§I－2極慣性矩·慣性矩·慣性積PPT課件

1、 -1 -1 截面的靜矩和形心位置截面的靜矩和形心位置 I I2 2 極慣性矩極慣性矩 慣性矩慣性矩 慣性慣性積積 Lectures (Lectures (八八) )Appendix Geometric Properties of An Area 附錄附錄1 1 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) -1 Static Moment Center of An Area I2 Polar Inertia Moment Moment of Inertia Product of Inertia附錄 截面的幾何性質(zhì) -1 截面的靜矩和形心位置 設(shè)任意形狀截面如圖所示。設(shè)任意形狀截面如圖所示。AySAxSAxA

2、ydd1. 靜矩（或面積的一次矩）靜矩（或面積的一次矩）( (常用單位：常用單位： m m3 3 或或mmmm3 3 。值：可為正、負(fù)或。值：可為正、負(fù)或 0 0 。）。） 2.形心坐標(biāo)公式（可由均質(zhì)等厚薄板的重心坐標(biāo)而得）形心坐標(biāo)公式（可由均質(zhì)等厚薄板的重心坐標(biāo)而得）AAyyAAxxAAd dO x d A yy xC xyAAyyAAxxAAd d3. 靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系yASxASxy 結(jié)論：截面對(duì)形心軸的靜矩恒為結(jié)論：截面對(duì)形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。，反之，亦然。4. 組合截面的靜矩組合截面的靜矩整個(gè)截面對(duì)某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對(duì)整個(gè)截面對(duì)某軸的靜矩

3、應(yīng)等于它的各組成部分對(duì)同一軸的靜矩的代數(shù)和同一軸的靜矩的代數(shù)和: :niiixniiiyyASxAS11 形心坐標(biāo)）個(gè)簡(jiǎn)單圖形的面積及其分別為第和iyxAiii,(5. 組合截面的形心坐標(biāo)公式組合截面的形心坐標(biāo)公式y(tǒng)ASxASxy niiixniiiyyASxAS11 將將代入代入解得組合截面的形心坐標(biāo)公式為：解得組合截面的形心坐標(biāo)公式為：niiniiiniiniiiAyAyAxAx1111 （注：被（注：被“減去減去”部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值）部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值）例例1 試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的x軸軸的靜矩。的靜矩。 解：解：取平行于

4、取平行于x軸的狹長(zhǎng)條，軸的狹長(zhǎng)條，)()(yhhbyb易求yyhhbAd)(d 因此所以對(duì)所以對(duì)x軸的靜矩為軸的靜矩為6d)(d20bhyyyhhbAyShAxO x y b ( y ) y d y h b AySAxd 例例2 2求圖示半徑為求圖示半徑為r r的半圓形對(duì)其直徑軸的半圓形對(duì)其直徑軸x x的靜矩及其形心坐標(biāo)的靜矩及其形心坐標(biāo)y yC C。 OCrxydAyCydy解：過(guò)圓心解：過(guò)圓心O O作與作與x x軸垂直的軸垂直的y y軸，在距軸，在距x x任意高度任意高度y y處取一個(gè)與處取一個(gè)與x x軸軸平行的窄條，平行的窄條，ydyrAd2223022322ryd)yr( yAdySr

5、Ax3423223r/r/rASyxC 方法方法1：直接積分法：直接積分法簡(jiǎn)單圖形簡(jiǎn)單圖形 解：將此圖形分成解：將此圖形分成I I、IIII、IIIIII三部三部分，以圖形的鉛垂對(duì)稱軸為分，以圖形的鉛垂對(duì)稱軸為y y軸，過(guò)軸，過(guò)IIII、IIIIII的形心且與的形心且與y y軸垂直的軸線取軸垂直的軸線取為為x x軸，則軸，則例例3 3 求圖示圖形的形心。求圖示圖形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10mm8 .38)30010(2102000)30010(2)1505 ()10200(iiiAyAyCC由于對(duì)稱知：由于對(duì)稱知： x xC C=0=0mm0mm95)9

6、05(mm300030010 23 , 222yxA矩形矩形I I矩形矩形IIII、IIIIIImm15551500mm200020010 1121yxA例例4 試計(jì)算圖示截面形心試計(jì)算圖示截面形心C的位置。的位置。解：將截面分為解：將截面分為I、II兩個(gè)矩形。兩個(gè)矩形。建立坐標(biāo)系如圖示。建立坐標(biāo)系如圖示。各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下：各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下：mm602120mm5210mm120012010 1121yxAmm5210mm4527010mm7007010 2222yxAO x y y1 120 10 x x 80 10 y C ( y , x ) 矩形矩形I矩形矩形II代入

7、組合截面的形心坐標(biāo)公式代入組合截面的形心坐標(biāo)公式21212121 iiiiiiiiiiAyAyAxAx解得：解得：mm40mm20yx 方法方法2：分組疊加法：分組疊加法 O x y y1 120 10 x x 80 10 y C ( y , x ) 矩形矩形I A A1 1=70=70 110=7700mm110=7700mm2 2x x1 1=45mm, =45mm, y y1 1=65mm=65mm矩形矩形II A A2 2=80=80 120=9600mm120=9600mm2 2x x1 1=40mm, =40mm, y y1 1=60mm=60mmmm40mm20yx 方法方法3：

8、負(fù)面積法：負(fù)面積法 I2 極慣性矩 慣性矩 慣性積 設(shè)任意形狀截面如圖所示。設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.1.極慣性矩（或截面極慣性矩（或截面二次極矩）二次極矩）AIAd2p2.慣性矩（或截面二次慣性矩（或截面二次軸矩）軸矩）AyIAxIAxAydd22（為正值，單位（為正值，單位m4 或或 mm4)222xy 由于所以所以IIAxyAIyxAAd)(d222p（即截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原（即截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。）點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。） O x y y x d A 3. 慣性積慣性積AxyIAxyd（其值可為

9、正、負(fù)或（其值可為正、負(fù)或0，單位單位:m4 或或 mm4)（3 3）慣性半徑）慣性半徑AIiAIixxyy（單位（單位m 或或 mm）O x y y x d A （1 1）若圖形有一個(gè)對(duì)稱軸，則圖形對(duì)包含此對(duì)稱）若圖形有一個(gè)對(duì)稱軸，則圖形對(duì)包含此對(duì)稱軸的一對(duì)正交軸的慣性積為軸的一對(duì)正交軸的慣性積為零零；（2 2）慣性矩、慣性積和極慣性矩均為）慣性矩、慣性積和極慣性矩均為面積的二次矩面積的二次矩 特點(diǎn)特點(diǎn)例例5 5 試計(jì)算圖試計(jì)算圖a所示矩形截面對(duì)于其對(duì)稱軸（即形心所示矩形截面對(duì)于其對(duì)稱軸（即形心軸）軸）x和和y的慣性矩和慣性積。的慣性矩和慣性積。 解：解：取平行于取平行于x軸的狹長(zhǎng)條，軸的狹

10、長(zhǎng)條，則則 dA=b dy12dd32222bhybyAyIhhAx同理同理123hbIyy h C x d y y b (a) 因?yàn)橐驗(yàn)閤 x、y y軸皆為對(duì)稱軸，故軸皆為對(duì)稱軸，故I Ixyxy=0=0例例6 試計(jì)算圖示圓截面對(duì)于其形心軸（即直徑軸）的試計(jì)算圖示圓截面對(duì)于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。慣性矩。 xdy yx解：解：由于圓截面有極對(duì)稱性，由于圓截面有極對(duì)稱性，IIyx所以所以IIIyxp由于所以所以6424pdIIIyxAyIAxd2ydyrAd222dyy2/2/2222ddxdyyryI644d-3 慣性矩和慣性積的平行移軸公式 組合截面的慣性矩和慣性積1.1.慣性矩和慣

11、性積的平行移軸公式慣性矩和慣性積的平行移軸公式 1.1.公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)OxyCdAxCyCabyxxCyCAaIAayAaIAaAyaAyAayAyIccxcxAAcAcAcAx2222222dd2dddAaII2xxC AbII2yyC 同同理理：y=yy=yc c+a+ax=xx=xc c+b+b b b和和a a是圖形的形心是圖形的形心C C在在OxyOxy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，所以它們是有坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，所以它們是有正負(fù)的。正負(fù)的。3.3.注意注意： x xC C、y yC C軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對(duì)形心軸軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩最??；的慣性矩最??；2

12、.平行移軸公式平行移軸公式abAIIAbIIAaIICCCCyxxyyyxx22n1iin1iin1iixyxyyyxxIIIIII，二、組合圖形的慣性矩：二、組合圖形的慣性矩：組合截面對(duì)于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其組合截面對(duì)于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和例例7 7 求圖示直徑為求圖示直徑為d d的半圓對(duì)其自身形心軸的半圓對(duì)其自身形心軸x xc c的慣性矩的慣性矩解：解：（1）求形心坐標(biāo)）求形心坐標(biāo)222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddAS

13、yxcxyb(y)yc Cdxc （2）求對(duì)形心軸）求對(duì)形心軸xc的的慣性矩慣性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc由由平行移軸公式得：平行移軸公式得： xyb(y)yc Cdxc 例例8 試求圖試求圖a 所示截面對(duì)于對(duì)稱軸所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x的的慣性矩。慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。兩個(gè)半圓組成。（1）矩形對(duì)）矩形對(duì)x的的慣性矩：慣性矩：44331mm1053331220080122adIx（2）一個(gè)半圓對(duì)其自身形）一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸心軸xc的的慣性矩（見(jiàn)上例）慣性矩（見(jiàn)上例）181288)(4422dddyIIc

14、xxcx y C (a) d =80 40 100 a =100 40 a + 2d 3 （3）一個(gè)半圓對(duì)）一個(gè)半圓對(duì)x的的慣性矩：慣性矩：由由平行移軸公式得：平行移軸公式得：44222222mm103467322324832adaddddaIIcxx（4）整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸）整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸x的的慣性矩：慣性矩： 444421mm101227010346721053332xxxIII問(wèn)題？問(wèn)題？x y C (a) d =80 40 100 a =100 40 a + 2d 3 x x1 182212daIIxx每個(gè)組合圖形的形心慣性矩對(duì)每個(gè)組合圖形的形心慣性矩對(duì)新坐標(biāo)的慣性矩的代數(shù)和！新坐

15、標(biāo)的慣性矩的代數(shù)和！注意：注意：思考思考 2.2.已知矩形截面對(duì)已知矩形截面對(duì)x x1 1軸的慣性矩軸的慣性矩I Ix1x1=bh=bh3 3/3/3， x x2 2與與x x1 1軸平行，二者之間的距離為軸平行，二者之間的距離為a a，求矩形截面對(duì)軸求矩形截面對(duì)軸x x2 2的慣性矩。的慣性矩。y h C x2 b x1 a解法一：解法一：直接用直接用Ixc計(jì)算對(duì)計(jì)算對(duì)x2軸的慣性矩軸的慣性矩123bhIxc22haaxca2 bhhabhAaIIxcx23222)2(12)33(32abahhbhAayAaIAayAyIcxAAx212222dd1解法二：解法二：用平行移軸定理用平行移軸定

16、理bhabhhabh23)2(23作業(yè)：作業(yè)：I-1d I-3a yy1y0C0Caz0 x-4 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 截面的主慣性軸和主慣性矩1.1.慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 任意面元任意面元dA 在舊坐標(biāo)系在舊坐標(biāo)系oxy和新坐標(biāo)系和新坐標(biāo)系ox1y1的關(guān)系為：的關(guān)系為：sincossincos11xyyyxx代入代入慣性矩慣性矩的定義式：的定義式：AyIAxd211dAy1x1y1x1 yx DEBACOxycossin2sincos dcossin2 dsindcos2222221xyyxAAAxIIIAxyAxAyI 利用二倍角函數(shù)代入上式，得利用二倍角函

17、數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 ：2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII注：注：上式中的上式中的 的符號(hào)為：從舊軸的符號(hào)為：從舊軸x至新軸至新軸x1逆時(shí)逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。針為正，順時(shí)針為負(fù)。yxyxIIII11（上式表明，截面對(duì)于通過(guò)同一點(diǎn)的任意一對(duì)（上式表明，截面對(duì)于通過(guò)同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩 ）將前兩式相加得將前兩式相加得 由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)

18、坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，慣性積將隨著慣性積將隨著 角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，必有一特定的角度必有一特定的角度 0，使截面對(duì)于新坐標(biāo)軸，使截面對(duì)于新坐標(biāo)軸x0、y0的的慣性積等于零。慣性積等于零。2.2.截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩(1) 主慣性軸主慣性軸: :截面對(duì)其慣性積等于截面對(duì)其慣性積等于0的一對(duì)坐標(biāo)軸。的一對(duì)坐標(biāo)軸。(2) 主慣性矩主慣性矩: :截面對(duì)于主慣性軸的慣性矩。截面對(duì)于主慣性軸的慣性矩。(3) 形心主慣性軸：當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心主慣性軸：當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合

19、時(shí)。形心重合時(shí)。(4) 形心主慣性矩形心主慣性矩: :截面對(duì)于形心主慣性軸的慣性矩。截面對(duì)于形心主慣性軸的慣性矩。(5)確定確定主慣性軸主慣性軸的位置的位置 設(shè)設(shè) 0 0是舊軸是舊軸x 逆時(shí)針轉(zhuǎn)向逆時(shí)針轉(zhuǎn)向主慣性主慣性軸軸x0的角度，則的角度，則由由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得02cos2sin200 xyyxIII可改寫(xiě)為可改寫(xiě)為yxxyIII22tan0（注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定（注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定2 0 0角的象限）角的象限）(6) 幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論若截面有一根對(duì)稱軸，則此軸即為形心若截面有一根對(duì)稱軸，則此軸即為形心主主慣性軸

20、之一，另一慣性軸之一，另一形心形心主慣性軸為通過(guò)形心主慣性軸為通過(guò)形心并與對(duì)稱軸垂直的軸。并與對(duì)稱軸垂直的軸。若若截面有二根對(duì)稱軸，則此二軸即為形截面有二根對(duì)稱軸，則此二軸即為形心心主慣性軸。主慣性軸。 若若截面有三根對(duì)稱軸，則通過(guò)形心的任一截面有三根對(duì)稱軸，則通過(guò)形心的任一軸均為形心軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。主慣性軸，且主慣性矩相等。 12010101070例例I-7 計(jì)算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩計(jì)算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩IIIIIIICxyy0 x0 0圖形的對(duì)稱中心圖形的對(duì)稱中心C為形心，在為形心，在C點(diǎn)建立坐標(biāo)點(diǎn)建立坐標(biāo)系系xCy如圖如圖將整個(gè)圖形分成將整個(gè)圖形分成I、II、III三個(gè)矩形，如圖三個(gè)矩形，如圖整個(gè)圖形對(duì)整個(gè)圖形對(duì)x、y軸的慣性矩和慣性積分別軸的慣性矩和慣性積分別為為III