導(dǎo)數(shù)Derivativ的概念

1、導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) derivativederivative的概念的概念00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 函數(shù)函數(shù) ( )yf x0fxd00 xxx自變量自變量 函數(shù)函數(shù) 00()()f xf xx0 xxx 000( )()()()yf xf xf xxf x 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 0000()()()limhf xhf xfxh0000( )()()limxxfxfxfxxx其它形式其它形式 例題例題 設(shè)設(shè) ，求，求 2yx2xy解解222224yxxx 4yxx0lim4xyx 所以所以 24xy如果將式中的定點(diǎn)如果將式中的定點(diǎn)x=2改為任意點(diǎn)改為任意點(diǎn)x,則有如下結(jié)果則有如下

2、結(jié)果 22000limlimlim 22xxxxxxyxxxxx 其結(jié)果表示是其結(jié)果表示是x的函數(shù)，稱(chēng)之為的函數(shù)，稱(chēng)之為導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)。 基本導(dǎo)數(shù)公式基本導(dǎo)數(shù)公式( )0c1()xx (sin )cosxx (cos )sinxx 2(tan )secxx 2(cot )cscxx (sec )sec tanxxx (csc )csc cotxxx ()lnxxaaa ()xxee 1(log)lnaxxa 1(ln)xx 21(arcsin )1xx 21(arccos )1xx 21(arctan )1xx 21(cot )1arcxx 記熟、記牢、記準(zhǔn)記熟、記牢、記準(zhǔn) 函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)

3、法則函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則()uvuv()uvu vuv2( )0uu vuvvvv （）()cucu你記住了嗎？21( )0vvvv （）特別特別2( )34sinfxxx32(2537)yxxx32(2 )(5 )(3 )(7)xxx22 35 23 0 xx 26103xx23( )424fsin2是 常 數(shù)322537yxxxy求例例1 設(shè)設(shè)解解3( )4cossin2f xxx( )()2fxf，求及例例2解解 3( )(sin )fxxx233sincosxxxx33() sin(sin )xxxx3( )sinf xxx( )fx求例例3 設(shè)設(shè)解解求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)

4、數(shù)2(1)lnc os yxxxln (2) xyx2 2lncosc oslnsin yxxxxxxxx 21l nxyx 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則( )( )( ) ( )( )( ) dydydufuxdxdudxug xxyf uug xyf g xx如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),而在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 dydydudvdxdudvdx推廣推廣 ( )( ),( ),( ),yfxyf uuvvx 對(duì)于復(fù) 合函數(shù)， 設(shè)均可導(dǎo) 則鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌tchain rule3,.uyeux 1cosxu1cossinxxcot x323xx e3()xdyedx33

5、()xex323xx e也可以不寫(xiě)出中間變量也可以不寫(xiě)出中間變量lnsin ,dyyxdx求例例6 設(shè)設(shè)3,xdyyedx求例例7 設(shè)設(shè)解解ln sinyx可 分 解 為ln,yusinux解解 因?yàn)橐驗(yàn)閐 yd yd ud xd ud x所以所以3xye可分解為可分解為d yd yd ud xd ud x所以所以代入代入lncos()xdyedx1cos()cos()xxeetan()xxee 由外及由外及里，環(huán)里，環(huán)環(huán)相扣環(huán)相扣1( sin) ()cos()xxxeee 1( sin)cos()xxxeee lncos(),xdyyedx求例例8 設(shè)設(shè)解解lnyucosuvxve求下列函數(shù)

6、的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)123(12) yx2231(1 2) ( 4 )3xx1sin()xye1sin211cos()xexx 32(1)12yx1sin(2)xye2(3)(arcsin)2xy 2(4)1lnyx2112arcsin221( )2xyx 2112ln2 1lnyxxx 332() 3(3 )(3 )xxxxxy 232333 ln3(3 )xxxxx233ln33xxx2212112 1xyxxx 211x2221111xxxxx3,3xxyy求例例92ln(1),yxxy求例例10解解解解求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)21(1)(arcsin1)2yxxx222112

7、(1)212 1xyxxxx 21x高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 33( )( )d yfxyfxdx(1)( )( )( )( )nnnnnd yfxyfxdx =導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)函數(shù) ( )yf x( )( )dyf xyfxdx22( )( )d yfxyfxdx一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù) 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù) n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 21(1)(arcsin1)2yxxx222112(1)212 1xyxxxx 21x解解 22112 1yxx 222 1xx21xx 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( , )0( )f x yxyyy x 由方程確定的變

8、量與變 量之間的函數(shù)關(guān)系，稱(chēng)為隱函數(shù)。0ydexyedx0ydydyeyxdxdx隱函數(shù)的求導(dǎo)方法隱函數(shù)的求導(dǎo)方法將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)。求導(dǎo)。將方程兩邊同時(shí)對(duì)將方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得：解解ydyydxx e(0)yx e所以所以注意：注意：y是是x的函數(shù)，的函數(shù)，則則y的函數(shù)的函數(shù)f(y)視為視為x的復(fù)合函數(shù)。的復(fù)合函數(shù)。()yyddyeedxdxdydx例例12求由方程求由方程 確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 0yexye解解 將方程兩邊同時(shí)對(duì)將方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得：46521210dydyyxdxdx 6412152dy

9、xdxy因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) x = 0時(shí)，從原方程可以解得時(shí)，從原方程可以解得 y = 0 012xdydx所以所以57230yyxx 例例 求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)=xdydx0( )yy x解解 將方程兩邊同時(shí)對(duì)將方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得：11cos02dydyydxdx22cosdydxy注意：注意：y是是x的函數(shù)，的函數(shù)，siny則是則是x的復(fù)合函數(shù)。的復(fù)合函數(shù)。 1sin02xyy 例例 求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)( )yy x冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得lnsinlnyxx將方

10、程兩邊同時(shí)對(duì)將方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)（求導(dǎo)（注意注意 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)）得：）得：11coslnsinyxxxyx 1(coslnsin)yyxxxx sin1(coslnsin)xxxxxx解法解法2解法解法1sinsin ln()()xxxyxesin ln(sinln )xxexx sinsin(cosln)xxxxxx轉(zhuǎn)化為初等轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)，直接函數(shù)，直接求導(dǎo)法求導(dǎo)法轉(zhuǎn)化為隱函轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)，對(duì)數(shù)求數(shù)，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法導(dǎo)法sin0,1xyxxxy求的導(dǎo)數(shù)例例14一般地，冪指函數(shù)一般地，冪指函數(shù) 的求導(dǎo)，可有兩種方法，的求導(dǎo)，可有兩種方法，都可得到一般公式：都可得到一般公式：( )

11、( )v xyu x( )( )( ) ln( )v xyu xv xu x 如如sinsinsinlnxxxxxxsin1coslnsinxxxxxx練習(xí)練習(xí) 設(shè)設(shè) 33333 ,.xxyxxy求 3233 ln33lnxxxyxxx 32333 ln33 ln3 lnxxxxxxxx解答解答對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法1lnln(1)ln(2)ln(3)3yxxx兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)（求導(dǎo)（注意注意 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)）得：）得：11111()3123yyxxx 31(1)(2)111()33123xxyxxxx 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法常用于冪指函數(shù)和以乘、除、乘方、開(kāi)方

12、運(yùn)算對(duì)數(shù)求導(dǎo)法常用于冪指函數(shù)和以乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算為主的函數(shù)的求導(dǎo)。為主的函數(shù)的求導(dǎo)。3(1)(2),3xxyyx設(shè)求例例15解解tan xyxy ( 1 ) 求的 導(dǎo) 數(shù)tantan ln()()xxxyxe解解tan2tan(secln)xxxxxx由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( )( )xtdyytdx由 參 數(shù) 方 程確 定 的 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)( )( )dytdydtdxtdxdt22()dydd ydtdxdxdtdx()ddydtdxdxdt注意一階導(dǎo)注意一階導(dǎo)數(shù)也是數(shù)也是 t t 的函數(shù)的函數(shù)求由擺線(xiàn)的參數(shù)方程求由擺線(xiàn)的參數(shù)方程所確定的函數(shù)的

13、一階導(dǎo)數(shù)。所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。 (sin )(1 cos )xa ttyatttxydydxsin(1cos )atatsin(1cos )ttcot2t解解例例1622231 , xtd ydxytt 設(shè)求解解 ttxydydx221322ttd ytdxx221322tt31344tt 2123tt1322tt 22( )( )( )( )xftytftf td yftdx求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) （設(shè)存在且不為零）.ttxydydx( )( )( )( )tftftftft22()tddyd ydtxdxdxt1( )ft解解單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù) 0000()()()limhf

14、xhf xfxh 0000()()()limhf xhf xfxh 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù) 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)處可導(dǎo) 左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，并且相等。左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，并且相等。000( )()limxxf xf xxx000( )()limxxf xf xxx0( )(0)(0)lim0 xf xffx0sinsin0lim0 xxx0sinlim1xxx0tan0lim0 xxx0tanlim1xxxsin(0)2( ),(0).tan( 0)2xxf xfxx求 例例5 已知已知0( )(0)(0)lim0 xf xffx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?0)(0)1ff所以所以(0)1f

15、 ，從而，從而導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義mxyo0 x( )yf xt0tan()mtkfx法線(xiàn)是過(guò)切點(diǎn)法線(xiàn)是過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的直線(xiàn)00( )(,()yf xm xf x曲線(xiàn)在點(diǎn)處000( )()yyf xxx的切線(xiàn)方程為的切線(xiàn)方程為0001()()yyxxfx 法線(xiàn)方程為法線(xiàn)方程為0()0)fx解解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線(xiàn)的斜率為根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線(xiàn)的斜率為11122214xxkyx 所以，所求切線(xiàn)方程為所以，所求切線(xiàn)方程為124()2yx 所求法線(xiàn)的斜率為所求法線(xiàn)的斜率為21114kk 所求法線(xiàn)方程為所求法線(xiàn)方程為112()42yx例例6 6 求雙曲線(xiàn)求

16、雙曲線(xiàn) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程。處的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程。1yx1,22440 xy即即28150 xy即即例例 曲線(xiàn)曲線(xiàn) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn) 2yx114yx11,8 64例例 曲線(xiàn)曲線(xiàn) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn) 2yx114yx例例 曲線(xiàn)曲線(xiàn) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的法線(xiàn)垂直于直線(xiàn)處的法線(xiàn)垂直于直線(xiàn) 2yx41yx2,42,4函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)可導(dǎo) 連續(xù)連續(xù) 連續(xù)是可導(dǎo)的必要非充分條件連續(xù)是可導(dǎo)的必要非充分條件 001lim( )limsin0 xxf xxx(0)0f故函數(shù)在點(diǎn)故函數(shù)在點(diǎn) x=0 處連續(xù)

17、處連續(xù)00( )(0)1(0)limlimsin0 xxf xffxx故函數(shù)故函數(shù) f (x)= |x| 在點(diǎn)在點(diǎn) x=0 不可導(dǎo)不可導(dǎo)解解 函數(shù)函數(shù) f (x) 在某點(diǎn)連續(xù)，卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。在某點(diǎn)連續(xù)，卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。例例7 討論函數(shù)討論函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的連續(xù)性和可導(dǎo)性。的連續(xù)性和可導(dǎo)性。1sin (0)( ) 0 (0)xxf xxx0 x 不存在不存在 例例8 設(shè)設(shè) 2 (2)( ) (2)xxf xaxbx在在 2x 點(diǎn)可導(dǎo)，求常數(shù)點(diǎn)可導(dǎo)，求常數(shù) , a b的值。的值。 解解 因?yàn)楹瘮?shù)在因?yàn)楹瘮?shù)在x=2點(diǎn)可導(dǎo)，所以函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。點(diǎn)可導(dǎo)，所以函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。 所以有所以有 22

18、lim( )lim( )(2)xxf xf xf又又 222( )(2)4(2)limlim422xxf xfxfxx即有即有 42ab（1） 22( )(2)4(2)limlim22xxf xfaxbfxx2(2)24lim2xa xabax所以所以 4a 代入（代入（1）式得）式得 4b 所以所以 4,a 4b 即為所求。即為所求。 又又 222( )(2)4(2)limlim422xxf xfxfxx函數(shù)的微分函數(shù)的微分 結(jié)論：結(jié)論：可導(dǎo)可導(dǎo) 可微，可微，且且 0()dyfxx一般形式一般形式( )d xx ( )dyfx dx導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式 微分公式微分公式 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng) 復(fù)合函

19、數(shù)的微分法則和微分形式不變性復(fù)合函數(shù)的微分法則和微分形式不變性( )( ) ( )( )( )xyf uug xyf g xdyy dxfu g x dx 設(shè)及都可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)的微分為( )gx dxdu因?yàn)椋? )dyf u du( )udyfu du 無(wú)論是自變所以，微分公式都成立, 這一性質(zhì)稱(chēng)為量還是中間變微分形 量 式不變性.sin(21),yxdy求21ux( )dyf u ducosuducos(21(21xdx）cos(21 2xdx）2cos(21)xdx例例1解解2221()1xxe d xe2ln(1),xyedy求例例2解解221(1)1xxdydee2221xx

20、xedxe1 3cos ,xyexdy求1 3(cos )xdyd ex1 31 3cos()(cos )xxxd eedx1 31 3(cos )(1 3 )( sin)xxx edxexdx例例3解解1 33cossinxexx dx dy例例4求由方程求由方程 確定的隱函數(shù)的微分確定的隱函數(shù)的微分 0yexye解解 兩邊同時(shí)微分，得兩邊同時(shí)微分，得 0ye dyydxxdyyex dyydx yydydxex 即即 所以，所求微分為所以，所求微分為 羅爾定理羅爾定理 rolle theoremrolle theorem(2) 在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間( , )a b內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)； 則在則在(

21、, )a b內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，使 ( )0f , a b(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù)( )( ),f af b(3) c若函數(shù)若函數(shù)( )fx滿(mǎn)足：滿(mǎn)足：羅爾定理的幾何意義羅爾定理的幾何意義 連續(xù)曲線(xiàn)連續(xù)曲線(xiàn) y = f (x)的弧的弧ab除端點(diǎn)外處處具有不垂直除端點(diǎn)外處處具有不垂直x軸的切軸的切線(xiàn)，且兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，則曲線(xiàn)弧上線(xiàn)，且兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，則曲線(xiàn)弧上至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)c，使得使得曲線(xiàn)曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)是水平的在該點(diǎn)處的切線(xiàn)是水平的.abxyab( )( )f af b例例1 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上滿(mǎn)足羅爾上滿(mǎn)足羅爾定理，并求出定

22、理中的定理，并求出定理中的 值。值。2( )23f xxx 1,1.5解解 因?yàn)楹瘮?shù)在因?yàn)楹瘮?shù)在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 1,1.5( 1,1.5)( 1)0 , (1.5)0ff所以，函數(shù)在所以，函數(shù)在 上滿(mǎn)足上滿(mǎn)足羅爾定理羅爾定理 1,1.5而而( )41fxx令令( )0fx得得14x 所以，所以， 即為所求的點(diǎn)。即為所求的點(diǎn)。14拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 lagrange theoremlagrange theorem若函數(shù)若函數(shù)( )f x滿(mǎn)足：滿(mǎn)足： (2) 在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間( , )a b內(nèi)內(nèi)可導(dǎo)可導(dǎo)； 則在則在( , )a b內(nèi)內(nèi)至少存在一點(diǎn)至少存在

23、一點(diǎn)，使，使 ( )( )( )f bf afba , a b (1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間上上連續(xù)連續(xù)； cxyabab幾何意義幾何意義: 連續(xù)曲線(xiàn)連續(xù)曲線(xiàn) y = f (x)的弧的弧ab除端點(diǎn)外處處有不垂直除端點(diǎn)外處處有不垂直x軸的切軸的切線(xiàn)，則弧上至少線(xiàn)，則弧上至少至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) ，使得曲線(xiàn)在點(diǎn)，使得曲線(xiàn)在點(diǎn) 處的處的切線(xiàn)切線(xiàn)平平行弦行弦ab。推論：推論：如果函數(shù)如果函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間i上的導(dǎo)數(shù)上的導(dǎo)數(shù)恒為零恒為零，那末，那末 f (x) 在在區(qū)間區(qū)間i上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)例例 證明證明arctancot, , 2xarcxx 證明證明 令令( )arctancotf

24、 xxarcx則則 在在 內(nèi)滿(mǎn)足內(nèi)滿(mǎn)足lagrange中值定理中值定理( )f x, 而而2211( )0, ,11fxxxx 所以所以( ) f xc（常數(shù)）而而(1)arctan1cot12farc所以所以( )arctancot, ,2f xxarcxx ( )20 2f xxx求函數(shù)在 ，上滿(mǎn)足羅爾定理的 。由由lagrangelagrange中值定理可知中值定理可知(1)(0)( )1 ln21 0fff ( ) , ( )( )( ),f xa bf bf afbaa b求在上滿(mǎn)足拉格朗日定理中的 ， 就是求在（）內(nèi)的根。434( ),( )032 2xfxfxxx令得( )ln(

25、1)01f xxx求函數(shù)在 ，上滿(mǎn)足lagrange中值定理的 值。例例2解解1( )11fxx 因?yàn)橐驗(yàn)?( )11f 所以所以111 ln21 即即11ln2所以所以 即為所求。即為所求。練習(xí)練習(xí)解答解答構(gòu)造有關(guān)的函數(shù)構(gòu)造有關(guān)的函數(shù)0, ( ) 0 xf xxlagrange 則在區(qū)間 ，上滿(mǎn)足中值定理?xiàng)l件確定應(yīng)用區(qū)間確定應(yīng)用區(qū)間應(yīng)用應(yīng)用lagrange定理定理計(jì)算導(dǎo)數(shù)后的等式計(jì)算導(dǎo)數(shù)后的等式轉(zhuǎn)化為不等式轉(zhuǎn)化為不等式0ln(1) 1xxxxx證明：當(dāng)時(shí), 成立。例例3( )ln(1)f xx令解解( )(0)( ) (0) (0)f xffxx所以所以ln(1)1xx (0)x即即ln(1

26、)(0)1xxxxx 所以所以解題思路：解題思路：洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 ( )( )limlim( )( )f xfxg xg x00或 若若 屬屬 類(lèi)型的極限問(wèn)題，則可考慮用洛類(lèi)型的極限問(wèn)題，則可考慮用洛必達(dá)法則，如果必達(dá)法則，如果 存在或?yàn)榇嬖诨驗(yàn)?，則，則( )( )f xg x( )lim( )fxg x 注意：法則只能解決注意：法則只能解決 存在時(shí)，未定式存在時(shí)，未定式 的定值問(wèn)題。的定值問(wèn)題。即如果即如果 不存在不存在，也不是也不是 ，則則法則失效法則失效。( )lim( )fxg x( )lim( )fxg x00，例例1 1 求下列極限求下列極限01(1)limxxex21ln

27、(2)lim1xxx01ln 1(3) limcotxxx00型型型型00型型解解 原式原式0lim1xxe111lim21xxx 解解 原式原式解解 原式原式220111 1limcscxxxx 220sinlim1xxxxx011lim21xx x20sinlimsinxxxxx例例2 2 求極限求極限00解解 這是這是 型的未定式，且當(dāng)型的未定式，且當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 x sinxx所以，原式所以，原式30sinlimxxxx201 coslim3xxx0sinlim6xxx16適當(dāng)使用等價(jià)無(wú)窮適當(dāng)使用等價(jià)無(wú)窮小替換，再使用洛小替換，再使用洛必達(dá)法則，可簡(jiǎn)化必達(dá)法則，可簡(jiǎn)化極限運(yùn)算。極限運(yùn)算

28、。30tanlimsinxxxx30tanlimxxxx2201 seclim3xxx13 練習(xí)練習(xí)（1 1）形如）形如 的未定式的未定式0其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值000,0 ,1 , 解題方法：解題方法：將未定式變形將未定式變形1000001 例例3 3 求極限求極限1lim 1tan2xxx解解 原式原式11limcot2xxx211limcsc22xx212lim sin2xx2（2 2）形如）形如 的未定式的未定式其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值解題方法解題方法：將未定式變形：將未定式變形110000 通分合并例例4 4 求極限求極限111limln1x

29、xx解解 原式原式11 lnlimln1xxxx x 111lim1lnxxxxx11limln1xxxxx11lim1 ln1xx12（3 3）形如）形如 的未定式的未定式000 ,1 ,其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值 解題方法解題方法：將未定式先取自然對(duì)數(shù)、變形，：將未定式先取自然對(duì)數(shù)、變形，再按情形（再按情形（1）處理）處理0000 ln01ln100 ln 取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù)100001 例例5 5 求極限求極限sin0limxxx解解 令令sinxyx則則lnsinlnyxx0lnlimcscxxx01limcsccotxxxx20sinlimcosxxxx0所以所以s

30、in00lim1xxxe00lim lnlim sin lnxxyxx而而00例例6 6 求極限求極限10lim (0,0)2xxxxabab解解 令令12xxxaby則則1lnln2xxabyx而而00ln2limlnlimxxxxabyx0lnln2limxxxabx0lnlnlimxxxxxaabbabln()ln2abab1ln0lim2xxxabxabeab所以所以1解解 令令例例7 7 求極限求極限sin01limxxxsin1xyx則則1lnsinlnsinlnyxxxx 01limcsccotxxxx20sinlimcosxxxx0sinsinlim0cosxxxxx00lnl

31、imlnlimcscxxxyx所以所以sin001lim1xxex所以所以0求下列極限求下列極限210sin(1)limxxxx122012(2)limln 1xxexx1(3)lim1lnxxxxxx2116e（提示：利用等價(jià)無(wú)窮小替換）（提示：利用等價(jià)無(wú)窮小替換）cot(4) lim1sinxarcxx1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 yxo( )yf xabyo( )yf xabx函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)單調(diào)遞減，則1212()()0f xf xxx1212()()0f xf xxx由由lagrange中值定理：中值定理：121212()()( ) f xf xfx

32、xxx介于 與 之間于是有函數(shù)單調(diào)性的判別定理于是有函數(shù)單調(diào)性的判別定理函數(shù)單調(diào)性的判別定理函數(shù)單調(diào)性的判別定理（1） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在在 內(nèi)有內(nèi)有 ，則函數(shù)在，則函數(shù)在 上是單調(diào)遞增的。上是單調(diào)遞增的。( )f x( , )a b( )0fx , a b（2） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在在 內(nèi)有內(nèi)有 ，則函數(shù)在，則函數(shù)在 上是單調(diào)遞減的。上是單調(diào)遞減的。( )f x( , )a b( )0fx , a b例例1 判別函數(shù)判別函數(shù) 的單調(diào)性。的單調(diào)性。arctanyx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?10, (,)1yxx 所以，函數(shù)在所以，函數(shù)在 內(nèi)是單調(diào)遞增的。內(nèi)是單調(diào)遞增的。(,) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上連

33、續(xù)，在上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)可導(dǎo)，則( )f x , a b( , )a b例例2 求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間3226187yxxx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?61218631yxxxx 令令0y 得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)121 3xorx 列表討論列表討論+0_0+3-1xyy, 1 1,33, 所以，函數(shù)在所以，函數(shù)在 及及 內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)增加，在 內(nèi)單調(diào)減少。內(nèi)單調(diào)減少。, 1 3,1,3例例3 求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間32yx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?332233yxx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 不存在不存在0 x y當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 x 0y0 x 0y 所以，函數(shù)在所以，函數(shù)在

34、內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)增加，在 內(nèi)單調(diào)減少。內(nèi)單調(diào)減少。,00, 小結(jié)：駐點(diǎn)（使一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）或一階導(dǎo)數(shù)不存在小結(jié)：駐點(diǎn)（使一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)可將單調(diào)區(qū)間分開(kāi)。的點(diǎn)可將單調(diào)區(qū)間分開(kāi)。小結(jié)：小結(jié)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；（2）找出所有的）找出所有的駐點(diǎn)駐點(diǎn)及及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3）將上述點(diǎn)插入到定義域，分區(qū)間確定一階導(dǎo)）將上述點(diǎn)插入到定義域，分區(qū)間確定一階導(dǎo) 數(shù)的符號(hào)；數(shù)的符號(hào)；（4）根據(jù)單調(diào)性的判別定理，確定單調(diào)區(qū)間。）根據(jù)單調(diào)性的判別定理，確定單調(diào)區(qū)間。例例4 證明不等式證

35、明不等式1 (0)xexx 證明證明 令令( )1xf xex 則則( )1xfxe0( )0,xfx當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在 0,+內(nèi)單調(diào)增加0( )0,xfx當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在 - ,0 內(nèi)單調(diào)遞減0,( )(0)0 xf xf 所以，有0 ,( )(0)0 xf xf 所以， 有 1xex 即 1xex 即所以，當(dāng)所以，當(dāng) 時(shí)，不等式時(shí)，不等式 成立。成立。1xex 0 x 函數(shù)的極值函數(shù)的極值極值的概念極值的概念：如果函數(shù)：如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)任意該鄰域內(nèi)任意異于異于 點(diǎn)的點(diǎn)的 ，都有，都有 ，則稱(chēng)，則稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)為函數(shù)的一個(gè)極小值極小值；如果有

36、；如果有 ，則稱(chēng)，則稱(chēng) 為函數(shù)為函數(shù)的一個(gè)的一個(gè)極大值極大值。極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的。極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值極值。使函數(shù)取。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的得極值的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn)極值點(diǎn)。( )f x0 xx0( )()f xf x0( )()f xf x0 x0()f x0()f x 由于函數(shù)在不同的區(qū)間的單調(diào)性不同，由于函數(shù)在不同的區(qū)間的單調(diào)性不同，因而在圖象上會(huì)出現(xiàn)因而在圖象上會(huì)出現(xiàn)“峰峰”與與“谷谷”，使函數(shù)，使函數(shù)值在局部范圍內(nèi)出現(xiàn)值在局部范圍內(nèi)出現(xiàn)“最大最大”、“最小最小”，稱(chēng)，稱(chēng)之為函數(shù)的極大、極小值。之為函數(shù)的極大、極小值。3226187yxxx例如例如-13 函數(shù)的

37、極值是一個(gè)局部特性，最值是全局特性函數(shù)的極值是一個(gè)局部特性，最值是全局特性（1）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可能既無(wú)極大值，也無(wú)極小值；）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可能既無(wú)極大值，也無(wú)極小值； 如函數(shù)如函數(shù)y=x 在區(qū)間在區(qū)間 1，2 內(nèi)既無(wú)極大值，也無(wú)極小值。內(nèi)既無(wú)極大值，也無(wú)極小值。（2）可以缺少其一；）可以缺少其一； 如如 y=x2 在區(qū)間在區(qū)間 -1，2 內(nèi)，只有極小值。內(nèi)，只有極小值。（3）極小值可以大于極大值極小值可以大于極大值，如某種股票的交易價(jià)格函數(shù)；，如某種股票的交易價(jià)格函數(shù)；（4）極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得。）極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得。函數(shù)的極值說(shuō)明函數(shù)的極值說(shuō)明極值存在的必要條件（費(fèi)馬定理）極值存在

38、的必要條件（費(fèi)馬定理） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn) 處有極值，處有極值，則則( )yf x0 x0 x0()0.fxabcdexy導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)。函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)取得極值時(shí)，則在該點(diǎn)的切線(xiàn)平行于函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)取得極值時(shí)，則在該點(diǎn)的切線(xiàn)平行于x軸。軸。,a b d 是極值點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為零e 是極值點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)不存在c 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，但不是極值點(diǎn)函數(shù)的極值點(diǎn)是駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。費(fèi)馬定理的逆定理不成立。極值存在的第一充分條件極值存在的第一充分條件設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點(diǎn) 可除外）可除外）( )yf x

39、0 x0 x00,xxx00,xx x( )0fx則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 處取得處取得極大值極大值；( )yf x0 x( )0fx1（ ）( )0fx00,xxx( )0fx00,xx x則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 處取得處取得極小值極小值；( )yf x0 x2（ ）00,xxx00,xx x( )fx同號(hào)則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處無(wú)極值無(wú)極值；( )yf x0 x3（ ）0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值3226187yxxx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?61218631yxxxx 令令0y 得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)121 3xorx 列表討論列表討論+極小值極大值0_0+

40、3-1xyy, 1 1,33,所以，函數(shù)有極大值所以，函數(shù)有極大值 ，有極小值，有極小值 。( 1)3f (3)61f 一階導(dǎo)數(shù)由正到負(fù)，函數(shù)過(guò)極大值；一階導(dǎo)數(shù)由負(fù)到正，一階導(dǎo)數(shù)由正到負(fù)，函數(shù)過(guò)極大值；一階導(dǎo)數(shù)由負(fù)到正，函數(shù)過(guò)極小值。函數(shù)過(guò)極小值。例例2 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值32yx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?332233yxx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 不存在不存在0 x y當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 x 0y0 x 0y 小結(jié)：駐點(diǎn)或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)小結(jié)：駐點(diǎn)或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，可能可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，必須必須按第一充分條件進(jìn)行按第一充分條件進(jìn)行判別判別。所以，函數(shù)有極小值所

41、以，函數(shù)有極小值 。(0)0f例例3 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值3yx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?30 , yxxr 所以，函數(shù)無(wú)極值。（雖然有所以，函數(shù)無(wú)極值。（雖然有 ）(0)0f x)(xf )(xf極小值極小值-1/2-1/2極大值極大值0 0+ +0 0_ _不存在不存在+ +(1,+)(1,+)1 1(0,1)(0,1)0 0(-,0)(-,0)單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為(-,0)(-,0)和和(1,+)(1,+)單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為(0,1)(0,1)f (0)=0為極大值；為極大值；f (1)=-1/2 為極小值為極小值 323( )2yf xxx求的單調(diào)區(qū)間和極值(,) 函數(shù)定義域?yàn)?

42、33111)(xxxxf( )0fx令x得駐點(diǎn) =1；0 x 時(shí)，( )fx不存在xyo112練習(xí)練習(xí)解解極值存在的第二充分條件極值存在的第二充分條件000()0),(0( ),fxfxyf xx 設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 處具有二階導(dǎo)數(shù)，且則001 ()0 () ( ) fxf xf x（）當(dāng)時(shí)，為的極小值；002 ()0 () ( ) fxf xf x（ ）當(dāng)時(shí)，為的極大值；0 x0 x0 xxy( )0fx( )0fx( )0fx0 ()0fx( )fx是增函數(shù)0 ()0fx0 x0 x0 xxy( )0fx( )0fx( )fx是減函數(shù)例例4 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值3226187yxxx解解 因

43、為因?yàn)?61218631yxxxx 1212yx 所以，函數(shù)有駐點(diǎn)所以，函數(shù)有駐點(diǎn)121 3xorx 而而所以所以( 1)240,(3)240yy 所以，函數(shù)有極大值所以，函數(shù)有極大值 ，有極小值，有極小值 。( 1)3f (3)61f 注意：當(dāng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)較易求，且二階導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，注意：當(dāng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)較易求，且二階導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，使用第二充分條件判別極值較易；使用第二充分條件判別極值較易；而二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，必而二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，必須用第一充分條件判別。須用第一充分條件判別。函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值由極小值的特性，可知：由極小值的特性，可知：極小值極小值 最小值；極大值最小值；極大值 最大值最大值 已有結(jié)論：如果函數(shù)在已有結(jié)論：如果函數(shù)在 a,b上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。一定有最大值和最小值。求函數(shù)最值的一般步驟與方法求函數(shù)最值的一般步驟與方法（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存）在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存 在的點(diǎn)；在的點(diǎn)；（3）計(jì)算函數(shù)在上述點(diǎn)處的函數(shù)值，以及在端點(diǎn)處的函數(shù)值，并）計(jì)算函數(shù)