二元一次方程講義

1、精品資料歡迎下載二元一次方程組一、知識要點梳理知識點一：二元一次方程的概念含有兩個未知數(shù)(一般設為x、y)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程如 xy 24，都是二元一次方程 .要點詮釋：(1)在方程中“元”是指未知數(shù)， “二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).(2)“未知數(shù)的次數(shù)為 1”是指含有未知數(shù)的項(單項式 )的次數(shù)是1. 如 xy 的次數(shù)是2，所以方程6xy 9 0不是二元一次方程 .(3) 二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 如方程的左邊不是整式，所以它就不是二元一次方程.(4) 判斷某個方程是不是二元一次方程，一般先把它化為ax by c 0 的形式

2、，再根據(jù)定義判斷，例如： 2x 4y 32x 不是二元一次方程，因為通過移項，原方程變?yōu)?y 3，不符合二元一次方程的形式。知識點二：二元一次方程的解能使二元一次方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。由于使二元一 次方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值不只一個，故每個二元一次方程都有無數(shù)組解。如，都是二元一次方程x y 3 的解，我們把有無數(shù)組解的這樣的方程又稱之為不定方程。要點詮釋：(1) 使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，即二元一次方程的解都要用“ ”聯(lián)立起來，如,是二元一次方程xy 2 的解 ( 二元一次方程的解是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值) 。(2)在二元一次

3、方程的無數(shù)個解中，每個解的一對數(shù)值是相互聯(lián)系、一一對應的。即其中一個確定后，另一個也隨之確定并且唯一。知識點三：二元一次方程組的概念把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.精品資料歡迎下載例如，都是二元一次方程組.要點詮釋：如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，這樣的方程組也是二元一次方程組。例如，也是二元一次方程組.知識點四：二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點詮釋：(1) 方程組的解是一對數(shù)值，即，而不能表示成x9,y 4.(2) 一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的

4、解有無數(shù)個.(3)檢驗一組數(shù)是否是二元一次方程組的解時，一定要將這一組數(shù)代入方程組中的每一個方程，看是否滿足每一個方程，只有這組數(shù)是方程組中的所有方程的公共解時，該組數(shù)才是原方程組的解，否則不是。知識點五：二元一次方程組的解法消元法： 所謂 “消元”就是減少未知數(shù)的個數(shù)，使多元方程最終轉化為一元方程再解出未知數(shù)。即將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的消元思想。消元法分代入消元法和加減消元法。（一）代入消元法1代入消元法是解方程組的兩種基本方法之一。是把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來， 再代入另一個方程， 實現(xiàn)消元， 進而求得這個二元一次方程組的解 ,這種解法叫

5、做代入消元法，簡稱代入法。2用代入法解二元一次方程組的一般步驟：(1)從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示這個方程中的另一個未知數(shù) ;(2) 將變形后的這個關系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；(3) 解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；(4) 將求得的這個未知數(shù)的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數(shù)的值；(5) 把求得的兩個未知數(shù)的值用符號“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式.精品資料歡迎下載要點詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；(2) 變形后的方程不能再

6、代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；（二）加減消元法1加減消元法是解二元一次方程組的基本方法之一，加減消元法是通過將兩個方程相加( 或相減 )消去一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉化為一元一次方程來解 ,這種解法叫做加減消元法，簡稱加減法。2用加減法解二元一次方程組的一般步驟：(1)方程組中的兩個方程，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相反又不相等，就可用適當?shù)臄?shù)去乘一個方程或兩個方程的兩邊，使兩個方程中的某一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等；(2) 把兩個方程的兩邊分別相加減 (相同時相減，相反時相加 )，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；(3) 解這個一元一次方程，求得其中一個未知數(shù)的值；(4)把

7、所求得的這個未知數(shù)的值代入到原方程組中系數(shù)比較簡單的一個方程，求出另一個未知數(shù)的值；(4)(5) 把求得的兩個未知數(shù)的值用符號“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式。要點詮釋：一般地，加減消元法的選擇方法是：(1) 選擇系數(shù)絕對值較小的未知數(shù)消元；(2) 某一未知數(shù)絕對值相等，如果符號不同，用加法消元，如果符號相同，用減法消元；(3)某一未知數(shù)系數(shù)成倍數(shù)關系時，直接對其中一個方程變形，使其系數(shù)絕對值相等，再運用加減法消元；(4)當相同的未知數(shù)的系數(shù)都不相等時，找出某一個未知數(shù)的最小公倍數(shù)，同時對兩個方程進行變形，轉化為絕對值相同的系數(shù)，再用加減法來解。（選學）知識點六：三元一次方程組（一）定義：方程

8、組含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程， 這樣的方程組叫做三元一次方程組。要點詮釋：方程組包括三個方程，但是不一定每個方程都有三個未知數(shù)。如精品資料歡迎下載（二）解法：解三元一次方程組的的關鍵仍然是消元，通過消元， 把三元一次方程組轉化為二元一次方程組，進而轉化為一元一次方程組求解。要點詮釋：解三元一次方程組時，要仔細觀察方程組中三個一次方程系數(shù)的特點，確定先消哪個元，然后選擇用代入消元法還是加減消元法。二、規(guī)律方法指導1二元一次方程的整數(shù)解的求法：一般情況下， 一個二元一次方程都有無數(shù)個整數(shù)解，解這類問題時， 先用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，

9、然后根據(jù)條件逐一求出相應的解.2判斷二元一次方程組的方法：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起就組成一個二元一次方程組，判斷一個方程是不是二元一次方程組，就看它是否滿足以下兩個條件：(1)看整個方程組里含有的未知數(shù)是不是兩個；(2)看含未知數(shù)的項的次數(shù)是不是1.3檢驗一對數(shù)是不是某個二元一次方程組的解，常用的方法是：將這對數(shù)值分別代入方程組中的每個方程，只有當這對數(shù)值滿足其中的所有方程時，才能說這對數(shù) 值是此方程組的解；否則，如果這對數(shù)值不滿足其中的任何一個方程，那么它就不是此方程組的解 .4運用代入法、加減法解二元一次方程組要注意的問題：(1) 當方程組中含有一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)

10、的代數(shù)式時，用代入法比較簡單；(2) 若方程組中一個未知數(shù)的系數(shù)為 1(或 1) 時，選擇這個方程進行變形，用代入法比較簡便；(3) 當方程組中的兩個方程有某個未知數(shù)的系數(shù)相同或相反時，進行加減消元比較方便；(4) 若兩個方程中，同一個未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關系，利用等式性質(zhì)，可以轉化成(3) 的類型，選擇加減消元法比較簡便；(5) 若兩個方程中，同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值都不相等，那么，應選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù) )，求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值相等(都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元；(6) 對于比較復雜的二元一次方程組，應先化簡(

11、去分母、去括號、合并同類項等). 通常要把每個方程整理成含未知數(shù)的項在方程的左邊，常數(shù)項在方程的右邊的形式，再作加減消元的考慮 .二元一次方程組例題一、填空題1已知 (k 2)xk 12y 1，則 k_時，它是二元一次方程；k _時，它是一元一次精品資料歡迎下載方程2若 x2 (3y 2x)2 0，則 x 的值是 _y3二元一次方程 4xy 10 共有 _組非負整數(shù)解4已知x2, 是二元一次方程mx ny 2 的一個解，則2m n6 的值等于 _y15用加減消元法解方程組3a2b6, 時，把× 3× 2，得 _5a3b26已知二元一次方程組2x + y = 7,那么 x y

12、 _ ，x y _x+ 2 y = 8 7若 2x 5y 0，且 x0，則 6x5y 的值是 _6x5y8.如果x2 是方程組axby7 的解 ,則 a與 c 的關系是 ()y1bxcy59.關于、y的方程組xy5k 的解也是二元一次方程2x3y 6的解 ,則k的值xxy9k是.10. 若已知方程a21 x2a1 xa5 ya 3 ,則當 a =時 ,方程為一元一次方程 ; 當 a =時 ,方程為二元一次方程 .二、選擇題1已知二元一次方程x y 1，下列說法不正確的是 ()(A) 它有無數(shù)多組解(B) 它有無數(shù)多組整數(shù)解(C) 它只有一組非負整數(shù)解(D) 它沒有正整數(shù)解2若二元一次方程組mx

13、y1,的解中， y 0，則 m n 等于 ()3nxy40(A)3 4(B) 3 4(C) 1 4(D) 1 123已知 x3t 1， y 2t 1，用含 x 的式子表示 y，其結果是 ()(A) yx1(B) xy12 x 5(D) y2x 132(C) y334如圖，將正方形ABCD 的一角折疊，折痕為AE， BAD 比 BAE 大 48°設 BAE 和BAD 的度數(shù)分別為x， y，那么 x， y 所適合的方程組是 ()(A)yx48,(B)yx48,(C)yx48,xy48,yx90.y2x.y2x90.(D)2x90.y5. 已知代數(shù)式1 xa1 y3 與3x b y2ab

14、是同類項，那么a、b 的值分別是（）2A.a2B.a2C.a2b1b1b1精品資料歡迎下載6關于 x，y 的方程組3ax2by0, 的解為x1,則 a， b 的值分別為 () 5ax3by19y1.(A)2 和 3(B)2 和 3(C)2 和 3(D)2 和 37與方程組x2 y3 0, 有完全相同的解的是()2 xy0(A) x 2y 3 0(B)2 x y 0(C) (x 2y 3)(2 x y) 0(D) x 2y 3 (2xy)2 08若方程組2 xmy4, 的解為正整數(shù)，則m 的值為 ()(A)2(B)4 (C)6(D) 4x4 y8三、解答題a bc25,4x3 y7,的解中，1.已知求 b 的值2如果關于 x，y 的方程組1 x2a3b2c 15. kyk 32x 與 y 互為