第五章正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析

1、第五章 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析5-1 學(xué)習(xí)要求（1）理解正弦量的定義、時(shí)域表示形式及有關(guān)的概念與定義；（2）了解復(fù)數(shù)的定義及表示形式，能熟練地對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算；（3）理解和撐握正弦量的相量表示，并能進(jìn)行時(shí)域表示與相量表示的相互變換；（4）理解和掌握電路元件伏安關(guān)系的相量形式，會(huì)根據(jù)時(shí)域電路模型畫出相對(duì)應(yīng)的相量電路模型，會(huì)畫相量圖；（5）理解和掌握KVL、KCL的相量形式，并會(huì)應(yīng)用；（6）理解和掌握阻抗與導(dǎo)納的定義及其物理意義，并會(huì)計(jì)算。能對(duì)阻抗與導(dǎo)納進(jìn)行相互等效變換。會(huì)求解一端口電路的輸入阻抗；（7）會(huì)用相量分析法對(duì)正弦穩(wěn)態(tài)電路進(jìn)行分析計(jì)算；（8）會(huì)計(jì)算正弦穩(wěn)態(tài)電路中的功率，包括平

2、均功率、無功功率、視在功率和復(fù)功率；（9）理解和掌握最大功率傳輸定理的內(nèi)容與意義，并會(huì)應(yīng)用解決非具體問題；（10）理解和掌握功率因數(shù)意義及提高功率因數(shù)的方法。5-2 主要內(nèi)容1、正弦量與正弦穩(wěn)態(tài)（1）按照正弦函數(shù)或余弦函數(shù)規(guī)律變化的物理量都稱為正弦量。如正弦電流在時(shí)域內(nèi)可表示為電流隨時(shí)間的變化規(guī)律，由振幅、初相位和角頻率來確定，故這個(gè)3個(gè)量稱為正弦量的三要素。角頻率與周期和頻率之間的關(guān)系為（2）正弦量的相位差設(shè)同頻率的正弦電壓和電流分別為， 則兩者的相位差是一常量，等于兩者的初相位之差。即若，則稱在相位上超前一個(gè)角；若，則稱在相位上滯后一個(gè)角；若，則稱與同相；若，則稱與相位正交；若，則稱與反相

3、位。初相位隨計(jì)時(shí)起點(diǎn)改變而改變，而相位差則保持不變，兩者均在范圍內(nèi)取值。（3）正弦量的有效值正弦的有效值是它的均方根值（rms）。以電流為例，它的有效值為若，即按正弦規(guī)律變化，則有同理， 2、正弦量的相量表示用以表示正弦量的復(fù)數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)稱為相量。（1）正變換：由正弦量的時(shí)間函數(shù) 相量 式中，稱為正弦電流的有效值相量，簡稱為電流相量，而稱為正弦電流的最大值相量。所以，有 或 或 （2）反變換：由相量 正弦量的時(shí)間函數(shù)。將最大值相量乘以旋轉(zhuǎn)因子，再取實(shí)部即得正弦函數(shù)。如，已知電流相量（3）相量變換性質(zhì)線性性質(zhì)：微分性質(zhì)： 積分性質(zhì)： （4）相量圖：相量在復(fù)平面上可用有方向的線段表示，這種圖稱為

4、相量圖。1、 KVL和KCL的相量形式表5-1 KVL和KCL的相量形式和相量形式名稱KVLKCL時(shí)域形式相量形式4、R、L、C元件伏安關(guān)系的相量形式與相量圖表5-2 R、L、C元件伏安關(guān)系的相量形式與相量圖元 件時(shí)域形式相量形式相量圖電 路伏安關(guān)系電 路伏安關(guān)系電阻R電感L電容C5、阻抗與導(dǎo)納（1）線性非時(shí)變無源一端電路的阻抗定義為導(dǎo)納定義為對(duì)于已知的一端口電路，在同一頻率下，阻抗和導(dǎo)納互為例數(shù)關(guān)系，即 或 如果采用代數(shù)形式表示阻抗和導(dǎo)納，即，則它們之間的關(guān)系為或 （2）阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)串聯(lián)： 并聯(lián)： （3）導(dǎo)納的并聯(lián)與串聯(lián)并聯(lián)： 串聯(lián)： （4）電阻、電感、電容元件及RLC電路的阻抗與導(dǎo)納表

5、5-3 R、L、C元件及RLC電路的阻抗與導(dǎo)納阻抗Z導(dǎo)納Y電阻R電感L電容CRLC串聯(lián)電路RLC并聯(lián)電路6、正弦穩(wěn)態(tài)電路分析由于相量形式的KVL、KCL和歐姆定律，在形式上與電阻電路中的KVL、KCL和歐姆定律完全相同，因此關(guān)于電阻電路的分析方法（支路電流分析法、支路電壓分析法、網(wǎng)孔分析法、回路分析、節(jié)點(diǎn)分析法）、定理（齊次定理、疊加定理、替代定理、戴維南定理、諾頓定理、互易定理、特勒根定理）以及電路的各種等效變換的原則等等，均適用于正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)分析，只是此時(shí)所有的電路均采用相量表示，各支路和元件用阻抗或?qū)Ъ{表示，用相量模型電路列寫電路方程，相應(yīng)的運(yùn)算方法為復(fù)數(shù)運(yùn)算。正弦穩(wěn)態(tài)電路分析方法

6、為（1）先畫出時(shí)域電路的相量電路模型。在相量電路模型中，電壓、電流用相量表示，電感元件的參數(shù)為，電容元件的參數(shù)為；（2）根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選用合適、簡便的電路分析計(jì)算方法列寫電路的相量方程；（3）用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求解相量方程（4）將所求得的電壓、電流相量進(jìn)行反變換求出解的時(shí)域形式，即所求的電壓、電流的正弦時(shí)間函數(shù)形式。7、正弦穩(wěn)態(tài)電路功率（1）瞬時(shí)功率設(shè)，則瞬時(shí)功率為（2）平均功率（3）無功功率（4）視在功率（5）復(fù)功率對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路，復(fù)功率守恒，因此電路中的平均功率和無功功率也分別守恒。元件和二端口電路的功率如表5-4所示表5-4 元件和二端口電路的功率功率類型有功功率（W）無功功率（VA

7、R）視在功率（）功率因數(shù)復(fù)功率（）元件RLC二端口電路功率守恒（6）最大功率傳輸定理設(shè)負(fù)載連接在一端電路N上，N可等效為戴維南電路，其開路電壓為和等效阻抗，則負(fù)載獲得最大功率的條件為：若負(fù)載電阻和電抗均可獨(dú)立地變化，則當(dāng)時(shí)，負(fù)載可獲得最大功率，稱為共軛匹配，最大功率為此時(shí)電路的傳輸效率只有50%。若負(fù)載阻抗固定而?？筛淖儯瑒t當(dāng)時(shí)，可獲得最大功率，稱為模匹配。（7）功率因數(shù)改善功率因數(shù)是電壓和電流相位差的余弦函數(shù)，定義為式中表示電壓超前電流的相位角，也稱為功率因數(shù)角。功率因數(shù)也是負(fù)載阻抗角的余弦函數(shù)，或者是有功功率與無功功率之比，若電流滯于電壓（電感性負(fù)載），則功率因數(shù)是滯后的；若電流超前電壓（

8、電容性負(fù)載），則功率因數(shù)是超前的。在電力系統(tǒng)中提供電能的發(fā)電機(jī)是按發(fā)電機(jī)的容量設(shè)計(jì)的。當(dāng)時(shí)，發(fā)電機(jī)輸出的平均功率小于其容量，發(fā)電機(jī)得不到充分利用，應(yīng)該設(shè)法提高負(fù)載的功率因數(shù)。提高功率因數(shù)，一般采用在感性負(fù)載上并聯(lián)電容的方法。設(shè)感性負(fù)載的端電壓和平均功率分別為U和P，若要將功率因數(shù)從提高到，需要并聯(lián)的電容的大小為在工程中，通常并不把功率因數(shù)提高到，而是提高到左右，以防止電路中產(chǎn)生并聯(lián)諧振現(xiàn)象。5-3 習(xí)題解答5-1 將下列相量的直角坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)表示。（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）解：（1）所以 （2）所以 （3）所以 （4）所以 （5）所以 （6）所以 5-2 若

9、已知兩個(gè)同頻率正弦電壓的相量分別為，其頻率。求：（1）求出、的時(shí)域形式；（2）與的相位差。解：（1） （2）因?yàn)?，。所以相位差為，即和同相位?-3 已知：，。（1）畫出它們的波形圖，求出它們的有效值、頻率和周期；（2）寫出它們的相量和畫出其相量圖，求它們的相位差；（3）如果把電壓的參考方向反向，重新回答（1）、（2）。解：（1）波形圖如題圖5-0（a）所示題圖5-0 有效值 頻率為 周期為 （2）和的相量形式分別為故它們的相位差為 相量圖如題圖5-0（b）所示。（3）若的參考方向反向，即變成，有效值、頻率和周期均不變，的相量為故它們的相位差為 波形圖和相量圖如題圖5-0（b）所示。5-4 在

10、關(guān)聯(lián)方向下，某一元件的電壓、電流分別為下述4種情況時(shí)，它可能是什么元件？（1）（2）（3）（4）解：可根據(jù)電壓、電流相量形式的相位差及大小來判斷元件的性質(zhì)。（1）把電流變?yōu)橛嘞倚问接袆t對(duì)應(yīng)的電壓、電流相量分別為所以，有 即電壓與電流同相位，根據(jù)元件的電壓與電流相位關(guān)系可知該元件為一個(gè)的電阻元件。（2）把電壓變?yōu)橛嘞倚问接袆t對(duì)應(yīng)的電壓、電流相量分別為所以，有 即電壓相量滯后電流相量，根據(jù)元件的電壓與電流相位關(guān)系可知為一個(gè)電容元件。（3）把電流變?yōu)橛嘞倚问絼t對(duì)應(yīng)的電壓、電流相量分別為所以，有 即電壓相量超前電流相量，根據(jù)元件的電壓與電流相位關(guān)系可知為一個(gè)電感元件。（4）電壓和電流相量分別為所以，有

11、 即電壓相量超前電流相量，根據(jù)元件的電壓與電流相位關(guān)系可知，它不可能是一個(gè)元件。根據(jù)電感元件的電壓超前電流的情況，因此，對(duì)應(yīng)的這種相位差最簡單電路是一個(gè)電阻和電感串聯(lián)電路。5-5 題圖5-1（a）所示的電路中，若三個(gè)電壓源的電壓分別為：， 求：（1）三個(gè)電壓的和；（2），；（3）畫出它們的相量圖。 題圖5-1 解：（1）三個(gè)電壓的相量為則三個(gè)電壓的和為即三個(gè)電壓的和為零。（2）因?yàn)樗裕?）三個(gè)相量的相量圖如題圖5-1（b）所示。5-6題圖5-2（a）所示的電路中，已知，求，畫出相量圖。 題圖5-2 解：電路的相量模型如題圖5-2（b）所示，其中，故 故得各相量的相量圖如題圖5-2（c）所示。

12、可見落后于。5-7 求題圖5-3所示的電路端口的輸入阻抗，已知。題圖5-3 解：電容的容抗為利用理想運(yùn)放特點(diǎn)，有，所以又 整理得 故得端口輸入阻抗為5-8 題圖5-4所示的電路，求值為多大才能使。題圖5-4 解：要使，則必須使L，C發(fā)生并聯(lián)諧振，故有，故得5-9 已知題圖5-5（a）所示的電路中各電壓表的讀數(shù)分別為：，求圖中的。題圖5-5 解：利用相量圖求解。設(shè)電流為參考相量，電阻電壓與電流同相位，電感電壓超前電流，電容電壓滯后電流，總電壓，得到相量圖如題圖5-5（b）所示。由圖可得5-10 已知題圖5-6所示的電路中，電流表的讀數(shù)分別為，。求：（1）圖中電流表A的讀數(shù)；（2）如果維持的讀數(shù)不

13、變，而把電源的頻率提高一倍，再求電流表A的讀數(shù)。 題圖5-6 解：設(shè)3個(gè)并聯(lián)元件兩端的電壓為參考相量，即，電阻電流與電壓同相位，滯后，超前，總電流，得到相量圖如題圖5-6（b）所示。由圖可得（1）當(dāng)，時(shí)，有（2）維持的讀數(shù)不變，當(dāng)電源的頻率提高一倍時(shí)，有故 5-11 題圖5-7（a）所示的正弦電路，已知電流表，電壓表, 。求電壓表的示數(shù)。題圖5-7 解：畫電路的相量圖如題圖5-7（b）所示。故得故 故電壓表的示數(shù)為5-12題圖5-8所示的正弦電路，已知，當(dāng)調(diào)節(jié)滑線變阻器使時(shí)，電壓表的讀數(shù)最小為，試求和的值。題圖5-8 解：設(shè)端口電壓為參考相量，即?；€變阻器電壓、電流與端口電壓同相位，電路右側(cè)

14、為感性支路，支路電流落后支路電壓。相量圖如題圖5-8（b）所示。由于時(shí)，電壓表的讀數(shù)最小為，可在支路電壓三角形中找出B點(diǎn)，再由B點(diǎn)作參考相量的垂線，與相量的交點(diǎn)即為A點(diǎn)，AB就是A到參考相量的最小距離， 因此，AB代表的電壓即為電壓表所指示的最小電壓值。因此，可求得于是得 又 所以求得 由 ，求得5-13題圖5-9（a）所示的電路中，A，B間的阻抗模值，電源角頻率，為使超前，求和的值。題圖5-9 解：從AB端看進(jìn)去的阻抗為其模值為 又 故 由于超前，所以聯(lián)立上述式子求解得5-14 題圖5-10（a）所示的電路中，端口電壓、電流如題圖5-8（b）所示。該電路由3個(gè)元件組成，通過的電流分別為、如題

15、圖5-8（b）所示。試畫出該電路的結(jié)構(gòu)圖，并確定元件的類型和元件的值（假設(shè)，電壓單位為V，電流單位為A）。 題圖5-10 解：由相量可知而 ，故、為并聯(lián)。故為電阻：，為電容：，為電感：。電路如題圖5-10（c）所示。5-15 題圖5-11所示的電路，試求角頻率為多少時(shí)可使最大，此最大值等于多少，并說明兩者相位關(guān)系。題圖5-11 解：由圖所示電路用分壓法得可見，當(dāng)時(shí)，最大。此時(shí) 。因此，此電路為RC選頻電路，當(dāng)頻率時(shí)，最大，并與同相位。5-16 題圖5-12所示的電路，已知，。試求兩端電路的輸入阻抗以及供給的平均功率。 題圖5-12 解：（1）因?yàn)?，所以二端口網(wǎng)絡(luò)的阻抗為即 （2）供給N的有功

16、功率，即N網(wǎng)絡(luò)吸收的有功功率為5-17 題圖5-13（a）所示的電路，已知，。（1）若改變，但電流的有效值始終保持10A，試確定參數(shù)和值。（2）當(dāng)時(shí)，試求電壓及瞬時(shí)值題圖5-13 解：（1）若想在改變時(shí)，電流的有效值始終保持不變，則ab左邊電路必須為恒流源，如題圖5-13（b）所示。用等效電流源定理求短路電流為輸入導(dǎo)納為所以 又 可求得（2）當(dāng)時(shí)，有5-18 題圖5-14（a）所示的電路，已知，求ab端的戴維南等效電路。 題圖5-14 解：（1）求開路電壓的電路如題圖5-14（b）所示。聯(lián)立求解得（2）求短路電流。由圖可知 又 代入式中，得所以 即ab端的戴維等效電路為的電壓源與阻抗的串聯(lián)。5

17、-19 題圖5-15所示的電路中，已知：，電壓表的讀數(shù)為，電流表的讀數(shù)為。求圖中電流表、功率表的讀數(shù)和電路的輸入阻抗。題圖5-15 解：根據(jù)和并聯(lián)，則 ，而，可得電流由于與反相，所以 電阻R消耗的功率為 即功率表的讀數(shù)為100W。又由于 解得 所以 說明與同相位，則輸入阻抗為5-20 題圖5-16所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，試求（1）；（2）電壓源發(fā)出的功率。題圖5-16 解：采用節(jié)點(diǎn)法有聯(lián)立求解得 又 ，故有5-21題圖5-17（a）所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知有效值，且與同相位，。試求和的值，并畫出相量圖。 題圖5-17 解：由題意可知電路發(fā)生諧振，由可得解得 電路相量圖如題圖5-17（b）所示。

18、5-22 題圖5-18（a）所示的電路中，已知接至有效值的正弦電壓源時(shí)，電流表的讀數(shù)為零，試求電源的角頻率和電流表的讀數(shù)。題圖5-18 解：電流表的讀數(shù)為零，即電容與0.1H電感發(fā)生諧振，有于是可得題圖5-18（b）所示的相量模型?？汕蟮盟?5-23 題圖5-19（a）所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知電源電壓有效值，頻率，電流的有效值，平均功率。如保持不變，頻率改為，試求此時(shí)的、和。 題圖5-19 解：對(duì)并聯(lián)電路，取電壓為參考相量，即。當(dāng)時(shí)，且，相量圖如題圖5-19（b）所示。可知構(gòu)成等邊三角形，于是。根據(jù)已知條件有：，聯(lián)立求解，得當(dāng)，有5-24 題圖5-20（a）所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知，當(dāng)時(shí)

19、，電流；當(dāng)時(shí)，電流仍為。試求（1）以作為參考相量，畫出電壓、電流相量圖；（2）和的值；（3）電路消耗的功率；（4）電路的總功率因數(shù)為0.9時(shí)，電容的值（）。題圖5-20 解：（1）當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有以作為參考相量時(shí)的電壓、電流相量圖如題圖5-20（b）所示。（2）由相量圖可知，由于，從而由于，所以有（3）。（4）因?yàn)?，所以，由此可求得即，所以有?-25 題圖5-21（a）所示電路中，已知電源頻率，電壓有效值，原接有感性負(fù)載的功率，此時(shí)功率因數(shù)為0.8。后來接入電容以提高功率因數(shù)。試求（1）未接入電容時(shí)的電流有效值；（2）接入并聯(lián)電容后電路的總功率因數(shù)為1 時(shí)的電容值；（3）在功率因數(shù)為1的情況

20、下的、和，并畫出包含它們的相量圖。 題圖5-21 解：（1）由可得，未接入電容時(shí)的電流有效值為（2）并聯(lián)電容后，負(fù)載兩端的電壓沒有變，所以。負(fù)載的平均功率和無功功率保持不變，即，根據(jù)無功功率的定義，電容的無功功率為而電源提供的無功功率為所以，即，所以有并聯(lián)電容前：，并聯(lián)電容后：。所以，有（3）設(shè)，則得 。相量圖如題圖5-21（b）所示。5-26 題圖5-22（a）所示電路中，電源頻率為50Hz，負(fù)載1吸收的有功功率為，功率因數(shù)為0.8（超前）；負(fù)載2 的視在功率為，功率因數(shù)為0.6（滯后），求（1）兩負(fù)載并聯(lián)后的功率因數(shù)及線路損耗；（2）若采用要端口末端并聯(lián)電容的方法來提高功率因數(shù)，將功率因數(shù)

21、分別提高到0.9（滯后）、1和0.9（超前），分別需要并聯(lián)多大的電容？并求此時(shí)的線路損耗。 題圖5-22 解：（1）由KCL可知，端口電流為 ，因此兩負(fù)載總的復(fù)功率為由于負(fù)載1吸收的有功功率為，功率因數(shù)為0.8（超前），由負(fù)載2 的視在功率為，功率因數(shù)為0.6（滯后），可知負(fù)載1和負(fù)載2的功率三角形分別如題圖5-22（b）、（c）所示。根據(jù)功率三角形可得由此可知，因此可得則并聯(lián)負(fù)載的功率因數(shù)為（滯后）線路損耗為（2）求并聯(lián)電容及線路損耗將功率因數(shù)提高到0.9（滯后），這時(shí)屬于欠補(bǔ)償，有，（滯后），所以有并聯(lián)后，端口電流為電路損耗為將功率因數(shù)提高到1時(shí)，這時(shí)屬于全補(bǔ)償，即電容提供兩個(gè)負(fù)載所需要的

22、全部無功功率，亦即， 所以有并聯(lián)后，端口電流為電路損耗為將功率因數(shù)提高到0.9（超前），即（超前），此時(shí)為過補(bǔ)償，此時(shí)無功功率為負(fù)值，即有并聯(lián)后，端口電流為電路損耗為6-27有一負(fù)載，其兩端電壓是，而沿電壓降方向渡過負(fù)載的電流是。求（1）復(fù)功率和視在功率；（2）有功功率和無功功率；（3）功率因數(shù)和負(fù)載阻抗。解：（1）電壓和電流相量的rms值為復(fù)功率為視在功率（2）復(fù)功率的直角坐標(biāo)形式對(duì)照，則有有功功率為無功功率為（3）功率因數(shù)為（超前）負(fù)載阻抗為此為一個(gè)容性阻抗。5-28 題圖5-23所示的電路中，。試求獲得最大功率的條件及所獲得的最大功率。題圖5-23 解：求以左電路的戴維南等效電路開路電壓

23、等效阻抗所以當(dāng)時(shí)獲得最大功率，最大功率為5-29 題圖5-24（a）所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，為使負(fù)載獲得的最大功率，試求的阻抗。 題圖5-24 解：先求以左電路的戴維南等效電路。負(fù)載開路時(shí)的等效電路如題圖5-24（b）所示，列寫節(jié)點(diǎn)方程又有 聯(lián)立求解得 用外加電壓源法求等效電阻，如題圖5-24（c）所示，有可解得題圖5-24（a）所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路的戴維南等效電路如題圖5-24（d）所示。于是，當(dāng)時(shí)，負(fù)載獲得的功率最大。5-30 題圖5-25所示的中，。求各去路吸收的復(fù)功率和電路的功率因數(shù)。題圖5-25 解：R，L串聯(lián)支路阻抗為串聯(lián)支路阻抗為以為參考相量，應(yīng)用公流公式，可得支路電流為則各支路的復(fù)功率為電流源發(fā)出的功率為電路的功率因數(shù)為5-31 題圖5-26所示的交流電橋電路，當(dāng)為電阻，為電阻，為電阻與電容的并聯(lián)時(shí)，且，它達(dá)到平衡。求（1）組成的串聯(lián)成分；（2）組成的并聯(lián)成分。題圖5-26 解：根據(jù)