高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用課件北師大版必修5016392

1、4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用1.體會(huì)“零存整取”“定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存”及“分期付款”等日常生活中的實(shí)際問題.2.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)并建立等差數(shù)列或等比數(shù)列這兩種數(shù)學(xué)模型,感受它們的廣泛應(yīng)用,并利用它們解決一些實(shí)際問題.數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用1.等差數(shù)列和等比數(shù)列是日常經(jīng)濟(jì)生活中的重要數(shù)學(xué)模型.2.數(shù)列應(yīng)用題常見模型:(1)銀行儲(chǔ)蓄單利公式:利息按單利計(jì)算,本金為a元,每期利率為r,存期為x,則本利和y=a(1+xr).(2)銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式:按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄,本金為a元,每期利率為r,存期為x,則本利和y=a(1+r)x.(3)產(chǎn)值模型:原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為n,平均增長(zhǎng)率為p,對(duì)于

2、時(shí)間x的總產(chǎn)值y=n(1+p)x.(4)分期付款模型:a為貸款總額,r為年利率,n為貸款年限,b為等額還款數(shù),【做一做2-1】 有一種細(xì)菌和一種病毒,每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè),現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和100個(gè)這樣的病毒,則細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要().a.6秒 b.7秒c.8秒 d.9秒解析:依題意,得1+21+22+2n-1100,整理得2n101.故n7,則所求為7秒鐘.答案:b【做一做2-2】 在某報(bào)自測(cè)健康狀況的報(bào)道中,自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn),表中()處由上到下依次填().a.13686b.14185c.14085d.

3、14086答案:c題型一題型二題型三題型一 等差數(shù)列的應(yīng)用【例1】 某產(chǎn)品按質(zhì)量分10個(gè)檔次,生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品的利潤(rùn)是8元/件,每提高一個(gè)檔次,利潤(rùn)每件增加2元,同時(shí)每提高一個(gè)檔次,產(chǎn)量減少3件,在相同的時(shí)間內(nèi),最低檔次的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.試問:在相同的時(shí)間內(nèi),應(yīng)選擇生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品可獲得最大利潤(rùn)?(設(shè)最低檔次為第一檔次)分析:由于總利潤(rùn)=第n檔次的件數(shù)第n檔次每件的利潤(rùn),因此需要求出第n檔次的件數(shù)及第n檔次的利潤(rùn)的表達(dá)式.題型一題型二題型三解:設(shè)在相同的時(shí)間內(nèi),從低到高每檔次產(chǎn)品生產(chǎn)的件數(shù)分別為a1,a2,a10(單位:件),對(duì)應(yīng)每檔次產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為b1,b2,b10(單位:元),則a

4、n,bn均為等差數(shù)列,且a1=60,d=-3,b1=8,d=2,所以an=60-3(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2n+6,利潤(rùn)f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.顯然,當(dāng)n=9時(shí),f(n)max=f(9)=864元.答:在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品可以獲得最大利潤(rùn).反思對(duì)于實(shí)際問題,通常需要建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,本題即從實(shí)際問題中抽象出兩個(gè)等差數(shù)列,進(jìn)而利用二次函數(shù)的最值,獲得結(jié)果.在建立模型時(shí),一般要依據(jù)所求問題設(shè)定,常用的模型工具有方程、不等式、函數(shù)等.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練1】 有一種零存整

5、取的儲(chǔ)蓄項(xiàng)目,即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以提出全部本金及利息,這是整取,它的本利和公式如下:(1)試解釋這個(gè)本利和公式.(2)若每月存入100元,月利率為0.51%,到第12個(gè)月底的本利和是多少?(3)若每月存入一筆金額,月利率是0.51%,希望到第12個(gè)月取得本利和2 000元,那么每月應(yīng)存多少金額?題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型二 等比數(shù)列的應(yīng)用 (1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元,旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元,寫出an,bn的表達(dá)式;(2)至少經(jīng)過幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?分析:(1)n年內(nèi)總投入組成等比數(shù)列,n年內(nèi)總收入也組成

6、等比數(shù)列.(2)當(dāng)旅游業(yè)總收入超過總投入時(shí),其組成數(shù)列的通項(xiàng)之差應(yīng)大于0.題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思因?yàn)閿?shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用,所以數(shù)列應(yīng)用題在數(shù)列中占有一定的地位.解決這類問題的基本步驟為:(1)仔細(xì)閱讀題目,認(rèn)真審題,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型;(2)挖掘題目的條件,分析該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,分清所求的是項(xiàng)的問題,還是求和問題,然后利用數(shù)列的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答,得出結(jié)果;題型一題型二題型三(3)檢驗(yàn)結(jié)果,寫出答案.在數(shù)列應(yīng)用題中,如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量,那么該模型即為等差數(shù)列模型,增加(或減少)的量就是公差,則可把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中

7、的等差數(shù)列問題,然后用等差數(shù)列知識(shí)對(duì)模型解析,最后再返回實(shí)際中去;如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù),那么該模型是等比數(shù)列模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公比,解此類題型的思路同等差數(shù)列模型;如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定,隨項(xiàng)的變化而變化時(shí),應(yīng)考慮an與an+1的遞推關(guān)系,或考慮前n項(xiàng)和sn與sn+1的遞推關(guān)系.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】 一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25 m的高度,在以后的每一分鐘里,它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.試問這個(gè)熱氣球上升的高度能超過125 m嗎?題型一題型二題型三題型三 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例3】 某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度.公

8、民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金,數(shù)目為a1,以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d0),因此,歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a1,a2,是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列.與此同時(shí),國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策,不僅采用固定利率,而且計(jì)算復(fù)利.這就是說,如果固定年利率為r(r0),那么,在第n年末,第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍1(1+r)n-1,第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)?以tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.(1)寫出tn與tn-1(n2)的遞推關(guān)系式;(2)求證:tn=an+bn,其中an是一個(gè)等比數(shù)列,bn是一個(gè)等差數(shù)列.題型一題型二題型三分析在(1)中,根據(jù)題意直接寫出遞推公式;在(2)中,證明數(shù)列是等差

9、和等比數(shù)列,可以采用通項(xiàng)公式法證明,求出an和bn的通項(xiàng)公式,再進(jìn)行證明.(1)解:由題意有,tn=tn-1(1+r)+an(n2).(2)證明:t1=a1,對(duì)n2反復(fù)使用上述關(guān)系式,得tn=tn-1(1+r)+an=tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+an-1(1+r)+an,在式兩端同乘1+r,得(1+r)tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+an-1(1+r)2+an(1+r),題型一題型二題型三題型一題型二題型三反思由于應(yīng)用題的題目較長(zhǎng),相關(guān)學(xué)科知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透,知識(shí)面較廣,極易造成閱讀和理解上的困難,這就要求有較強(qiáng)

10、的閱讀理解能力,閱讀理解及“審題”應(yīng)分為“初讀”和“熟讀”兩個(gè)層次,“初讀”時(shí)要求一字一句地讀,理解其含義,搞清題目的大概意思,“熟讀”則應(yīng)著重研究題目涉及哪幾個(gè)量,這幾個(gè)量有什么關(guān)系,是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型等.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練3】 為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè),提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益,某市計(jì)劃用若干年更換一萬(wàn)輛燃油型公交車,每更換一輛新車,則淘汰一輛舊車,更換的新車為電力型車和混合動(dòng)力型車.今年初投入了電力型公交車128輛,混合動(dòng)力型公交車400輛,計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%,混合動(dòng)力型車每年比上一年多投入a輛.(1)求經(jīng)過n年,該市被更換的公交車總數(shù)s(n);(

11、2)若該市計(jì)劃用7年的時(shí)間完成全部更換,求a的最小值.題型一題型二題型三題型一題型二題型三123451某種細(xì)胞開始有2個(gè),1小時(shí)后分裂成4個(gè),2小時(shí)后分裂成8個(gè),3小時(shí)后分裂成16個(gè)按此規(guī)律,6小時(shí)后細(xì)胞的個(gè)數(shù)是().a.63b.64c.127d.128解析:細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成等比數(shù)列,記為an,則a1=2,公比q=2,所以a7=a1q6=226=128.答案:d12345答案:a 123453某化工廠在國(guó)家積極財(cái)政政策的推動(dòng)下,積極吸收外資,盤活工廠活力.從2014年1月起,到2016年12月止的36個(gè)月中,月產(chǎn)值不斷遞增且構(gòu)成等比數(shù)列an,若逐月累計(jì)的產(chǎn)值sn=a1+a2+an滿足關(guān)系式sn=101an-36,則該廠的年增長(zhǎng)率為(提示:1.01121.126 8,精確到萬(wàn)分位)().a.12.66%b.12.68%c.12.69%d.12.70%解析:由題意,得sn=101an-36,an+1=sn+1-sn=101an+1-101an,月增長(zhǎng)率為1%,年增長(zhǎng)率為(1+1%)12-112.68%.答案:b123454九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為升.123455有10臺(tái)型號(hào)相同的聯(lián)合收割機(jī),收割一片土地上的莊稼.若同時(shí)投入工作至收割完畢需用24 h,但現(xiàn)在它們是每隔相