函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)(4)課件

1、14.2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)一、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)一、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)1. Taylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)則有TaylorMaclaurinTaylor( )f x( )000()()( )!knknkfxxxRxk( )00000()()()()()!nnfxf xfxxxxxn( )nRxPeano型余項(xiàng)型余項(xiàng)： 0( )(),nnR xoxxLagrange型余項(xiàng): (1)100( )( )(), .(1)!nnnfR xxxxxn在 與 之間(1)0010()( )(),(1)!nnnfxxxR xxxn或010(),xx0(1)1( )( )()!xnnnxRxftxtdtn在上述積分型余項(xiàng)的條件

2、下，有 Cauchy余項(xiàng)： (1)10001( )() (1) (),!nnnnRxfxxxxxn 01(1)1( )( )(),!nnnRxfxxn0.x在 與 之間Taylor公式僅有有限項(xiàng)，是用多項(xiàng)式逼近函數(shù)。項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多時(shí)，得Taylor級(jí)數(shù)：級(jí)數(shù)： ( )00000()()()()()!nnfxf xfxxxxxn( )000()() ,!nnnfxxxnTaylor級(jí)數(shù)。 Maclaurin級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)， 定義定義( )000()( ) ?()!nnnfxf xxxn函數(shù) f(x)與其Taylor級(jí)數(shù)是否相等呢？ 不一定不一定.自然會(huì)有以下問(wèn)題問(wèn)題2函數(shù)與其Taylor級(jí)數(shù)的關(guān)系求得

3、 ( )1!( ),(1)nnnfxx( 1 ),x ( )(0)!.nfn其Taylor級(jí)數(shù)為 21nxxx0.nnx該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?( 1 , 1)而在其他點(diǎn)并不相等，因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散。 那么，在Taylor級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，是否必有f (x)和其Taylor級(jí)數(shù)相等呢？回答也是否定的。21,0( )02,0 xexf xx例( )(0)0(0,1,2,)nfn且0( )0nnf xTaylorx的級(jí)數(shù)為(,)( )0.s x 該級(jí)數(shù)在內(nèi)和函數(shù)可見(jiàn)0,( )( ).xf xTaylorf x除外的級(jí)數(shù)處處不收斂于在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),另一方面，由本章1（和函數(shù)的性質(zhì)）知： 綜上，我們有如下結(jié)論:

4、 完全相同的Taylor級(jí)數(shù)。 Taylor級(jí)數(shù)。 3函數(shù)的Taylor展開(kāi)式開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)(自然要附帶展開(kāi)區(qū)間)。 Taylor展開(kāi)式或冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 通常多考慮的是Maclaurin展開(kāi)式。 4.可展條件 |( )( )| |( )| , nnf xSxRx,( ),f x所以能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù) lim( )0.nnR x( )lim( ),nnf xSx( )000()( )()( )!ininifxf xxxRxi 證證：利用Lagrange型余項(xiàng)，設(shè) ( )|( )| ()nfxM常數(shù)則有 |( )|nRx(1)10( )()(1)!nnfxxn10|(1)!nxxMn00(,)

5、,xxR xR 有100(,),(1)!nnxxn 在收斂10lim0,(1)!nnxxnlim( )0,nnRx故0.x可展成點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù)),(00RxRxx 二. 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式才是其本質(zhì)上的解析表達(dá)式. 為得到初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，或直接展開(kāi)，或間接展開(kāi)。1.1.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟:( )0()(1);!nnfxan求( )(2)lim0( ),nnnRfxM討論或( ).f x則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收 斂于:解(0)3223 ,fxxx(0)(0)3,f(0)(1)1 ;f 2341 ,fxx (0)1,f ( 1)8;f 6

6、4,fx (0)4,f ( 1)10;f 6,f (0)6,f ( 1)6;f (4)( )0nff,( ) i所以23(0)(0)( )(0)(0)2!3!fff xffxxx2332xxx就是其本身。 ( )ii( )( 1)( 1)(1)f xffx23( 1)( 1)(1)(1)2!3!ffxx2318(1)5(1)(1)xxx 0. , ( , 1 )!nxnxexn解( )( ),nxfxe( )(0)1.(0,1,2,)nfn211:12!xneTaylorxxxn的級(jí)數(shù)為0,M,M M在上( )( )nxfxeMe(0,1,2,)n 21112!xnexxxn 由于M的任意性,

7、即得2111(,)2!xnexxxxn xalnxae0ln,!nnnxan|.x 解( )( )sin(),2nnfxx( )(0)sin,2nnf(2 )(0)0,nf(21)(0)( 1) ,nnf (0,1,2,)n ( )( )nfx且sin()2nx1(,)x 213511sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn (,)x 210. sin( 1) ( ,).(21)!2nnnxxxn cosx20( 1),(2 )!nnnxn( , ).x 同理同理 其自身（由例3）； (1)mx2(1)12!m mmxx (1)(2)(1)!nm mmmnxn對(duì)余項(xiàng)的討論可利用Cauc

8、hy余項(xiàng).:(1)證明法( )(1) ,mf xx記則( )( )(1)(1)(1),nm nfxm mmnx1,2,n ( )(0)(1)(1),nfm mmn1,2,n ( )f xMaclaurin的級(jí)數(shù)為(1)(1)1!nm mmnmxxn( ) ( )1,R的收斂半徑為( 1,1),收斂區(qū)間為( 1,1)Cauchy在內(nèi)的余項(xiàng)為( )nRx11(1)()1(1)!1nnmm mmnxxnx01( )nRx11(1)()1(1)!1nnmm mmnxxnx011x 當(dāng)時(shí),( ), 1(1)()!nm mmnxn0,()n 1,x 由 11,x 101,1x11,1nx1,x當(dāng)0時(shí)11x

9、 1, x 10,x 當(dāng)時(shí)11xx 1,11(1)11.mmxx總是介于兩個(gè)正數(shù) 與之間綜上所述,1x 當(dāng)時(shí),lim( )0.nnRx/( 1,1) ,在內(nèi)若(1)(1)( )1!nm mmns xmxxn 1(1)(1)( )(1)(1)!nm mmns xmm mxxn2(1)(1)( )(1)(1)!nm mmnxs xmxm mxxn(1)(1)(1)()(1)(1)(1)!mmnmmnm mmnnnn利用(法2)(1) ( )x s x2221(1)(1)(1)2!nm mmmmnmm xxxn( )ms x( ),( )1s xms xx(0)1.s且兩邊積分00( ),( )1x

10、xs xmdxdxs xx( 1,1)x 得ln ( )ln (0)ln(1),s xsmx即ln ( )ln(1) ,ms xx( )(1) ,ms xx( 1,1)x 2(1)(1)(1)(1)12!mnxm mm mmnmxxxn ( 1,1)x 牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式注意:1.xm 在處收斂性與 的取值有關(guān)1( 1,1);m 收斂域?yàn)?0( 1,1;m 收斂域?yàn)? 1,1.m 收斂域?yàn)閰㈤喎坪战鸶鐮柎奈⒎e分學(xué)教程第二卷第二分冊(cè)11,2m 例如,當(dāng)時(shí) 有2311( 1)( 1,1)1nnxxxxx 23111 3(23)!11( 1)22 42 4 6(2 )! 1,1nnnxxxxxn 23

11、111 31 3 5(21)!1( 1)22 42 4 6(2 )!1 1,1nnnxxxxnx 雙階乘雙階乘2.2.間接法間接法利用已知展開(kāi)式，進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)算以及逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分運(yùn)算，可得到一些函數(shù)的展開(kāi)式。 利用逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分運(yùn)算時(shí)，要求一致收斂，而冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，總可保證這些運(yùn)算暢通無(wú)阻。例如： 221111xxxx以與分別代入與的展開(kāi)式,得24221( 1), ( 1,1)1nnxxxxx 2462111 31 3 5122 42 4 61xxxx ( 1,1)x 231. ln(1)( 1)234nnxxxxxn 11( 1)nnnxn( 1 , 1 x

12、 就有 ln(1)x01xdtt00( 1)xnnnt dt10( 1)1nnnxn11( 1)nnnxn( 1 , 1)x 35775. 35xxxarctgxx210( 1 ),21nnnxn 1 , 1 .x2201( 1 ),1nnnxx由( 1 , 1 )x,:兩端積分 有arctgx201xdtt200( 1)xnnntdt200( 1)xnnnt dt210( 1 ),21nnnxn:解( )f x1312 131xx100132nnnnnxx101( 31 ) ,2nnnx1| | .3x 1111!(1)!nnxnn 111!nnnxn 01,!nnnxn|x :解( )f xxxexe100!nnnnxxnn01!(1)!nnnnxxnn111!(1)!nnnnxxnn :解2,:xxex以代替展開(kāi)式中的得2xe2462( 1)11!2!3!nnxxxxn x ,逐項(xiàng)積分( ),F x 得在內(nèi)的展開(kāi)式20( )xtF xedt35721111( 1).1! 32! 53! 7!21nnxxxxxnn/例71( )14xf xxx將在處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)解( )(1)(1).nxf