因式分解培優(yōu)專題(一)4頁

1、博學且深思 涵養(yǎng)而精進初三數(shù)學因式分解培優(yōu)專題（一）一、用提公因式法把多項式進行因式分解【知識精讀】如果多項式的各項有公因式，根據(jù)乘法分配律的逆運算，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據(jù)就是乘法分配律。多項式的公因式的確定方法是：（1）當多項式有相同字母時，取相同字母的最低次冪。（2）系數(shù)和各項系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項式，也可以是多項式。下面我們通過例題進一步學習用提公因式法因式分解【分類解析】 1. 把下列各式因式分解（1）（2）分析：（1）若多項式的第一項系數(shù)是負數(shù)，一般要提出“”號，使括號內(nèi)的第

2、一項系數(shù)是正數(shù)，在提出“”號后，多項式的各項都要變號。解：（2）有時將因式經(jīng)過符號變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?，如：當n為自然數(shù)時，是在因式分解過程中常用的因式變換。解：2. 利用提公因式法簡化計算過程例：計算分析：算式中每一項都含有，可以把它看成公因式提取出來，再算出結果。解： 3. 在多項式恒等變形中的應用例：不解方程組，求代數(shù)式的值。分析：不要求解方程組，我們可以把和看成整體，它們的值分別是3和，觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一項都含有，利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為含有和的式子，即可求出結果。解：4. 在代數(shù)證明題中的應用例：證明：對于任意自然數(shù)n，一定是10的倍數(shù)。分析：首先利用因式

3、分解把代數(shù)式恒等變形，接著只需證明每一項都是10的倍數(shù)即可。解：5、中考點撥：例1。因式分解解： 說明：因式分解時，應先觀察有沒有公因式，若沒有，看是否能通過變形轉(zhuǎn)換得到。例2分解因式：解：說明：在用提公因式法分解因式前，必須對原式進行變形得到公因式，同時一定要注意符號，提取公因式后，剩下的因式應注意化簡。舉一反三：1、分解因式：（1）（2）（n為正整數(shù)）（3） 2. 計算：的結果是（） A. B. C. D. 3. 已知x、y都是正整數(shù)，且，求x、y。4. 證明：能被45整除。二、運用公式法進行因式分解【知識精讀】把乘法公式反過來，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式完全平方公式立方

4、和、立方差公式補充：歐拉公式：特別地：（1）當時，有（2）當時，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。運用公式法分解因式的關鍵是要弄清各個公式的形式和特點，熟練地掌握公式。但有時需要經(jīng)過適當?shù)慕M合、變形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運用它，對今后的學習很有幫助。 下面我們就來學習用公式法進行因式分解【分類解析】 1. 把分解因式的結果是（） A. B. C. D. 分析：。再利用平方差公式進行分解，最后得到，故選擇B。說明：解這類題目時，一般先觀察現(xiàn)有項的特征，通過添加項湊成符合公式的形式。同時要注意分解一定

5、要徹底。 2. 在簡便計算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項式的整除等方面的應用例：已知多項式有一個因式是，求的值。分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運算，可假設另一個因式，再用待定系數(shù)法即可求出的值。解： 3. 在幾何題中的應用。例：已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。分析：因為題中有，考慮到要用完全平方公式，首先要把轉(zhuǎn)成。所以兩邊同乘以2，然后拆開搭配得完全平方公式之和為0，從而得解。解： 4. 在代數(shù)證明題中應用例：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。分析：先根據(jù)已知條件把奇數(shù)表示出來，然后進行變形和討論。解：5、中考點撥：例1：因式分解：_。說明：因式分解時，先看有沒有公因式。此題應先

6、提取公因式，再用平方差公式分解徹底。例2：分解因式：_。說明：先提取公因式，再用完全平方公式分解徹底。題型展示：例1. 已知：，求的值。解：說明：本題屬于條件求值問題，解題時沒有把條件直接代入代數(shù)式求值，而是把代數(shù)式因式分解，變形后再把條件帶入，從而簡化計算過程。例2. 已知，求證：證明：說明：利用補充公式確定的值，命題得證。例3. 若，求的值。解：說明：按常規(guī)需求出的值，此路行不通。用因式分解變形已知條件，簡化計算過程。舉一反三： 1. 分解因式：（1） （2）（3）2. 已知：，求的值。3. 若是三角形的三條邊，求證：4. 已知：，求的值。5. 已知是不全相等的實數(shù)，且，試求（1）的值；（

7、2）的值。因式分解練習題1、若是完全平方式，則m=_。2、3、已知則4、若是完全平方式M=_。， 5、若是完全平方式，則k=_。6、若的值為0，則的值是_。7、若則=_。8、若則_。9、方程，的解是_。二、選擇題：（10分）1、多項式的公因式是（ ）A、a、 B、 C、 D、2、若，則m，k的值分別是（ ）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式中能用平方差公式分解因式的有（ ）A、1個， B、2個， C、3個 ，D、4個4、計算的值是（ ） A、 B、三、分解因式：（30分）1 、 2 、 3 、 4、5、 6、7、3ax2+6axy+3ay28、 9