點(diǎn)若AF22F2B，AB BF1，則 C 的方程為

12、( )x2A.x2y21答案 B解析 由題意設(shè)橢圓的方程為 x2y21(a>b>0) ，連接 F1A，ab令 F2Bm，則 AF2 2m，BF13m. 由橢圓的定義知， 4m 2a，得 ma2， 故 F2A a F1A， 則點(diǎn) A 為橢圓 C 的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)令OAF2(O 為坐標(biāo)原點(diǎn) )，則 sin caa1.在等腰三角形ABF1 中，cos 22m 2 3m 2 3m 22× 2m·3m13，11因?yàn)?cos 212sin2，所以 112 2，得 a23. 3a又 c2 1，所以 b2 a2c22，橢圓 C 的方程為 x3 y2 1，故選 B.命題點(diǎn) 2 待

13、定系數(shù)法例 2 （1）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)2， 2 ，（ 3， 5），則橢圓方程為 y2 x2 答案 1y0x6 1解析 設(shè)橢圓方程為 mx2 ny2 1（m， n>0， m n）由 23 2m 25 2n 1，3m 5n 1，11 解得 m 61， n110.橢圓方程為 1y0x6 1.（2）過點(diǎn) （ 3， 5），且與橢圓 2y5x91 有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2 x2答案 y x 120 4解析 方法一 （待定系數(shù)法 ）：設(shè)所求橢圓方程為 25yk9x k 1（k<9），將點(diǎn) （ 3， 5）的 坐標(biāo)代入可得 5 3 1，解得 k5（k21

14、舍去 ），所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y x25 k 9 k20 41.方法（定義法 ）：橢圓 1的焦點(diǎn)為 （0，4），（0,4），即 c4.由橢圓的定義知， 2a30 2 5 4 23 0 2 5 4 2，解得 a2 5.由 c2 a2 b2 可得 b2 4.y2 x2所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2y0x4 1.思維升華 （1）利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a>F1F2；利用待定系數(shù)法要先定形 （焦點(diǎn)位置 ），再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny2 1（m>0，n>0，m n）的形式（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)應(yīng)用x2 y2x2 y2方程ax2 yb2 1 與xa2by2 （

15、 >0）有相同的離心率與橢圓 xa2yb21（a>b>0）共焦點(diǎn)的橢圓系方程為 a2xkb2y k1（a>b>0，kb2>0）恰當(dāng)運(yùn)用 橢圓系方程，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便跟蹤訓(xùn)練 1 （1）（2019 ·福建泉州模擬 ）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1（ 5， 0）， F2（ 5， 0）， M 是 橢圓上一點(diǎn)，若 MF 1 MF 2， MF 1·MF 28，則該橢圓的方程是 （ ）22x2 y2A. 17222x2 y2B. 127x2C.x9 4y21D.x2y2491答案 C解析 設(shè) MF 1m，MF 2 n， MF 1 MF 2， MF 1

16、3;MF 28，F(xiàn)1F22 5，m2n220，mn8，(m n)236，mn2a6，a3.c 5，b a2c22.橢圓的方程是 x9 y4941.(2)與橢圓 4 3 1有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn) (2， 3)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 答案 2y522x2534221或x82y621解析 方法ecaa2 b2 a21，若焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)所求橢圓方n 2 3， n m 4， m3.2.x2 y2n 1程為 m2 n2 1(m>n>0)，則 1 m 2 4.從而 又m42n321，m28，n26. 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x y 1.86若焦點(diǎn)在 y 軸上，設(shè)橢圓的方程為 y2x2 1(m>

17、n>0)， mn則 32 42 1，且 n 3，解得 m225，n225. m2 n2m 2 3 4y2 x2 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y x 1.25 2534方法二 若焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)所求橢圓方程為x y t(t>0) ，將點(diǎn) (2， 3)代入，得 43 t242 322.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x8 y61.若焦點(diǎn)在 y 軸上，設(shè)方程為 y4 x3 (>0)代入點(diǎn) (2， 3)，得 1225， 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2y52x51.34橢圓的幾何性質(zhì)命題點(diǎn) 1 離心率x2 y2例 3 (1)已知 F1，F(xiàn)2是橢圓 C： 2 21(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)

18、， A是 C 的左頂點(diǎn)，點(diǎn) P在 ab過 A且斜率為 63的直線上， PF 1F 2為等腰三角形， F1F2P120°，則 C 的離心率為 ()2111A.23 B.12 C.31 D.14答案 D解析 如圖，作 PB x 軸于點(diǎn) B.由題意可設(shè) F1F2PF 22，則 c1，由F1F2P120°，可得 PB 3，BF2 1，故 ABa1 1a2，tan PAB PB 3 3ABa 2 6解得 a4，所以 e ca14.(2)若橢圓上存在三點(diǎn)，使得這三點(diǎn)與橢圓中心恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)， 心率為 ( )則該橢圓的離A. 521B. 33 C. 22D.36答案 D解析

19、設(shè)橢圓的方程為 ax2by21(a>b>0)，根據(jù)橢圓與正方形的對(duì)稱性，可畫出滿足題意的圖形，如圖所示，因?yàn)?OB a，所以 OA 22a，所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)為aa又點(diǎn) A 在橢圓上，所以a2 a24a24b21，所以 a2 3b2， 所以 a23(a2c2)，所以 3c2 2a2， 所以橢圓的離心率 e c 6.P，使 F1PF2 90°，a3則F1BF290°（B 為短軸端點(diǎn) ）， 即 b c<a，即 b2 c2，a2c2c2，a22c2，命題點(diǎn) 2 與橢圓有關(guān)的范圍 （最值 ）例4x2 y2F1， F2，過 F1的直線 l 交橢圓于 A，（1）已知橢

20、圓 x y21（0<b<2）的左、右焦點(diǎn)分別為4bB 兩點(diǎn)，若 BF2AF2的最大值為 5，則 b的值是 答案 3解析 由橢圓的方程可知 a 2， 由橢圓的定義可知， AF2BF2AB 4a8， 所以 AB8（AF2BF2） 3，當(dāng) AB 垂直于 x 軸時(shí) AB 有最小值，則2b2 3.所以 b2 3，即 b 3.x2 y2（2）設(shè) A，B是橢圓 C：x3 ym1長軸的兩個(gè)端點(diǎn) 若C上存在點(diǎn) M 滿足 AMB 120°，則m 3m的取值范圍是 （ ）A（0,19 ， ）B（0， 3 9 ， ）C（0,14 ， ）D（0， 3 4 ， ）答案 A解析 方法一 設(shè)焦點(diǎn)在 x

21、軸上，點(diǎn) M（x， y）過點(diǎn) M 作 x 軸的垂線，交 x 軸于點(diǎn) N， 則 N(x,0)故 tanAMB tan(AMNBMN)3x|y|3x|y|2 3|y|3x· 3x|y| · |y|x2y23.又 tan AMB tan 120 ° 3， 且由x3ym1，可得 x233my ，2 3|y|33my y232 3|y|1 m3m解得 |y|2m3m2m又 0<|y| m，即 0<3 m m， 結(jié)合 0<m<3 解得 0<m 1. 對(duì)于焦點(diǎn)在 y 軸上的情況，同理亦可得 m 9. 則 m 的取值范圍是 (0,19， )故選 A.

22、方法二 當(dāng) 0<m<3 時(shí)，焦點(diǎn)在 x 軸上， 要使 C 上存在點(diǎn) M 滿足 AMB 120°， 則batan 60 ° 3，即 3 3， 解得 0<m 1.當(dāng) m>3 時(shí)，焦點(diǎn)在 y 軸上， 要使 C 上存在點(diǎn) M 滿足 AMB 120°， 則batan 60 ° 3，即 m 3，解得 m9.故 m 的取值范圍為 (0,19， )故選 A.思維升華 (1)求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a， b， c 的關(guān)系式 (等式或不等式 )，轉(zhuǎn)化為 e 的關(guān)系式，常用方法如下：c 直接求出 a，c，利用離心率公式 e c求解a由 a與 b 的關(guān)系求離心率，利用變形公式構(gòu)造 a，c 的齊次式離心率 e的求解中可以不求出 a，c的具體值，而是得出