導(dǎo)數(shù)中分類(lèi)討論的三種常見(jiàn)類(lèi)型

1、_導(dǎo)數(shù)中分類(lèi)討論的三種常見(jiàn)類(lèi)型高中數(shù)學(xué)中，分類(lèi)討論思想是解決含有參數(shù)的復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要途徑，而所謂分類(lèi)討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的研究對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一的研究處理時(shí)，對(duì)研究對(duì)象按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)的對(duì)象進(jìn)行分別的研究并得出結(jié)論，最后綜合各類(lèi)的研究結(jié)果對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體的解釋.幾乎所有的高中生都對(duì)分類(lèi)討論思想有所了解，而能正確運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題的不到一半，不能運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決具體問(wèn)題的主要原因是對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題不知道該不該去分類(lèi)以及如何進(jìn)行合理的分類(lèi)，下面根據(jù)導(dǎo)數(shù)中 3 種比較常見(jiàn)的分類(lèi)討論類(lèi)型談?wù)剬?dǎo)數(shù)中如何把握對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論.1.導(dǎo)函數(shù)根的大小比較實(shí)例 1：求函數(shù) f x

2、1 x31 a x2ax a ， xR 的單調(diào)區(qū)間 .32分析： 對(duì)于三次或三次以上的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，基本上都是用求導(dǎo)法，所以對(duì)函 數(shù) f x1 x31 a x2ax a 進(jìn) 行 求 導(dǎo) 可 以 得 到 導(dǎo) 函 數(shù)32f 'xx21 a x a ， 觀 察 可 知 導(dǎo) 函 數(shù) 可 以 因 式 分 解 為f 'xx21 a x ax a x 1 ，由此 可知方程 f ' x0有兩個(gè)實(shí)根x1a ， x21 ，由于 a 的范圍未知， 要討論函數(shù) fx1 x31a x2ax a 的32單調(diào)性，需要討論兩個(gè)根的大小，所以這里分a1 ， a1， a1三種情況進(jìn)行討論：當(dāng) a1 時(shí)，

3、 f x， f 'x 隨 x 的變化情況如下：x,aaa, 1-11,f 'x+0_0+精品資料_fx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù) fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為, a 和 1,，單調(diào)遞減區(qū)間為 a, 1 .當(dāng) a1 時(shí)，f ' x0 在 R 上恒成立，所以函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為, ，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間 .當(dāng) a1 時(shí)， fx ， f ' x 隨 x 的變化情況如下：x,1-11,aaa,f 'x+0_0+fx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù) fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為,1 和 a,，單調(diào)遞減區(qū)間為 1,a .綜上所述，當(dāng) a1

4、時(shí)，函數(shù) fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為, a和 1,，單調(diào)遞減區(qū)間為a,1 ；當(dāng) a1 時(shí)，函數(shù) fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為,，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng) a1 時(shí)，函數(shù) fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為, 1和 a,，單調(diào)遞減區(qū)間為1,a .點(diǎn)評(píng)： 這道題之所以要分情況討論，是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)兩個(gè)根的大小不確定，而兩根的大小又會(huì)影響到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而由于a R ，所以要分 a1 ，a 1 ， a1 三種情況，這里注意不能漏了 a1的情況 .2.導(dǎo)函數(shù)的根的存在性討論精品資料_實(shí)例 2：求函數(shù) fxx3ax2x 的單調(diào)區(qū)間分析：這道題跟實(shí)例1一樣，可以用求導(dǎo)法討論單調(diào)區(qū)間，對(duì)函數(shù)fxx3ax2x 進(jìn)行求導(dǎo)可以得到導(dǎo)函數(shù)f

5、 ' x3x22ax1 ，觀察可以發(fā)現(xiàn)，該導(dǎo)函數(shù)無(wú)法因式分解，故無(wú)法確定方程3x22ax10 是否有實(shí)根，因此首先得考慮一下方程是否有解，所以我們可以求出根判別式4a212 ，若4a2120 即3a3 ，方程 3x22ax10 沒(méi)有實(shí)根，即 f 'x 0在 R 上恒成立，所以 fx 在 R 上單調(diào)遞增；若4a212 0 即 a3 ， 方 程 3x22a x 10有兩個(gè)相等的實(shí)根x1x2a ，即 f 'x0 在 R 上恒成立，所以 fx在 R 上單調(diào)遞增；3若4a2120 即 a3或 a3 ，則方程 3x22ax10 有兩個(gè)不同實(shí)根，由求根公式可解得 x1aa23 ， x

6、2aa23 ，顯然 x1x233此時(shí) fx， f 'x 隨 x 的變化情況如下：x, x1x1x1 , x2x2x2 ,f 'x+0_0+fx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)3a3時(shí)， f x的單調(diào)遞增區(qū)間為,，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng) a3或 a3時(shí) ， f x的單調(diào)遞增區(qū)間為,aa233和aa23 ,，單調(diào)遞減區(qū)間為aa23 ,aa23333點(diǎn)評(píng)： 實(shí)例 2 和實(shí)例 1 都是求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但是兩道題分類(lèi)討論的情精品資料_況不一樣，實(shí)例2 主要是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程根的情況未知，所以需要討論根的存在性問(wèn)題，而實(shí)例1 是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程可以因式分解，

7、所以可以確定方程的根肯定是存在的，因此不用再討論，而需要討論的是求出來(lái)兩個(gè)根的大小關(guān)系，實(shí)例2 則相反，實(shí)例2 在方程有兩個(gè)不同實(shí)根的情況下求出來(lái)的兩根大小已知，所以不用再討論。通過(guò)這兩道實(shí)例可以知道，在分情況討論的時(shí)候弄清楚討論的必要性是很重要的，不能以偏概全。3.導(dǎo)函數(shù)的根與給定區(qū)間的關(guān)系實(shí)例 3：已知函數(shù) fxx2ln x ，函數(shù) g xfxx2ax ，a0 ，若 x0,e時(shí)， g x 的最小值是 3，求實(shí)數(shù) a 的值 .（ e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）分析： 由題意可以求得 g xaxln x ，且函數(shù) g x 的定義域?yàn)?,，已知的是函數(shù) g x 在 0,e 上的最小值是 3，而函數(shù)最值的

8、討論通常是以單調(diào)性的討論為基礎(chǔ)，所以可以先考慮函數(shù)gx 在 0,e上的單調(diào)性，因此對(duì)g x 進(jìn)行求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù) g'x a 1ax1 ，因?yàn)?a0 ，所以令 g' x0 解得 x1 ，xxa則 g x ， g ' x隨 x 的變化情況如下：x0, 111 ,aaag'x_0+gx單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增這是 gx 在 0,上的單調(diào)性，而要討論其在0,e 上的單調(diào)性，這里涉及到 e跟 1 的大小，也即是 1 是在給定區(qū)間內(nèi)還是在區(qū)間外的問(wèn)題，可以知道，題目aa中并沒(méi)有條件可以讓我們確定e 跟 1的大小關(guān)系，所以這里需要分情況討論：a若 e1 即 0 a1 ，則 g

9、 x 在 0,e上單調(diào)遞減， g xming e ae 1 ，令ae精品資料_ae 13 ，解得 a4 （舍去）e若 e1 即 a 1 ，則 g x 在 0, 1 上單調(diào)遞減，在1 , e 上單調(diào)遞增，所以aeaag x ming11ln a ，令 1ln a3 ，解得 ae2 ，滿足條件 .a綜上所述，所求實(shí)數(shù)a 的值為 e2 .點(diǎn)評(píng)： 這道題實(shí)質(zhì)上就是討論函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，在這道例題中，導(dǎo)函數(shù)存在唯一的實(shí)根，所以可以確定原函數(shù)g x 在定義域 0,上的單調(diào)性，而要討論其在區(qū)間0,e 的單調(diào)性，則涉及到 e 跟 1 的大小關(guān)系，也就是確定導(dǎo)a函數(shù)等于零的點(diǎn)跟給定區(qū)間的關(guān)系 .這道題中

10、如果把 a 的范圍改為 aR ，問(wèn)題就稍微復(fù)雜一點(diǎn)， 首先得考慮導(dǎo)函數(shù) g' x a1ax1 根是否存在， 可以發(fā)現(xiàn)，xx11如果 a0 ，則不存在導(dǎo)函數(shù)等于零的點(diǎn)， 此時(shí) g 'xa0 ，函數(shù) g xxx在 0,e上單調(diào)遞減；而如果 a0 ，則導(dǎo)函數(shù)存在唯一的實(shí)根1 ，其中 a 0 又a包含了兩種情況：a0 和 a0 ，如果 a0，那么 10 ， 10,，此時(shí)a 1ax1aag ' x0 ，函數(shù) g x 在 0,e上單調(diào)遞減；至于 a0 的情況，討xx論如實(shí)例 3.分類(lèi)討論思想是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)，簡(jiǎn)化所要研究的對(duì)象，它是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是鍛煉人思維模式的方

11、法，但在分類(lèi)討論時(shí)要明確討論的對(duì)象以及按什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，做到不重復(fù)、不遺漏.導(dǎo)數(shù)中的分類(lèi)討論在歷年高考中也是經(jīng)常出現(xiàn)，主要是在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值中應(yīng)用比較多.導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中分類(lèi)討論的方法精品資料_摘要 ：近年，高考解答題對(duì)導(dǎo)數(shù)部分的考察幾乎都會(huì)涉及到對(duì)某個(gè)參數(shù)的分類(lèi)討論，而考生的在這一題中的得分率并不高。主要原因有兩個(gè)， 一是看不懂題意， 二是不會(huì)分類(lèi)討論。而分類(lèi)討論在高考中處于重要的“ 地位 ”：分類(lèi)討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，而且是高考的難點(diǎn)。每年在中高檔題甚至在低檔題中都設(shè)置分類(lèi)討論問(wèn)題，通過(guò)分類(lèi)討論考查推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。本人在幾年

12、的教學(xué)生涯中，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題作了一定的探討，并總結(jié)出了導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中解答問(wèn)題的步驟及引起分類(lèi)討論的原因。關(guān)鍵詞： 單調(diào)區(qū)間，極值，分類(lèi)，最值，取值范圍為了更好的解決導(dǎo)數(shù)中分類(lèi)討論的問(wèn)題，筆者建議按照下列步驟來(lái)解決導(dǎo)數(shù)解答題（ 1 ） 求導(dǎo) f ' ( x)（ 2 ） 令 f ' ( x) =0（ 3 ） 求出 f ' ( x) =0 的根（ 4 ） 作出導(dǎo)數(shù)的圖像或等價(jià)于導(dǎo)數(shù)的圖像（一般是二次函數(shù)或一次函數(shù)的圖像）（ 5 ） 由圖像寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，或最值規(guī)范了步驟后，在解題過(guò)程中涉及到的分類(lèi)討論一般有：方程f ' (x) =0 的類(lèi)型引起的討論、根的存在引起的

13、討論、根的大小引起的討論、畫(huà)圖像時(shí)開(kāi)口或斜率的討論、根與給定區(qū)間:或定義域的端點(diǎn)的大小的討論）下面筆者結(jié)合若干例題對(duì)上述的分類(lèi)討論方法作一一闡述例 1：若函數(shù) f ( x)ax2ln x （ a0 ），求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。x解： f ( x) a21ax 2x 2(x 0)x 2xx2令f'x =0，即：ax2x 20（注意這里方程的類(lèi)型需要討論）( )若 a0，則 x2, 作出 g( x)x 2 的圖像，由圖像可知精品資料_f ( x) 在（ 0,2）上為減函數(shù)，在（2 ， +）上為增函數(shù)若 a0，則18a0,由 ax 2x 20 ，得x1118a118a>02a<0, x

14、22a作出 ()ax2x2 的圖像，由圖像可知h xf ( x) 在 (0, x2 )上為減函數(shù)，在（x2 ,)上為增函數(shù)綜上所述： a0時(shí) ， f (x) 在（ 0,2 ）上為減函數(shù)，在（2， +）上為增函數(shù)（ ， 118a）上為減函數(shù)a 0時(shí)， f ( x)在02a在118a）上為增函數(shù)（2a，例 2： (08全國(guó)高考 )已知函數(shù) f(x) x3 ax 2 x 1， a R，討論函數(shù) f(x) 的單調(diào)區(qū)間解： f( x) 3x22ax1令 f( x)3x 22ax10（注意這里根的存在需要討論）4a212若4a 2120 ，即3a3 ，則 f ( x)在 R上為增函數(shù)若4a 2120,即

15、a3或 a3由 f ( x) 3x 22ax10 得，x1aa 23 , x2aa 2333f (x)在(,aa23 )或（aa23 ，）33上為增函數(shù)精品資料_在（aa 23- aa 23) 上為減函數(shù)3，3綜上所述：3a3時(shí)， f ( x)在 R上為增函數(shù)a3或 a3時(shí)，f (x)在 (,aa 23 )或（ aa 23 ， ）33上為增函數(shù)，在 （aa 23- aa 233，3) 上為減函數(shù)例 3.（ 2010北京） 已知函數(shù) f ( x )=In(1+x )- x + k x2( k 0) 。2求 f ( x )的單調(diào)區(qū)間。解： f( x)11kxx(kxk1)1)1 x1x( x令&#

16、39;(xx(kxk1)0kxk 1 0f，即：（這里需要對(duì)方程的類(lèi)型討論）) =0若 k=0 ，則 f(x)x1xf (x) 在（ -1,0 ）上為增函數(shù)，在（0 ， +）上為減函數(shù)若 k0,由 x(kx k1)0 得，x0或 x111（這里需要對(duì)兩個(gè)根的大小進(jìn)行討論）k若 k=1 ，則 f(x)x 21， f ( x) 在（ -1, ）上為增函數(shù)x若 0k1，則 f ( x) 在 (1,0) 或 (11,) 上為增函數(shù)1k1) 上為減函數(shù)在 (0,k1, 1若 k1，則 f ( x) 在 (1)或 (0,) 上為增函數(shù)在 ( 1k1,0)上為減函數(shù)k綜上所述：若 k=0 ，f ( x) 在

17、（ -1,0 ）上為增函數(shù)，在（ 0 ， +）上為減函數(shù)若 0 k1， f (x) 在 (1,0) 或 (11,) 上為增函數(shù)k精品資料_在 (0,11) 上為減函數(shù)k若 k=1 ， f ( x) 在（ -1, ）上為增函數(shù)若 k 1 ， f (x) 在 (1, 11)或 (0,) 上為增函數(shù)在 ( 1k1,0)上為減函數(shù)k例 4.（ 2009 北京理改編）設(shè)函數(shù)f ( x)xekx ，求函數(shù) f ( x) 的單調(diào)區(qū)間解： f( x)ekxkxekxekx (kx1)令 f( x)0 ，即 kx10（這里需要對(duì)方程kx 10的類(lèi)型討論）若，則f( x)10 ， f (x) 在上為增函數(shù)若 k0

18、則由 kx10得， x1(這里需要對(duì) ykx 1 的k斜率討論 )若 k>0 則 f ( x) 在 (,1) 上為減函數(shù)，在(1,) 上為增函數(shù)kk1 ) 上為增函數(shù)，在1 ,若 k<0 ，則 f ( x) 在 (,() 上為減函數(shù)kk綜上所述：若 k=0 ， f ( x) 在上為增函數(shù)若 k>0 則 f ( x) 在 (,1 ) 上為減函數(shù)，在(1 ,) 上為增函數(shù)k1k1若 k<0 ，則 f ( x) 在 (,上為增函數(shù)，在() 上為減函數(shù)),kk例 5 ：（海南 2011 四校聯(lián)考）f ( x) 2 ln x2x3, g ( x)p2( p 2) x3x若對(duì)任意的

19、 x1,2,f ( x)g (x)恒成立，求實(shí)數(shù) p的取值 范圍解： f ( x)的定義域?yàn)椋?0，）精品資料_設(shè)h( x)f (x)g( x)2 ln xpxp2x'( x)px 22xp2設(shè) hx 2令設(shè) h'( )0,即px22xp20 （對(duì)方程類(lèi)型的討論）x若 p=0, 則 設(shè)h' (x)2x20x2則 h( x)在 1,2上為增函數(shù) , h( x)minh(1)2,不符合要求若 p 0,由px 22x p2 0 得x1或 xp2（對(duì)兩根的大小，定義域的端點(diǎn)、給定區(qū)間的端點(diǎn)大小的討論）p若 pp21,即 p1, 則 h( x) minh(1)0 , 符合題意若 pp21,即1p0, 則 h( x) minh(1)2p2 0，不符合題意若1p20,即2p1,則 h(x)minh(1)2 p2 0 ，符合題意p若 pp20,即 p2, 則 h(x) minh(1)20 ，符合題意若0p21,即 p2,則 h(