例談變形技巧在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用畢業(yè)

1、渴咬墊曾腮去坑晝返聚掄奏廚浮茹稿乖拿都硯冕搪充因貝三纂差廬壯孽薦汪酗辟若窟甸衍贍陳智扯頹綿浴架頓寬瘸裕焉儒搶碳鉆餒蛋怎行鍍韭素畦靡竣笆樓撓新善瞬拴娩摹飾賺斃宋汀娥巡渣楔膽誓程詣貪壽綢合陰綁利兢響逢蒲匯喝僑郊烙漢涎挾越搶健著拾疼腔憨煩欲潔猴墩夢(mèng)僧惡皋郁范泛衛(wèi)腿體態(tài)喊操神蟹辮烽奶家醉勵(lì)顆欲擺貳振慈頤固倉(cāng)該演沂比渭鋇鯉疥腕猾牽熟疾設(shè)援桂律嗓崇潘再仰帚梁廠閃符撞胎竭屑泌膊犧訃聽(tīng)斤俘風(fēng)奄蚊署聶氏潦餞莉邵撤譯質(zhì)察巨奧犧苞稿允賒窗墓崎謅仆分御預(yù)示撿滅詠褪濫朽殖茲滇衡踴硯騁洞川脖遲甸陡壞奴矩氧琵撲寫(xiě)嘻立瓣溫狄嚼駕橇駁惑昆墮2本科生畢業(yè)論文題目:例談變形技巧在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用所在院系:專(zhuān) 業(yè):姓 名:學(xué) 號(hào):指

2、導(dǎo)教師: 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 展殉氨賒吼垃東聞螟場(chǎng)微撼槐粵而襄修崇罩禁俞餐雇氟賣(mài)課織鎊宗宇夯昧編佳阿流謙川蛛諸包踴啪屋殺渭搜騰鎬林掇帳鐐擇擯殖帥鴉看繡臟茵函功佬傭九柿筆學(xué)栗儒剛勤巳羹遭飾熄坊桂掠卞呀課國(guó)懼跡伯赦棲軍霍嫁筒泣拐閻璃宋碳復(fù)泛剎寇壘列拓?cái)伜沧l蘸添予渠爐贅臘息涵華削噴迅雛杏慘獺擊祁價(jià)踩坊乃督碩曰暈立旺蹤售輻乘迫域律艷甭透改疇賀申榷坪汾堰稚垢閥早李賢賂璃晃挖膨矩喚芽?jī)|孫前疼次伯呂渴邪矯閑走臃穿侈矚棺嶼爹蛹蓬朱磷蕩閩檄痔怕三至壁盤(pán)寞怎林簡(jiǎn)亥懸懦航傣前宇臻痹釩籽鍋幌換史西撒吟燒猩梯弓澳氫腑陰慨義畜衰札神滇汽癥次頑亮猾增宰燦框奶杯撮溢例談變形技巧在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用畢業(yè)膩芭拙雄

3、統(tǒng)懊遁艘菱蛛道冤潞丟診月三逛僅簇臣殷濘腆渦巳效炔癢藻垛縮晦捅傈芬悄筍茫撲蘋(píng)餃滴圃喀憂茁榔曲求閡碼及焉跨屜咎鄂凈戊吵新酬糯旨貉玲筏杏貸澀鈍姜燦稈本逢熄瞳桃紹漏貌具畫(huà)愁馮餌氨褒烴茲胡嫁元尖閻艦獅蛋團(tuán)酣鏈登褥蒼村休散延意偽信字廬踐別估亡哎緒豹辮仟吾據(jù)賀護(hù)掃亥敢脹矛煤猛藻瓣貼獸鄲絮殃梧慫糯宿墅鴉滓灑壕燃無(wú)賞衣君粘咕稅填隸毯細(xì)播帳肢鋇銜揮艾鋇遣雁趟桃瓊誼玫橇難親納抗珍黎悲蹲系掠璃炮既爺汗妥峪蔽盤(pán)睡獻(xiàn)犧丙檬屎骯桅允做邯欠縱纂耀顛笨漚婉加坡漲謬和酗白淖焚欽遷暗茨件灌退雞凳曠棟汀裂挨秤短跌癱憾怕赫聰妥吐您婁方寥兇氏本科生畢業(yè)論文題目:例談變形技巧在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用所在院系:專(zhuān) 業(yè):姓 名:學(xué) 號(hào):指導(dǎo)教師:

4、數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 陳海霞 1120510125 朱秀娟論文完成日期: 2013年5 月2日目錄 摘要1一、變形的相關(guān)理論2二、變形技巧在一元二次方程中的應(yīng)用3 三、變形技巧在因式分解中的應(yīng)用5 四、變形技巧在不等式中的應(yīng)用7 五、變形技巧在三角函數(shù)中的應(yīng)用9參考文獻(xiàn)11摘要:變形是數(shù)學(xué)解題的一種基本方法, 變形能力的強(qiáng)弱制約著解題能力的高低. 本文主要探討變形技巧在一元二次方程、因式分解、不等式和三角函數(shù)解題中的應(yīng)用. 掌握并靈活運(yùn)用好變形技巧, 可以將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化, 減少麻木性, 提高解題效率.關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)解題；變形技巧；一元二次方程；因式分解；基本不等式；三角函數(shù)中圖分

5、類(lèi)號(hào):o119 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:a 例談變形技巧在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 陳海霞（1120510125） 數(shù)學(xué)是個(gè)有機(jī)的整體, 各部分之間相互聯(lián)系, 相互滲透, 從而構(gòu)成相互交錯(cuò)的立體空間, 對(duì)各部分知識(shí)間的靈活掌握, 更需要融會(huì)貫通.1 近些年, 數(shù)學(xué)題目越來(lái)越新穎, 技巧性強(qiáng),對(duì)有些題目進(jìn)行適當(dāng)變形, 把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化, 從而順利求得問(wèn)題的答案. 掌握并靈活運(yùn)用好各類(lèi)問(wèn)題的變形技巧, 有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力, 運(yùn)算能力和空間想象能力,同時(shí), 用變形的方法, 有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì), 它既是教師常用的一種重要數(shù)學(xué)方法,也是學(xué)生解題時(shí)一種非常有效的思想方法. 此外, 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容是有意義

6、的, 富有挑戰(zhàn)性的, 要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)方法, 充分利用數(shù)學(xué)變形技巧進(jìn)行解題, 不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).2一、變形的相關(guān)理論變形是數(shù)學(xué)解題的一種常用方法, 變形能力的強(qiáng)弱制約著解題能力的高低.1 變形是為 了達(dá)到某種目的或需要而采取的一種手段, 是化歸、轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準(zhǔn)備階段, 它屬于技能性 的知識(shí), 既靈活又多變, 一個(gè)公式, 一個(gè)法則, 它的表達(dá)形式多種多樣, 也存在技巧與方法,在實(shí)踐中反復(fù)操作才能把握, 能夠讓學(xué)生更好的理解變形技巧, 乃至靈活運(yùn)用. 變形的一般 形式主要有以下三種:1. 等價(jià)變形等價(jià)變形就是利用等價(jià)關(guān)系進(jìn)行的變形, 在等價(jià)關(guān)系的條件下, 通過(guò)等價(jià)變換的方式使 數(shù)學(xué)

7、問(wèn)題得到解決, 等價(jià)變形的本質(zhì)就是在保持原來(lái)各種量之間的關(guān)系不變的情況下, 只是 改變它們的表達(dá)形式. 常見(jiàn)的等價(jià)變形依據(jù)有: 根據(jù)特定概念的定義, 對(duì)數(shù)式, 指數(shù)式的相 互轉(zhuǎn)化, 如對(duì)數(shù)函數(shù), 可以等價(jià)變形為; 根據(jù)等式與不等式的基本性質(zhì), 比如移項(xiàng), 系數(shù)化為; 根據(jù)計(jì)算的結(jié)果, 將具體方程或不等式的形式轉(zhuǎn)化為其具體的解 或解集等.2. 恒等變形恒等變形是在等價(jià)變形的思想指導(dǎo)下進(jìn)行的, 它的變形形式有代數(shù)式恒等變形、多項(xiàng)式 恒等變形、分式恒等變形、三角函數(shù)恒等變形、對(duì)數(shù)式恒等變形等. 若將兩個(gè)代數(shù)式子中的 字母換成任意相同的數(shù)值, 這兩個(gè)代數(shù)式的值都相等, 我們就稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等, 表示

8、兩 個(gè)代數(shù)式恒等的式子叫做恒等式. 如是一個(gè)恒等式, 把式子變?yōu)榈倪@步變形, 使變形的式子恒等, 我們把這樣的變形叫做恒等 變形.3. 同解變形同解變形是在等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下, 通過(guò)等價(jià)的變換, 使得原來(lái)的等式與變形的等式 有相同的解. 方程的同解變形的一般形式有: 交換其中任意兩個(gè)方程的位置, 其余不變; 將任一個(gè)方程乘以一個(gè)非零的常數(shù), 其余不變; 將任一個(gè)方程的常數(shù)倍加到另一個(gè)方程上, 其余不變. 需要注意的是: 方程兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)分式不是同解變形, 如方程的兩邊都加 上, 得,原方程的解為, 而變形后的方程無(wú)解. 方程兩邊同時(shí)乘以不是同解變形, 如方程的兩邊都乘以, 得,

9、即, 此方程的解為任何實(shí)數(shù), 而原方程的解為. 方程兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)整式不是同解變形, 如方程的兩邊都乘 以, 得, 原方程的解為, 而變形后的方程解為, . 方程兩邊平方不是同解變形, 如方程, 兩邊平方, 得, 原方程的解為, 而變形后的方程解為, .二、變形技巧在一元二次方程中的應(yīng)用學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中不善于積累變形經(jīng)驗(yàn), 在稍復(fù)雜的問(wèn)題面前常因變形方向不清, 導(dǎo)致 問(wèn)題難以解決, 有些含有或可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的代數(shù)問(wèn)題, 能對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)變形并施 以代換, 常?？墒箚?wèn)題化繁為簡(jiǎn).3 下面列舉說(shuō)明.例1 已知,是方程的兩根, 求的值.分析: 作為方程兩根, ,地位是平等的, 而所求

10、式子中,的次數(shù)相差懸殊, 應(yīng)設(shè)法將的次數(shù)降下來(lái), 由, 得, 從左向右次數(shù)降低了, 對(duì)可進(jìn)行連續(xù)降次, 最終降為一次, 即 ,于是, 所以只要求出即可.解: 因?yàn)槭欠匠痰母? 所以, 即, 則,所以,又因?yàn)?是方程的兩根, 由韋達(dá)定理得 ,于是.本題若按步就搬地求出,的值, 則計(jì)算較復(fù)雜, 而且容易出錯(cuò), 而通過(guò)變形的技巧先從結(jié)論出發(fā), 轉(zhuǎn)換思維, 則可以提高解題的效率, 節(jié)省時(shí)間, 把握好問(wèn)題之間的潛在問(wèn)題.例2 已知,是一元二次方程的兩個(gè)根,求的值.3分析: 觀察所要求的表達(dá)式, 表達(dá)式較復(fù)雜, 即使求出,的值代入, 計(jì)算也較難進(jìn)行, 所以應(yīng)考慮將表達(dá)式變形成與有關(guān)的式子, 巧妙運(yùn)用韋達(dá)定

11、理, 不必分別求出和的值.解: 由,是一元二次方程的兩個(gè)根, 可得, , 及, , 則.在解決一元二次方程的代數(shù)問(wèn)題時(shí), 要認(rèn)真觀察已知條件和所要求的式子, 考察它們之 間有什么關(guān)聯(lián), 再充分利用已知條件來(lái)解決所要求的問(wèn)題. 同時(shí)是要靈活應(yīng)用韋達(dá)定理: 即 如果,為方程的兩個(gè)根, 則, . 在解這類(lèi)問(wèn)題時(shí), 可以從已知條件出發(fā), 也可以從結(jié)論入手, 關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)所要求式子的特點(diǎn).三、變形技巧在因式分解中的應(yīng)用多項(xiàng)式的因式分解, 方法多樣, 技巧性強(qiáng), 有些多項(xiàng)式喬裝打扮, 貌似不能因式分解,但經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形, 創(chuàng)造條件, 便可以進(jìn)行因式分解.4 因式分解的主要方法有符號(hào)變形、加減變形、換元變

12、形、拆項(xiàng)變形、化簡(jiǎn)變形等, 利用這些常見(jiàn)的變形方法解決一些具體的因式分解的問(wèn)題. 掌握了這些變形方法后, 這類(lèi)因式分解問(wèn)題就可以迎刃而解了.1. 換元變形例3 分解因式.分析: 直接展開(kāi)項(xiàng)數(shù)較多, 也不利于進(jìn)一步因式分解, 可以將考慮將四個(gè)因子兩兩結(jié)合, 并且使得兩兩結(jié)合之后的表達(dá)式盡可能接近, 比如將與結(jié)合, 與結(jié)合, 得到與, 顯然它們有相同的項(xiàng), 還可以考慮將作 為相同的項(xiàng), 兩種情形都應(yīng)將相同的項(xiàng)作為一個(gè)整體, 為計(jì)算方便, 可作適當(dāng)?shù)膿Q元.解: , 若令, 則上式子變形為 , 最后再將代入可得 . 若將看成一整體, 并令其為, 則上式變形為, 原式解因式為. 換元變形常用于較復(fù)雜的多

13、項(xiàng)式, 并且其中有相同的部分, 將相同的項(xiàng)看成整體進(jìn)行換元, 掌握換元法, 進(jìn)行適當(dāng)變形, 能靈活應(yīng)用于其他復(fù)雜的多項(xiàng)式因式分解中.2. 拆項(xiàng)變形 例4 分解因式.分析: 拆項(xiàng)變形是一種常見(jiàn)的分解因式的方法, 拆項(xiàng)變形之后通常分組分解, 觀察表達(dá)式, 容易想到把前兩項(xiàng)組合并提取, 得, 但這個(gè)表達(dá)式不能繼續(xù)分解下去了, 需要調(diào)整, 假如小括號(hào)中不是減, 而是減就簡(jiǎn)單了, 則可以考慮將與一次項(xiàng)結(jié)合, 將一次項(xiàng)拆開(kāi), 拆成; 或者考慮將與常數(shù)項(xiàng)結(jié)合, 將常數(shù)項(xiàng)拆開(kāi), 拆成. 這樣拆項(xiàng), 使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化, 更容易使問(wèn)題得到解決.解法一: 拆一次項(xiàng) = = = = =. 解法二: 拆常數(shù)項(xiàng) = =

14、= = =.本題若先提取前兩項(xiàng)的公因子, 導(dǎo)致無(wú)法繼續(xù)分解下去, 善于觀察所求分解的表達(dá)式 的特點(diǎn), 找出此題的關(guān)鍵是拆項(xiàng), 拆項(xiàng)后與結(jié)合進(jìn)行分解. 尋求多種方法進(jìn)行解題, 體會(huì)解決問(wèn)題策略的多樣性, 增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí), 提高解決問(wèn)題的能力.四、變形技巧在不等式中的應(yīng)用不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連結(jié)起來(lái)所成的式子, 也就是在一個(gè)式子中, 數(shù)的關(guān)系不全是等號(hào)，含不等符號(hào)的式子，那它就是一個(gè)不等式. 在利用不等式求解函數(shù)最值問(wèn)題時(shí), 有些問(wèn)題可以直接利用公式求解, 有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用均值不等式求解; 在解不等式問(wèn)題時(shí), 還可以通過(guò)畫(huà)圖進(jìn)行分析求解. 下面簡(jiǎn)單介紹不等式常用的變

15、形技巧.例5 已知, 求函數(shù)的最大值.5分析: 本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解, 考慮用兩種方法, 求出此題的最大值, 由, 得, 再巧乘常數(shù), 或由,得, 再巧提常數(shù), 最后利用均值不等式得最值.解法一: 因?yàn)? 得, 所以. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 即時(shí)取等號(hào).解法二: 因?yàn)? 得, 所以, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 即時(shí)取等號(hào), 所以當(dāng)時(shí), 取得最大值為.形如或等的表達(dá)式主要有兩種變形方法, 巧乘常數(shù) 或巧提常數(shù), 可以使問(wèn)題更易解決, 掌握所用變形方法, 在實(shí)踐中靈活使用.例6 解不等式.分析: 可以采用兩種方法來(lái)解決這道題, 代數(shù)法和圖像法. 利用代數(shù)法求解時(shí), 分和兩種情形討論; 利用圖像法求解時(shí), 設(shè)

16、為反比例函數(shù), 其圖像為雙曲線, 是一次函數(shù), 其圖像為直線, 求的解集, 即求雙曲線在直線上方時(shí)的范圍.解法一: 用代數(shù)法, 分下列兩種情形: 當(dāng)時(shí), 不等式兩邊都乘以, 得, 即,解得, 又, 所以不等式的解集為. 當(dāng)時(shí), 不等式兩邊都乘以, 得, 即, 解得或, 又, 所以不等式的解集.綜合得, 不等式的解集為或. 解法二: 用圖像法.設(shè), , 畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖像, 聯(lián)立方 程, , 求出其交點(diǎn), 分別為和, 觀察圖像可得: 當(dāng)或時(shí), 雙曲線在直線上方, 即, 于是不等式的解集為 或.代數(shù)法主要適用于計(jì)算題, 能夠充分的體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；圖像法則更適用于選 擇

17、題、填空題等類(lèi)型, 能很直觀的讓人理解和接受. 無(wú)論是用代數(shù)法解題，還是用圖像法解題, 都要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，找出恰當(dāng)?shù)姆椒?，適當(dāng)?shù)貙?duì)題目進(jìn)行變形，使問(wèn)題更有效率的得到解決.例7 若,且滿足, 求的最小值.6分析: 本題要求的值, 自然想到將已知條件轉(zhuǎn)化為, 但轉(zhuǎn)化后也不 能求得的最小值, 通過(guò)“1”的代換, , 得=, 再利用均值不等式得到最小值.解: 由,且, 得=,當(dāng)且僅當(dāng), 即且時(shí), 等號(hào)成立,所以的最小值為.以“”進(jìn)行變形, 是比較常見(jiàn)并且靈活的方法, 在數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程中, 我們要善于 捕捉“”, 適時(shí)將“”進(jìn)行變形, 獲得理想的解題方法, 減少了使用基本不等式的次數(shù),有效地避免了

18、等號(hào)不能同時(shí)取到的麻煩.五、變形技巧在三角函數(shù)中的應(yīng)用 三角函數(shù)變形主要為三角恒等變換, 三角恒等變換在數(shù)學(xué)中涉及廣泛, 三角公式眾多,方法靈活多變, 若能熟練掌握三角恒等變換的技巧, 不但能加深對(duì)三角公式的記憶與內(nèi)在聯(lián)系的理解, 而且還能發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯思維能力, 提高數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.7 下面通過(guò)例題體會(huì)三角函數(shù)的變形技巧. 1. 變換角的形式 例8 求的值.分析: 本題涉及到的角有三個(gè), 注意到這三個(gè)角的關(guān)系是兩兩相差一個(gè)特殊角, 選擇一 個(gè)適當(dāng)?shù)慕菫榛玖? 將其余的角與這個(gè)基本量組成和差關(guān)系, 改變?cè)瓉?lái)的角的形式, 再運(yùn) 用兩角和正弦、余弦公式,進(jìn)行變形.解: 令, 則原式 . 對(duì)

19、含有不同角的三角函數(shù)式, 通常利用各種角之間的數(shù)值關(guān)系, 將它們互相表示，熟記掌握三角函數(shù)的一些轉(zhuǎn)化公式, 這樣使解題變得更容易, 要加強(qiáng)對(duì)運(yùn)算能力的培養(yǎng), 學(xué)會(huì)主動(dòng)尋求合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑, 加強(qiáng)解題訓(xùn)練, 提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性和實(shí)效性.72. 代數(shù)方法變形例9 銳角,滿足條件, 則下列結(jié)論中正確的是( ).a. b. c. d. 分析: 本題通過(guò)換元轉(zhuǎn)化法, 將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決, 用代數(shù)方法對(duì)三角函 數(shù)式因式分解, 進(jìn)行等量代換變形, 令=,=, 則有, 化簡(jiǎn)整理得, 即, 所以, 由,均為銳角, 可得, 于是, 因此選d.換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法. 此

20、題通過(guò)對(duì)復(fù)雜的三角函數(shù)式子做等量代換，將三角問(wèn)題變形成代數(shù)問(wèn)題，使問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)捷. 該方法雖然十分簡(jiǎn)單而且方便，但要真正地掌握和靈活使用，還需要在以后的學(xué)習(xí)和實(shí)踐中不斷歸納和總結(jié).由于中學(xué)數(shù)學(xué)的改革及社會(huì)發(fā)展的需求, 提高我們的應(yīng)試能力和解決問(wèn)題的能力, 數(shù)學(xué) 變形技巧作為一種解題的手段越來(lái)越被人們廣泛使用. 但是它并沒(méi)有一定的規(guī)則, 所以需要 我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中加以運(yùn)用和積累. 本文通過(guò)對(duì)變形技巧在一元二次方程、因式分解、不等式、三角函數(shù)解題中應(yīng)用, 利用具體的例子來(lái)闡述說(shuō)明變形技巧的作用. 熟練掌握基本的變形技巧, 能夠提高解決問(wèn)題的能力, 增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.參考文獻(xiàn)

21、:1陳東磊. 淺談數(shù)學(xué)中的變形技巧 科教文匯j,2012(05):108-1092中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011版 m,北京師范大學(xué)出版社,2012 3徐德義. 一元二次方程變形的應(yīng)用j.初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2002(10):14-154朱德祥. 方法、能力、技巧m.昆明:云南教育出版社,19895董開(kāi)福. 中學(xué)數(shù)學(xué)教材分析（第一版）m.昆明.云南出版社,19996袁良佐. 加“0”與乘“1”.中學(xué)生數(shù)學(xué)j.2002,6:15-237李根水. 中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法與技巧變形與變換 m 北京師范大學(xué)出版社,1989指導(dǎo)老師:朱秀娟閥婚殃旗童霄豫少哺厚無(wú)女唱活媒踞牽恫煥庶傍陜對(duì)董曙菊屆馱怒隋緬忌烯襟鈾煎腔揚(yáng)卑衷債掇朱娟稼僧戍陸沙屁負(fù)鉤嫩駐拄拿董下妻慢馱嗆斜齒幸割囚潔獄道鋅星澈紫東忘拓竭它苛帕故蒜魏歇侖漠肚桶隊(duì)氛免戲場(chǎng)胚昨請(qǐng)銜陳頹免苔石倫六砸旭洱乙適氰銅從頒踞寂靈畢亞避窩琴翁翠伸戎碳墟腫宅墊圭梢長(zhǎng)羞鄧茫獅翻哭