流體力學(xué)6-勢流理論

1、本章主要研究內(nèi)容：本章主要研究內(nèi)容：1.1.理想流體平面繞流問題（平面勢流）理想流體平面繞流問題（平面勢流）2.2.幾種最簡單的勢流幾種最簡單的勢流3.3.繞圓柱體的無環(huán)流繞圓柱體的無環(huán)流流動流動4.4.繞圓柱體的有環(huán)流流動繞圓柱體的有環(huán)流流動5.5.附加慣性力與附加質(zhì)量附加慣性力與附加質(zhì)量-1 -1 幾種簡單的平面勢流幾種簡單的平面勢流平面流動（或稱二元流動）應(yīng)滿足的條件：平面流動（或稱二元流動）應(yīng)滿足的條件： 平面上任何一點的速度和加速度都平行于所平面上任何一點的速度和加速度都平行于所 在平面，無垂直于該平面的分量；在平面，無垂直于該平面的分量； 與該平面相平行的所有其它平面上的流動與該平

2、面相平行的所有其它平面上的流動 情況完全相同。情況完全相同。圖圖 6 61 10 xyddxdyV dx V dyV dxxy一、均勻流一、均勻流V VV Vo o， V Vy y0V xCyxoddxdyVdx Vdy Vdyxy(1)勢函數(shù)勢函數(shù)0V x(2)流函數(shù)流函數(shù)0V yconstconst，等勢線，等勢線=const=const，流函數(shù)等值，流函數(shù)等值 線（流線）線（流線）兩組等值線相互正交兩組等值線相互正交0.V xcxconst令0.V ycyconst令薄平板的均勻縱向繞流薄平板的均勻縱向繞流0v0v0v y0v0v0v y平板平板平行平壁間的流動平行平壁間的流動二、源或匯

3、二、源或匯 流體由平面上坐標原點沿徑向流出叫做源，流體由平面上坐標原點沿徑向流出叫做源，反向流動謂之匯。反向流動謂之匯。V Vr r=f(r)=f(r)， V V = 0 = 0 2rV 2rVr r V Vr r/2r/2r xyVVxyyx 直角坐標系：直角坐標系：極坐標：極坐標：11rsVVrsrsrr xyrd( )s()2()2QddrdV dr rV ddrrsrrQddrdV dr rV ddsrr ln22QQr 流線為流線為constconst，為原點引出的一組射線，為原點引出的一組射線等勢線為等勢線為constconst，為同心圓。，為同心圓。 ln22QQr流線和等勢線相

4、互正交。流線和等勢線相互正交。 當(dāng)，則當(dāng)，則 V V為點源，反之為點匯。為點源，反之為點匯。 對于擴大（收縮）流道中理想流體的流動，對于擴大（收縮）流道中理想流體的流動，可以用源（匯）的速度勢來描述?？梢杂迷矗▍R）的速度勢來描述。oACBDvvln2Qr三、偶極子三、偶極子 定義定義無界流場中等流量的源和匯無界流場中等流量的源和匯無限靠近，當(dāng)間距無限靠近，當(dāng)間距xx時，流時，流量量，使得兩者之積趨于一，使得兩者之積趨于一個有限數(shù)值，即：個有限數(shù)值，即：xx （xx）這一流動的極限狀態(tài)稱為偶極子，這一流動的極限狀態(tài)稱為偶極子，為偶極矩。為偶極矩。xQxy( ,)A r1rr2r2r12xQBC1

5、212(lnln)2QrrQxy( ,)A r1rr2r2r12xQBCcos2Mr222Mxxy用迭加法求勢函數(shù)用迭加法求勢函數(shù)流函數(shù)流函數(shù)1212()()22QQ12sinxr2sin2Qxr 21sinrx120 xQxMrrsin2Mr222MyxyQxy( ,)A r1rr2r2r12xQBC令令C得流線族：得流線族：222Mycxy122ycxy或或即即2210yxyc2221111()24xycc圖圖6-8（b）流線流線：圓心在軸上，與：圓心在軸上，與x x軸相切的一組圓，軸相切的一組圓，軸線：源和匯所在的直線軸線：源和匯所在的直線等勢線等勢線：圓心在軸上，與軸相切的一組圓。圓心

6、在軸上，與軸相切的一組圓。注意：注意：偶極子和軸線的方向偶極子和軸線的方向方向：由匯指向源的方向方向：由匯指向源的方向圖圖6-8（b）偶極子的方向偶極子的方向為軸負向為軸負向四、點渦（環(huán)流）四、點渦（環(huán)流）點渦：無界流場中坐標原點處一無窮長直線渦，點渦：無界流場中坐標原點處一無窮長直線渦， 方向垂直于方向垂直于xoyxoy平面，與平面，與xoyxoy平面的交點平面的交點02srvvr渦索旋渦強渦索旋渦強度的兩倍度的兩倍所求速度的點到所求速度的點到點渦的距離點渦的距離2rsdv drv rdd2流函數(shù)流函數(shù)2srdvdr vrddrrln2r 流線：流線：constconst同心圓同心圓對應(yīng)于反

7、時針的轉(zhuǎn)動對應(yīng)于反時針的轉(zhuǎn)動對應(yīng)于順時針的渦旋對應(yīng)于順時針的渦旋勢函數(shù)勢函數(shù)6 63 3 繞圓柱體的無環(huán)量流動，達朗貝爾謬理繞圓柱體的無環(huán)量流動，達朗貝爾謬理繞圓柱體的無環(huán)量流動：無界流場中均勻流和偶繞圓柱體的無環(huán)量流動：無界流場中均勻流和偶 極子迭加形成的流動。極子迭加形成的流動。均勻流動均勻流動 + 偶極子偶極子 = 繞圓柱體的無環(huán)量流動繞圓柱體的無環(huán)量流動無窮遠條件無窮遠條件（遠場邊界條件）（遠場邊界條件）一、圓柱繞流的邊界條件：一、圓柱繞流的邊界條件：圓柱表面不可穿透圓柱表面不可穿透r = r，V V= V= V= =或或r = r 的圓周是一條流線的圓周是一條流線r = r，=（零流

8、線）（零流線） 在無窮遠處為均勻流在無窮遠處為均勻流2.物面條件物面條件（近場邊界條件）（近場邊界條件）00 xyVVV 或或00cossinrVVVV rVV0V12012022McosV rcosrMsinV rsinr邊界條件的驗證邊界條件的驗證rVV0V00()02MsinV rr令的流線中有一部分是軸的流線中有一部分是軸002MVrr0 0sin或圓周圓周 也是流線也是流線 的一部分的一部分002Mrrv0近場邊界條件近場邊界條件00cossinrVVVV 20022002cos (1) 1sin(1)rrVVrrrVVrr 20 02MVr200cos()rVrr遠場邊界條件遠場邊

9、界條件02McosV rcosrrVV0V結(jié)論：結(jié)論：200cos ()rVrr均勻流動均勻流動 + 偶極子偶極子 = 繞圓柱體的無環(huán)量流動繞圓柱體的無環(huán)量流動20022002cos (1) 1sin (1)rrVVrrrVVrr 圓柱表面的速度分布圓柱表面的速度分布00 2sinrVVV 、：、： A,CA,C為駐點！為駐點！22000022cos (1) sin (1)rrrVVVVrr 0rr、：、：0, 22VV 速度達到最大值，速度達到最大值，且與圓柱體半徑無關(guān)。且與圓柱體半徑無關(guān)。流場速度分布流場速度分布二、圓柱表面的速度分布二、圓柱表面的速度分布0, 0V 0rV ？討論：零流線

10、上的速度變化？討論：零流線上的速度變化？討論：零流線上的速度變化？討論：零流線上的速度變化20022002cos (1) sin (1)rrVVrrVVr 零流線上的速度大小222002(1) rrVVVVrX軸：圓周：02sinVV, AB(D), (),AB DC 速 度 減 小 ，速 度 增 加速 度 減 小 ， C,速 度 增 加三三 柱面上的壓力分布柱面上的壓力分布: :定常，不計質(zhì)量力的拉格朗日積分式為定常，不計質(zhì)量力的拉格朗日積分式為:220022VVpp2200(1 4sin)2Vpp無窮遠均勻流中壓力無窮遠均勻流中壓力002sin rVVV 02sinVV圓柱體上：圓柱體上：

11、壓力系數(shù)壓力系數(shù): :02012pppCV41 4sinpC 2壓力分布既對稱于軸壓力分布既對稱于軸也對稱于軸。也對稱于軸。在，兩點壓力最大在，兩點壓力最大 在，兩點壓力最小在，兩點壓力最小41 4sinpC 2？討論：？討論：零流線上的壓力變化零流線上的壓力變化圓柱面上的壓力分布圓柱面上的壓力分布？討論：？討論：零流線上的壓力變化零流線上的壓力變化220022VVpp, AB(D), (),AB DC 速度減小，速度增加速度減小， C,速度增加, AB(D), ( ),AB DC 壓強增加，壓強減小壓強增加， C,壓強減小理想流體對圓柱體的作用力理想流體對圓柱體的作用力: :升力升力L L：

12、合力在軸上的分量合力在軸上的分量阻力阻力R R：合力在合力在x軸上的分量軸上的分量繞圓柱的無環(huán)量流動：繞圓柱的無環(huán)量流動：升力升力 壓力分布對稱于軸壓力分布對稱于軸阻力阻力 壓力分布對稱于壓力分布對稱于 y y軸軸達朗貝爾謬理達朗貝爾謬理! !負壓負壓正壓正壓達朗貝爾謬理成立的條件可歸納為：達朗貝爾謬理成立的條件可歸納為：. . 理想流體理想流體. . 物體周圍的流場無界物體周圍的流場無界. . 物體周圍流場中不存在源、匯、渦等奇點物體周圍流場中不存在源、匯、渦等奇點. . 物體作等速直線運動物體作等速直線運動. 物體表面流動沒有分離物體表面流動沒有分離-3 -3 繞圓柱體的有環(huán)量流動麥格魯斯

13、效應(yīng)繞圓柱體的有環(huán)量流動麥格魯斯效應(yīng) 環(huán)量為環(huán)量為順時針平面點渦順時針平面點渦繞圓柱體的有環(huán)量流動：繞圓柱體的有環(huán)量流動：繞圓柱體的無環(huán)流繞圓柱體的無環(huán)流邊界條件仍成立：邊界條件仍成立： 1.1.圓柱是一條流線圓柱是一條流線 2.2.無窮遠處的邊界條件無窮遠處的邊界條件勢函數(shù)與流函數(shù)勢函數(shù)與流函數(shù)220000cos () sin ()ln22rrVrVrrrr（ 順時針轉(zhuǎn)動取負）順時針轉(zhuǎn)動取負）流場中速度分布流場中速度分布20022002cos(1)1sin(1)2rrVVrrrVVrrr 當(dāng)當(dāng) ( (圓周仍為流線圓周仍為流線) )0ln.2rconst0rr00cossinrVVVV （無窮

14、遠處為均勻流動）（無窮遠處為均勻流動）0012sin2VVr 0rV R-r=r0一、邊界條件：一、邊界條件：圓柱表面上速度分布圓柱表面上速度分布由環(huán)流引起由環(huán)流引起圓柱上表面：圓柱上表面： 順時針環(huán)流引起的速度與無環(huán)量繞流的速順時針環(huán)流引起的速度與無環(huán)量繞流的速度方向相同，故速度增加。度方向相同，故速度增加。圓柱下表面：圓柱下表面：方向相反，因而速度減少。方向相反，因而速度減少。0012sin2VVr 0rV 二：速度分布及駐點位置二：速度分布及駐點位置駐點位置駐點位置0 0sin4srV0012sin02VVr 0V 0rV 圓柱表面上圓柱表面上駐點不在圓柱表面上駐點不在圓柱表面上結(jié)論結(jié)論

15、：1. 1. 合成流動對稱于軸，圓柱仍將不受阻力合成流動對稱于軸，圓柱仍將不受阻力 2. 2. 合成流動不對稱于軸，產(chǎn)生了向上的升力合成流動不對稱于軸，產(chǎn)生了向上的升力2200(2sin)222vpCCVr三三 阻力、升力大小的計算：阻力、升力大小的計算：222002200sin2sin8VCVrr伯努利方程（沿圓柱表面）伯努利方程（沿圓柱表面）0012sin2VVr 22vpC1 圓柱表面壓力分布圓柱表面壓力分布單位長單位長ds所受到的阻力所受到的阻力0coscosDFdsdpdpr 0V0rpdsdLdFDdF200cos0DFpr d 單位長圓柱所受到的阻力單位長圓柱所受到的阻力2 阻力

16、大小的計算：阻力大小的計算：2200(2sin)222vpCCVr單位長單位長ds所受到的升力所受到的升力0sinsinLFdsdpdpr 0V0rpdsdLdFDdF200sinLpr d 單位長圓柱所受到的升力單位長圓柱所受到的升力222002022000sin2s()sinin8VCVrr drL22232000sin0,sin0,sinddd 0LV 庫塔庫塔儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理3 升力大小的計算：升力大小的計算：庫塔庫塔儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理0LV 升力的方向升力的方向: :右手四指順來流速度矢量，逆環(huán)流方向轉(zhuǎn)右手四指順來流速度矢量，逆環(huán)流方向轉(zhuǎn)9090

17、有尖后緣的任意翼型繞流（理想流體）有尖后緣的任意翼型繞流（理想流體）sincosdXpdSpdydYpdSpdx 得和方向的總力：得和方向的總力： ssXpdyYpdx阻力阻力 RX升力升力 LYV0庫塔庫塔儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理結(jié)論：結(jié)論：2.升力的大小為升力的大小為V0，方向垂直于，方向垂直于V01.物體只受到升力，不受阻力（物體只受到升力，不受阻力（理想流體理想流體）。）。3. （逆時針）時，方向朝下，（逆時針）時，方向朝下， （順時針）時，方向朝上。（順時針）時，方向朝上。 升力方向按右手法則：升力方向按右手法則：四指順來流逆環(huán)流轉(zhuǎn)四指順來流逆環(huán)流轉(zhuǎn)90o與繞圓柱體有環(huán)流

18、與繞圓柱體有環(huán)流流動的結(jié)果完全一致流動的結(jié)果完全一致旋轉(zhuǎn)圓筒旋轉(zhuǎn)圓筒推力推力: L L在船前進方向的分力在船前進方向的分力四四 麥麥格魯斯效應(yīng)：格魯斯效應(yīng)：繞旋轉(zhuǎn)圓柱體流動會產(chǎn)生升力繞旋轉(zhuǎn)圓柱體流動會產(chǎn)生升力的現(xiàn)象。的現(xiàn)象。合速度合速度V V升力升力 V VL L的分力的分力討論：討論：1. 已知環(huán)量已知環(huán)量 c，求圓柱體的旋轉(zhuǎn)角速度，求圓柱體的旋轉(zhuǎn)角速度 環(huán)量環(huán)量 c 2r0 Vs 2r20 圓柱表面的切向速度圓柱表面的切向速度 Vs = r 所以所以 c / 2r20 w方法一：方法一：方法二：方法二：)(2220rdsnc所以所以 c / 2r20 Vscssv dsvds 2.圓柱體長

19、圓柱體長10m，直徑，直徑1m，在靜止流體中繞自身，在靜止流體中繞自身軸旋轉(zhuǎn)，并沿垂直于自身軸方向等速移動，自然軸旋轉(zhuǎn)，并沿垂直于自身軸方向等速移動，自然風(fēng)風(fēng)u與與V垂直垂直。求求: 圓柱體受力圓柱體受力解：解：環(huán)量環(huán)量 c 2r0 Vs 2r20 37.1 m2/s22050/xyVVVm s所以所以 023200cLV lN V=40m/su=30m/sn=225/sV0L3.設(shè)在（設(shè)在（a,0)處有一平面點源，在（處有一平面點源，在（a,0)處有一處有一平面點匯，平面點匯， 他們的強度為他們的強度為Q，若平行直線流動和，若平行直線流動和這一對強度相等的源和匯疊加。這一對強度相等的源和匯疊

20、加。試問：此流動表示什么樣的流動并確定物面方程試問：此流動表示什么樣的流動并確定物面方程解：解：（1） 求勢函數(shù)求勢函數(shù)1r122r012coslnln22QQv rrrQ-Qaax(x,y)yr222212(), ()rxayrxaycosrx22220ln()ln()22QQv xxayxay均勻流均勻流 源源 匯匯 1r122rQ-Qaax(x,y)yr3 求駐點位置求駐點位置22220ln()ln()22QQv xxayxay（2） 流場速度分布流場速度分布022222()2()xQxaQxavvxxayxay22222()2()yQyQyvyxayxay0222202()2()xQx

21、aQxavvxayxay222202()2()yQyQyvxayxay200aQxavy 駐點駐點120012 ()222QQQv yv y1r122rQ-Qaax(x,y)yr（4） 求零流線求零流線源源 匯匯 均勻流均勻流1212222122()11yyx ax ayyx a x atgtgaytgtg tgxya022222Qayv yarctgxya222022QayyarctgUxya令令020 0aQxayv 零流線零流線駐點在零流線上！駐點在零流線上！物面方程物面方程均勻流均勻流 + 點源點源 + 點匯點匯 Q-QaaQ-Q均勻流均勻流 + 點源點源 + 點匯點匯 蘭金橢圓柱蘭金

22、橢圓柱開爾文橢圓柱開爾文橢圓柱半無限體半無限體均勻流均勻流 + 點源點源Q1r122rQ-Qaax(x,y)yr奇點試湊法奇點試湊法討論：討論：（1）求勢函數(shù)或流函數(shù)）求勢函數(shù)或流函數(shù)（2）求流場速度分布，駐點位置）求流場速度分布，駐點位置（3）求零流線或等流函數(shù)線）求零流線或等流函數(shù)線一般過駐點的流線就是物體表面一般過駐點的流線就是物體表面（4）求物面上的壓力分布）求物面上的壓力分布（5）求升力）求升力例例6.2 6.2 已知速度勢已知速度勢=x=x- -x yx y2 2 ，求流函數(shù)，求流函數(shù)22336xyVxyVxyyx22336xyVxyVxyxy2222(33 )( ) 3( )xy

23、 dyf xx y yf x積分得積分得: :6( )6yxyf xVxyx即即f(x)=Cf(x)=C。則流函數(shù)為。則流函數(shù)為: :223x y yc待定函數(shù)法求解待定函數(shù)法求解22Q1ln2r例例6.3 6.3 已知平面點渦的流函數(shù)和平面點匯的流已知平面點渦的流函數(shù)和平面點匯的流 函數(shù)分別為函數(shù)分別為 和和求：疊加后的速度勢求：疊加后的速度勢12ln22Qr解解:11()22QQrrrrln( )2QrC 對對求導(dǎo)得求導(dǎo)得: :( )C另外另外22rrrr()2C 所以所以即即( )2C ln22Qr勢函數(shù)勢函數(shù): :討論：討論：點渦點渦+點匯點匯=？12ln22Qrln22QrCrce令

24、等流函數(shù)線等流函數(shù)線（流線）（流線）點渦點渦+點匯點匯點渦點渦+點源點源225628100 sin (1)ln25rrr例例6.6 6.6 已知流函數(shù)已知流函數(shù) 求求: :）駐點位置；）繞物體的環(huán)量；）駐點位置；）繞物體的環(huán)量； ）無窮遠處的速度；）作用在物體上的力。）無窮遠處的速度；）作用在物體上的力。解解 : : ）求駐點位置）求駐點位置( (先求速度場先求速度場) )225100cos (1)rVrr225628100sin (1)2Vrrr令令，則零流線為，則零流線為r=5r=5的圓柱即為物面。的圓柱即為物面。在物面上在物面上令令，有，有628sin0.12000s 即駐點位置為即駐點

25、位置為01025 44174 16ss6285, 0, 200sin10rrvV ）求環(huán)量）求環(huán)量2200628( 200sin) 562810dsvrvdd6285, 0, 200sin10rrvV ）求速度）求速度04sinsr V 在物面上在物面上1010628100(/ )4sin45 ( )sVm sr 即為無窮遠的來流速度。即為無窮遠的來流速度。）求合力）求合力若若kgkg則則 V V0 0 6.286.281010例例6.6. 在在x x0 0的右半平面的右半平面(y(y軸為固壁軸為固壁) )內(nèi)內(nèi), ,處于處于x x軸上軸上距壁面為距壁面為a a處有一強度為處有一強度為Q Q的點

26、源。的點源。求求: : 流函數(shù)、勢函數(shù)及壁面上的速度分布流函數(shù)、勢函數(shù)及壁面上的速度分布解：解： 用鏡像法用鏡像法0022222()2()02 ()()xxxQxaxaVxxayxay在在x=0 x=0處處流函數(shù)為：流函數(shù)為：1112()22QQyytgtgxaxa0002222222()()yxxxQyQyQyVyx ayx ayya滿足不可穿透條件滿足不可穿透條件疊加后的勢函數(shù)為：疊加后的勢函數(shù)為：222212(lnln)ln ()ln ()22QQrrxayxay2222ln ()()2Qx ayx ayaa(x,y)1r2r124 4 附加慣性力與附加質(zhì)量附加慣性力與附加質(zhì)量物體在無界

27、流體內(nèi)的運動可分為兩大類物體在無界流體內(nèi)的運動可分為兩大類: :1.1.勻速直線運動勻速直線運動2.2.非勻速運動非勻速運動: :坐標系固結(jié)于物體上仍為慣性系，坐標系固結(jié)于物體上仍為慣性系，為均勻來流繞物體的定常流動。為均勻來流繞物體的定常流動。由上兩節(jié)的方法求壓力分布、合力、力矩等由上兩節(jié)的方法求壓力分布、合力、力矩等坐標系固結(jié)于物體上為非慣性系，坐標系固結(jié)于物體上為非慣性系，為非定常流動問題。為非定常流動問題。不能由上兩節(jié)的方法求壓力分布、合力、力矩等不能由上兩節(jié)的方法求壓力分布、合力、力矩等無界流場中物體作非無界流場中物體作非勻速直線運動勻速直線運動無界流場中的非定常運動物體質(zhì)量為無界流

28、場中的非定常運動物體質(zhì)量為, ,物面為物面為V(t)Ms 推動物體的作用力：推動物體的作用力：2. 2. 還要為增加流體的動能還要為增加流體的動能而作功而作功1. 1. 必須為增加物體的動能必須為增加物體的動能而作功而作功 設(shè)設(shè) （）稱為附加質(zhì)量稱為附加質(zhì)量稱為虛質(zhì)量稱為虛質(zhì)量令令 I I則：則： I I 附加慣性力附加慣性力 附加慣性力：物體加速周圍流體質(zhì)點時受到周附加慣性力：物體加速周圍流體質(zhì)點時受到周 圍流體質(zhì)點的作用力圍流體質(zhì)點的作用力V(t)Ms I I的方向與加速度方向相反。的方向與加速度方向相反。當(dāng)當(dāng)0 0時時I I， 即物體加速度運動時，即物體加速度運動時， 為阻力；為阻力；當(dāng)當(dāng)0 0時，時，I I0 0，即物體減速時，即物體減速時， I I為推力。為推力。V(t)Ms 附加質(zhì)量的計算附加質(zhì)量的計算2222()()()Vxyz式中式中222222)()()()(xxyyzzxyz2()()()Vxxyyzz所以所以內(nèi)流體動能：內(nèi)流體動能：221122TV dV dV(t)Ms () cos( , )cos( , )cos( , ) cos( , )cos( , )cos( , )sPQRdn xn yn z dxyznQxn