有限元法概念意義與應用

1、有限元法概論、意義與應用班級： 2013信息 姓名： 張正學號： 2013040692指導老師： 曾偉梁摘要：有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構成不同的有限元方法。關鍵詞：有限元法；變分原理；加權余量法；函數(shù)。Abstract：Finite element method is based on the variation

2、al principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivati

3、ve by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a diffe

4、rent finite element method.Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。引言 隨著現(xiàn)代科學技術的發(fā)展，人們正在不斷建造更為快速的交通工具、更大規(guī)模的建筑物、更大跨度的橋梁、更大功率的發(fā)電機組和更為精密的機械設備。這一切都要求工程師在設計階段就能精確地預測出產(chǎn)品和工程的技術性能，需要對結構的靜、動力強度以及溫度場、流場、電磁場和滲流等技術參數(shù)進行分析計算。例如分析計算高層建筑和大跨度橋梁在地震時所受到的影響，看看是否會發(fā)生破壞性事故；分

5、析計算核反應堆的溫度場，確定傳熱和冷卻系統(tǒng)是否合理；分析渦輪機葉片內(nèi)的流體動力學參數(shù)，以提高其運轉效率。這些都可歸結為求解物理問題的控制偏微分方程式往往是不可能的。近年來在計算機技術和數(shù)值分析方法支持下發(fā)展起來的有限元分析（FEA，F(xiàn)inite Element Analysis）方法則為解決這些復雜的工程分析計算問題提供了有效的途徑。 有限元法是一種高效能、常用的計算方法有限元法在早期是以變分原理為基礎發(fā)展起來的，所以它廣泛地應用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系）。自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余數(shù)法中的迦遼金法(Galer

6、kin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系 有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權函數(shù)和插值函數(shù)的不

7、同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構成不同的有限元計算格式。對于權函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對代求系數(shù)的平方誤差最??；在配置法中，先在計算域內(nèi)選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積

8、表示，但最常用的多項式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數(shù)值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數(shù)及二階

9、或更高階插值函數(shù)、面積坐標系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。1、 有限元法的孕育過程及誕生和發(fā)展大約在300年前，牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分法，證明了該運算具有整體對局部的可加性。雖然，積分運算與有限元技術對定義域的劃分是不同的，前者進行無限劃分而后者進行有限劃分，但積分運算為實現(xiàn)有限元技術準備好了一個理論基礎。在牛頓之后約一百年，著名數(shù)學家高斯提出了加權余值法及線性代數(shù)方程組的解法。這兩項成果的前者被用來將微分方程改寫為積分表達式，后者被用來求解有限元法所得出的代數(shù)方程組。在18世紀，另一位數(shù)學家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達式的另一途經(jīng)。在19世紀末及2

10、0世紀初，數(shù)學家瑞雷和里茲首先提出可對全定義域運用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。1915年，數(shù)學家伽遼金提出了選擇展開函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金法，該方法被廣泛地用于有限元。1943年，數(shù)學家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。這實際上就是有限元的做法。所以，到這時為止，實現(xiàn)有限元技術的第二個理論基礎也已確立。20世紀50年代，飛機設計師們發(fā)現(xiàn)無法用傳統(tǒng)的力學方法分析飛機的應力、應變等問題。波音公司的一個技術小組，首先將連續(xù)體的機翼離散為三角形板塊的集合來進行應力分析，經(jīng)過一番波折后獲得前述的兩個離散的成功。20世紀50年代，大型電子計算機投入了解算大型代數(shù)方程組的

11、工作，這為實現(xiàn)有限元技術準備好了物質(zhì)條件。1960年前后，美國的R.W.Clough教授及我國的馮康教授分別獨立地在論文中提出了“有限單元”，這樣的名詞。此后，這樣的叫法被大家接受，有限元技術從此正式誕生。1990年10月美國波音公司開始在計算機上對新型客機B777進行“無紙設計”，僅用了三年半時間，于1994年4月第一架B777就試飛成功，這是制造技術史上劃時代的成就，其中在結構設計和評判中就大量采用有限元分析這一手段。 在有限元分析的發(fā)展初期，由于其基本思想和原理的“簡單”和“樸素”，以至于許多學術權威都對其學術價值有所鄙視，國際著名刊物Journal of Applied Mechani

12、cs 許多年來都拒絕刊登有關于有限元分析的文章。然而現(xiàn)在，有限元分析已經(jīng)成為數(shù)值計算的主流，不但國際上存在如ANSYS等數(shù)種通用有限元分析軟件，而且涉及到有限元分析的雜志也有幾十種之多。二、有限元法的基本思想有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對小的子域中。20世紀60年代初首次提出結構力學計算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法=Rayleigh Ritz法分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數(shù)定

13、義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個定義域的復雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。有限元方法（FEM）的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數(shù)的節(jié)點值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達式 ，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發(fā)展慢慢用于流體力學的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計算域離

14、散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形 網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合 同樣構成不同的有

15、限元計算格式。對于權函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對代求系數(shù)的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域 內(nèi)選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數(shù)值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插

16、值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。三 有限元單元法的基本思路彈性力學解法的問題彈性力學解法的問題在于：不論是應力函數(shù)解法數(shù)解法、扭轉函數(shù)解法、撓曲函數(shù)解法、還是基于最小勢能原還是基于最小勢能原理的瑞利李茲等方

17、法，其困難在于如何給出一個在全求解區(qū)給出一個在全求解區(qū)域上均成立的試探函數(shù)。在有限單元法里在有限單元法里，這個問題通過定義分片插值的位移或應力函數(shù)得到了巧妙的解決。對于任意單元對于任意單元(i,j,m)，以結點位移以結點位移(u,u ,u )為待定系數(shù)，可以給出該單元的插值函數(shù)： 線性代數(shù)方程組的求解在數(shù)學上是極其容易的。 也就是說有限元法通過單元離散和最小勢能原理小勢能原理，避開了微分方程直接求避微分方程直接求解在數(shù)學上的困難，把定解條件下的微分方程組的求解巧妙地轉化為線性方程組的運算，實現(xiàn)了任何復雜彈性力學問題輕易分析計算。四 有限元單元法求解問題的的基本步驟1. (1)建立積分方程，根據(jù)

18、變分原理或方程余量與權函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發(fā)點。     (2) 區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節(jié)點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點序號和相應的邊界值。     3) 確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條 件的

19、插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時可遵循一定的法則。       (4) 單元分析：將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。       (5) 總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。 &

20、#160;     (6) 邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件， 一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對總體有限元方程進行修正滿足。        (7) 解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當?shù)臄?shù)值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數(shù)值。五 求解計算結果的整理和有限元法后處理有限元方程

21、是一個線性代數(shù)方程組，一般有兩大類解法，一是直接解法，二是迭代法。直接法有高斯消元法和三角分解法，如果方程規(guī)模比較大時，可用分塊解法和波前解法。迭代法有雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和超松弛迭代法等。通過選用合適的的求解法求解經(jīng)過位移邊界條件小處理的公式后，得到整體節(jié)點位移列陣，然后根據(jù)單元節(jié)點位移由幾何矩陣和應力矩陣得到單元節(jié)點的應變和應力，對于非節(jié)點處的位移通過形函數(shù)插值得到，再由幾何矩陣和應力矩陣求得相應的應變和應力。應變要通過位移求導得到，精度一般要比位移差一些，尤其對于一次單元，應變和應力在整個單元內(nèi)是常數(shù)，應變和應力的誤差會比較大，尤其單元數(shù)比較少時，誤差更大，因此對于應力和應變

22、要進行平均化處理：（1） 繞節(jié)點平均法，即依次把圍繞節(jié)點所有單元的應力加起來平均，以此平均應力作為該節(jié)點的應力。（2） 二單元平均法，即吧相鄰的兩單元的應力加以平均并以此作為公共邊的節(jié)點出的應力。 整理并對有限元法計算結果進行后處理，一是要得到結構中關鍵位置力學量得數(shù)值（如最大位移、最大主應力和主應變，等效應力等）；二是得到整個結構的力學量得分布（根據(jù)計算結果直接繪制位移分布圖，應力分布圖等）。三是后處理要得到輸入量和輸出量之間的響應關系。梁的有限元建模與變形分析計算分析模型如圖1所示。NOTE：要求選擇不同形狀的截面分別進行計算。圖1 梁的計算分析模型梁截面分別采用以下三種截面（單位：m）：

23、 矩形截面： 圓截面： 工字形截面：B=0.1，H=0.2 R=0.1 w1=0.2，w2=0.2，w3=0.2，t1=0.05，t2=0.05，t3=0.05梁的彈性模量為：200GPa，泊松比為：0.3。試用ANSYS求該梁的撓度及應力分布（包含軸向應力），畫出梁的彎矩圖和剪力圖。（1）單元類型定義后，設置梁類型與實常數(shù)。（2）設置材料屬性。（3）建立幾何模型。（4）創(chuàng)建線并劃分網(wǎng)格與單元。 (5)施加載荷與約束。（6）求解。三、有限元的應用及其發(fā)展趨勢 有限元的應用范圍也是相當?shù)膹V的。它涉及到工程結構、傳熱、流體運動、電磁等連續(xù)介質(zhì)的力學分析中，并在氣象、地球物理、醫(yī)學等領域得到應用和發(fā)

24、展。電子計算機的出現(xiàn)和發(fā)展是有限元法在許多實際問題中的應用變?yōu)楝F(xiàn)實，并具有廣闊的前景。國際上早20世紀在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具有強大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局(NASA)在1965年委托美國計算科學公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的NASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個版本,是目前世界上規(guī)模最大、功能最強的有限元分析系統(tǒng)。從那時到現(xiàn)在,世界各地的研究機構和大學也發(fā)展了一批規(guī)模較小但使用靈活、價格較低的專用或通用有限元分析軟件,主要有德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的SYSTUS、美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、B

25、ERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。當今國際上FEA方法和軟件發(fā)展呈現(xiàn)出以下一些趨勢特征: 1.從單純的結構力學計算發(fā)展到求解許多物理場問題 有限元分析方法最早是從結構化矩陣分析發(fā)展而來,逐步推廣到板、殼和實體等連續(xù)體固體力學分析,實踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。而且從理論上也已經(jīng)證明,只要用于離散求解對象的單元足夠小,所得的解就可足夠逼近于精確值。所以近年來有限元方法已發(fā)展到流體力學、溫度場、電傳導、磁場、滲流和聲場等問題的求解計算,最近又發(fā)展到求解幾個交叉學科的問題。例如當氣流流過一個很高的鐵塔時就會使鐵塔產(chǎn)生變形,而塔的變形又

26、反過來影響到氣流的流動這就需要用固體力學和流體動力學的有限元分析結果交叉迭代求解,即所謂"流固耦合"的問題。 2. 由求解線性工程問題進展到分析非線性問題 隨著科學技術的發(fā)展,線性理論已經(jīng)遠遠不能滿足設計的要求。例如建筑行業(yè)中的高層建筑和大跨度懸索橋的出現(xiàn),就要求考慮結構的大位移和大應變等幾何非線性問題;航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和熱應力,也要考慮材料的非線性問題;諸如塑料、橡膠和復合材料等各種新材料的出現(xiàn),僅靠線性計算理論就不足以解決遇到的問題,只有采用非線性有限元算法才能解決。眾所周知,非線性的數(shù)值計算是很復雜的,它涉及到很多專門的數(shù)學問題和運算技巧,很難為一般

27、工程技術人員所掌握。為此近年來國外一些公司花費了大量的人力和投資開發(fā)諸如MARC、ABQUS和ADINA 等專長于求解非線性問題的有限元分析軟件,并廣泛應用于工程實踐。這些軟件的共同特點是具有高效的非線性求解器以及豐富和實用的非線性材料庫。 3. 增強可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能 早期有限元分析軟件的研究重點在于推導新的高效率求解方法和高精度的單元。隨著數(shù)值分析方法的逐步完善,尤其是計算機運算速度的飛速發(fā)展,整個計算系統(tǒng)用于求解運算的時間越來越少,而數(shù)據(jù)準備和運算結果的表現(xiàn)問題卻日益突出。在現(xiàn)在的工程工作站上,求解一個包含10萬個方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。但是如果用手工方式來建立

28、這個模型,然后再處理大量的計算結果則需用幾周的時間?？梢院敛豢鋸埖卣f,工程師在分析計算一個工程問題時有80%以上的精力都花在數(shù)據(jù)準備和結果分析上。因此目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功能很強的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。在強調(diào)"可視化"的今天,很多程序都建立了對用戶非常友好的GUI(Graphics User Interface),使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進行網(wǎng)格自動劃分,生成有限元分析所需數(shù)據(jù),并按要求將大量的計算結果整理成變形圖、等值分布云圖,便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。 4. 與CAD軟件的無縫集成當今有限元分析系統(tǒng)的另一個特點是與通用CAD軟件的

29、集成使用,即在用CAD軟件完成部件和零件的造型設計后,自動生成有限元網(wǎng)格并進行計算,如果分析的結果不符合設計要求則重新進行造型和計算,直到滿意為止,從而極大地提高了設計水平和效率。今天,工程師可以在集成的CAD和FEA軟件環(huán)境中快捷地解決一個在以前無法應付的復雜工程分析問題。所以當今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的CAD軟件(例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等)的接口。 5. 在Wintel平臺上的發(fā)展早期的有限元分析軟件基本上都是在大中型計算機 (主要是Mainframe) 上開發(fā)和運行的,后來又發(fā)展到以工程工作站(EWS,Engineering WorkStation )為平臺,它們的共同特點都是采用UNIX操作系統(tǒng)。PC機的出現(xiàn)使計算機的應用發(fā)