行列式的計算

1、0i行列式的計算方法摘要：行列式計算的技巧性很強理論上，任何一個行列式都可以按照定義進行計算，但是直接按 照定義計算而不借助于計算機有時是不可能的本文在總結已有常規(guī)行列式計算方法的基礎上，對 行列式的計算方法和一些技巧進行了更深入的探討總結出“定義法”、“化三角形法”、“滾動消去法”、“拆分法”、“加邊法”、“歸納法”、“降級法”、“特征值法”等十幾種計算技巧和途徑.關鍵詞：行列式計算方法行列式是研究某些數的 “有規(guī)”乘積的代數和的性質及其計算方法 它起源于解線性方程，以后 逐步地應用到數學的其它領域 行列式的計算通常要根據行列式的具體特點，采用相應的計算方法 這里介紹幾種常見的，也是行之有效

2、的計算方法 1. 對角線法則對角線法則是行列式計算方法中最為簡單的一種，記憶起來很方便，但它只適用于二階和三階 行列式，四階及以上的行列式就不能采用此方法.2. 定義法根據行列式定義可知，如果所求的行列式中含的非零元素特別少（一般不多于2n個），可以直接利用行列式的定義求解，或者行列式的階數比較低（一般是2階或者3階）如果對于一些行列式的零元素（若有）分布比較有規(guī)律，如上（下）三角形行列式以及含零塊形式的行列式可以考慮用定義 法求解.例1計算行列式0 0 0 10 0 2 00 3004 000這是一個四級行列式，在展開式中應該有4=24項但是由于出現很多的零，所以不等于零的項數就大大減少了我

3、們具體地來看一下展開式中項的一般形式是aijia2j2a3j3a4j4 顯然，如果ji =4，那么3ih = 0，從而這個項就等于零因此只須考慮ji =4的那些項；同理，只需考慮j2 3 ,-2 , j4 i這些列指標的項.這就是說，行列式中不為零的項只有ai4a23a32a4i這一項，而（432i）6，這一項前面的符號應該是正的.所以0 0 0原式=0 020 3 04 0 0i0=i 2 3 4 = 2403.化為三角形計算法 例2計算行列式1-91371-91371-9137-25-130-1325170-1325173-15-5026-34-260016828-7-10026-39-2

4、4001710解:1-9137-25-133-15-5287-101-91371-91370-1325170-13251700-1-200-1-2001710000-24二-312但化三角形這一方法F面介紹的1、2、3、這個例子盡管簡單 形的方法又有很多種 化為三角形外，還有其它的作用.3.1各行（或列）加減同一行（或列）的倍數適用于加減后某一行（列）諸元素有公共因子或者三角形的情形 例3計算行列式,在計算行列式中占有十分重要的地位4這三種都可以作為化三角形的幾種手段,而化為三角,當然它們除231 xy1X21X°n1 X21a1X22a1X2 yna1 Xny11Xny21 Xny

5、nd =解：當n _ 3時，各列減去第一列得：xyxg-yj人仏-yjX21aX2(y2-yjX2(yn -yjXnWXnSyJXn(yn yJ=0之所以等于零，是因為有兩列成比例. 另外，當n =2時，1X2%1 X21 X22=(X2 -xj(y2 - yj這個例子還附帶說明，有時題目并沒有指定級數，而行列式之值與級數有關時，還需進行討論說明.3.2各行（或列）加到同一行（或列）上去適用于各列（行）諸元素之和相等的情況例4計算行列式解：把所有各列都加到第一列上去,得：=a (n -1)ba b=a (n - 1)b(a-b)a+ (n 1)bbbb1bbba+ (n 1)babb=a +(

6、n 1)b1abbaaaaaa-a+ (n 1)bbba1bba1bbb3.3逐行（或列）相加減 有一些行列式能通過逐行相加、減得到很多的零。這樣就使得行列式計算變得簡便的多 例5計算行列式1 -320001-3200 0 00 0 00 0 00 0 00000000033331-32001-3201100 0 111-100 000001-10 00000a0919-1900S0S0Dn七=0000 1-1000000 01-1012222? 2心2心+1_ n 丄-2 +32 +60122? 2心2心2 +12 +32加到后一列,再將最后一行乘以（-2），加到倒數第二行，其余行都不變，得

7、:解：從第一列開始，每列乘以得：100-11 -010-1100-1Dn 42 =00000000100001222按取后列展開，得100100Dn -B= (2n +3)30000113.4行（列）歸一法先把某一行（列）全部化為1,再利用該行從而求出行列式的值.例6計算n階行列式D = 0000 0000 00a00a1-100 01-10 0110n_3n _2n_1n222+12 +300 -000000 -000010 -00001;a9= 3(2n +3)00 -010000 -001011 -1123（列）以及行列式的性質將原行列式化為三角形行列式,xaaax aiaaaax解：它

8、的特點是各列元素之和為（n- 1）a x，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出（n -1）a x，得111D =( n_ 1)a+xaaxaaax將第一行乘-a分別加到其余各行，化為三角形行列式，則1 1=(n _ 1)a x(x _ a)n斗0 x aD=( n- 1)a+x:0 04.特殊行列式4.1爪型行列式形如：a。b1b2bnCa1C2aa2+Cnantnanbnana2的行列式，化為三角形行列式再計算.例7計算行列式稱為爪型行列式.這種形式的行列式主要是利用對角線上的元素消去“橫線”bnab2a1 b1G a。或“豎線”，a0b1b2Ga1C2a2bn(a 7(i =1,2,n

9、)an解當aj =0（i =1,2，n）時，將第i+1列乘以-(9)(i =1,2,n)后都加到第 ai1列,得三角型行列式:aonJaii呂0bibn例8計算行列式a2an2 xnnT aj(a° 八罟) j呂i=12-y分析：一般除主對角線上的元素，其余元素全部相同的行列式都可以化為爪型行列式，利用例 6結論計算其值.解Ci(-1)0D 2 x -x2-x2020-x -x00y00y（2心弋2亍+2昌 mdy24.2三對角線型行列式形如:biab2a2的n階行列式，是指主對角線上元素與主對角線上方和下方第cn Jan Jbn條次對角線上元素不全為零而其余元素全為零的行列式， 算

10、可以直接展開得到兩項遞推關系式，然后變形進行兩次遞推,例9計算n階行列式稱為三對角線型行列式.這類行列式的計或利用第二數學歸納法證明.解按第一行展開得ababDnababab(a = b)Dn =(a b)Dnab1)1 2二(a b)Dnj - abDn/ab變形 Dn 'aDn=b( Dn4 -aDn J,由于Dr = a b, D2=(a b) ab2ab b ，從而利用上述遞推公式得Dn -aDnb(Dn4 -aDn=b2(Dn/ -aDn J h =b2(D2 -aDJu bn故有Dnbnabn，bn= aDn 4 bn =a(aDn / bn j bn =a2D=an JD

11、1 an'b2abn，bn _n10證明cosa2cosa 11 2cosa 1二 cosna2cosa 11 2cosa按第n行展開得cos a 112 cos aDn =2cosaDn二+(1)n*z匕1= 2cosaDnJ1 - Dn/2cosa 01 1采用第二數學歸納法證明n =1時，D1 =cosa，結論成立.設 n _ k時，結論成立.則當n = k 1時，有Dk 4 = 2cosaDk-Dk=2cosacoska-cos(k-1)a = cos(k 1)a,故有歸納假設知Dn二 cosna4.3 Hesse nberg形如：型行列式aoc1b1a1b2a2bnC2a2a

12、b2Gbnan的行列式，的三線型行列式，稱為 行列式性質化簡并降階.11計算n階行列式anan J.a2x a1即除一對角線及其相鄰的一直線和最邊上的一行或一列這三條直線外其余元素全為零 Hessenberg型行列式這一類行列式可以直接展開得到遞推公式，也可利用-1-1Dn-1按第一列展開得-1二 XDn：1(-1嚴二 XDnx -1Dn 二 xDn4 an 二 二 x D,二(xDn,n-2a2x2an Jan 二 X Dn,a.anan4xan =Xn寂，a.x an12計算n階行列式Dn1231 -12 -2n -1nn - 2-(n - 2)n _1_(n _1)解將第1,2, ,n-

13、1列加到第n列，得123n -1n(n 1)21-12-2+ +n -2-(n -2)n -101-12匕+2J- _(n_2)n 14.4= (-1)1n(n 1)!2兩線形行列式例13計算行列式印0bi a20 b200Dn =-a-000 bn_1bn00 an解：按第1列展開得a2b2a0Dn = a100 bn00 an結論對于形如:b10 0na2b20+ bn(-1)a00 bn4n -*1二時2an (-1)n bdbna1b000aa2-b20a000bn00ana100bnbaa2 "a0-0a00an a000bn aana100b10a200aaaa00an1

14、 0b00an00bia100a20aaaabn 4昭00an00bn等的“兩線形的行列式”可以直接展開降階.4.5利用范德蒙行列式計算范德蒙行列式是一類特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式計算某些行列式時，要求行列式必 須具有范德蒙行列式的特點，或類似于范德蒙行列式的特點，這樣也可以將所給的行列式化為范德 蒙行列式，然后再利用公式計算出結果.例14設f(x)=c°(必CnXn.用線性方程組的理論證明，若是f(x)有n1個不同的根,那么f (X)為零多項式證明：設 印，玄2,an 1為f(x)的根，且ai =aj(i = j).則將根代入多項式得到如下線性方程組：”c0 +礙 +c；a

15、2 + +cna： =0c0 Ga2 c；a；cna； = 0Co - can .1ga；.!一0X1=0以C0,Ci,c；,，Cn為未知量，則線性方程組的系數矩陣為:1印J a1na11a2aJ a2ana2a=n (印一寺)式01百丈空*1an dfan卅nan -+因為齊次線性方程組的系數矩陣不為0,故系數矩陣只有零解，即：C0 = Ci = Cn = 0所以f(x)為零多項式.5. 降階法5.1 一般降階法根據行列式理論中的拉普拉斯定理，行列式的計算可轉化為k階子式及其相應的代數余子式的乘積之和.但此方法計算量偏大，僅適用于行列式中元素為 0較多的情形.同時，涉及一些比較復 雜的、元素

16、含文字或未知量的行列式，僅用此方法是不夠的.例15計算四階行列式3 2-2-70-1-3 01563-4102解：觀察行列式，可以選擇第二行展開，但是第二行有兩個非零元素，先用性質將-3也化為零，即卩2-2-1-3561019-16-93-39143- 700132010(-1)21-4-119-39-8-9-3-1614二-358-8-7十 1) (-1)2 2-4-9-35.2利用公式降階公式1設A ,B都是n階方陣，則有證明：由于-En0 A+BEnjl 0A- B兩邊去行列式，得En0A BEn0-EnEnB AEnEnA B0ABa-b例16計算行列式解利用公式1b 2a-b 02a

17、 b0-b= (b2 _4a2)b2公式2設A，B，C均為n階方陣，則(T)n C Br行，在它的所有 n階子式中，除C證明：把拉普拉斯定理用于上式的后夕卜，其余至少包含 一列零向量，從而值為零.而C的余子式為B ,且C位于整個矩陣的第 n 1, n 2,，n n行,第1,2,小列，因此二 C(_1)sBs=(n +1)+( n+2) + (n+n )+(1 +2+_' +n)其中 22n 2(1 2n)二n 偶數即有2= (-1)nC B例17計算行列式a11a12a13a0ba21a22a230a0a31a32a3300aba00000ba00000b000解 直接利用行列式的性質

18、或行列式展開進行計算是相當繁雜的，而由公式2b a 0a 0 b原式=(_1)3.0 b a*0 a 00 0b0 0a5.3利用拉普拉斯定理定理1:設在行列式 D中任意取定了 k（1豈k乞n -1）個行.由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數余子式的乘積的和等于行列式D .證明：設D中取定k行后得到的子式為 M1,M2,，Mt,它們的代數余子式分別為幾，人2,，At,定理要求證明D =M1A1M2A2MtAt根據行列式D的任一個子式M與它的代數余子式A的乘積中每一項都是行列式D展開式中的一項，而且符號也一致，所以M匚A中每一項都是 D中一項而且符號相同，而且M j A和M j Aj （

19、i工j）無公共項因此為了證明定理，只要證明等式兩邊項數相等就可以了 顯然等式左邊共有n!項，為了計算右邊的項數，首先來求出t .根據子式的取法知道kn!tCn k!(n - k)!因為Mi中共有k!項，A中共有（n-k）!項所以右邊共有t k! （n - k）!二 n!項定理得證.例18求行列式-1解：在行列式 D中取定第一、12,M 2 =11,M3 =140-10201二行得到六個子式:M121,M 5 =24,M 6 =14-12-1121M4它們對應的代數余子式為A =(-1)(12) (12)mm；,A =(_1)(1 2) (1 4)m3 二 m3,A5 =(-1)(1 2)d 4

20、)M5 = _M5,a2 =(一1)(12) (1 3)m2 二-m2,A4 =(-1)(1 2) (2 3)m4 二 m4,A 十 1)(12) (3 4)M6=M6.根據拉普拉斯定理1 21 31 10 -13 10 22 11 32 4-1 20 1-1 101=M/ M2A2 亠亠 M6Aj11+141 10032101十013=(-1) (-8)-2 (-3) 1 (-1) 5 1-6 3 (-7) 1 -8 6-1 5-18-77.從例子來看，用拉普拉斯定理來計算行列式一般是不方便的.這個定理主要是理論方面的應用.6. 析因子法如果行列式有一些元素是變量x的多項式，那么可以將此行列

21、式看作一個多項式f（x）,然后利用多項式理論，求出f（X）的互素的一次因式，進而求出行列式值的方法，稱為“析因子法”例19計算行列式: 知，f(x)有因式x_1、x_2，且f(x)關于x的最高次數為 4，故解：可以把原式看成關于變量112312 -X22323152319 一 xX的4次多項式f（X）由f(-1)二-2f(x) =k(x_1)(x 1)(x_2)(x 2)又由原式知，f(x)中含x4的項為(2-x2H9-x2)及-4(2-X2)9-X2)，故x4的系數為一 3 .因此，k = -3，從而原式二3( x21) (x2 - 4).例20計算行列式:123n1 x a 3n12 x

22、anI A A <- ,- ,123x a解：可以把原式看成關于變量x的n-1次多項式f (x)，由于f(2 - a) = f(3-a)二=f(n - a) = 0故f(x)有因式x-(2-a)、x-(3-a)、x-(n-a),且f (x)關于x的最高次數為 n-1,從而， f(x) =k(x a-2)(x a-3)(x a -n)，由原式知，原行列式關于 x的最高次項的系數為 1，故 k 1 .因此，原式 (x a - 2)(x a -3) (x a - n).7. 加邊法加邊法是把原行列式添加一行一列 主適用于除主對角線上元素外 (1)首行首列(2)首行末列(1)添加在末行末列 計算

23、行列式例21,且其值不變，所得的新行列式反而容易求出其值.該方法,各行(列)對應的元素分別相同的題型.添加行與列的方式一般有五種(3)末行首列(4)末行末列以及(5) 般行列的位置.1a111 a21 an1an解:1 +a11 111a10 00111 +a2 1110a2001一 - -11 1+an1100 an0111 11 +an100 0an100 001-1-1-1-11Dn10 00110 00001 00101 00000 101n=n ai700 10000 01100 010-1_-1亠-4n 1丄二1亠-411 +三一aia2anana1a2an _1anaiain=n

24、i =1二a(1、i Ji J（2 ）添加在一般位置例22計算行列式解：通過添加行列得:11q1X1X2Xn222DnX1X2Xn=iaan _2n_2n _2X1X2XnnnnX1X2Xn11 -11X1X2"Xny2222X,X2XnyDn =- -n_2n _2n_2n_2X1X2"Xn yn_1n .1n_1n_1X1X2Xn ynnnnX1X2Xny易見Dn ,是范德蒙行列式，則nDn 1 = (y - Xi). (Xk - Xj)i =11百峠色而行列式Dn的值為Dn 1按最后一列展開式 yn4項的系數乘以（T）2n18. 拆分法使新得的行列式便于計本法主要依行

25、列式的性質，將給定的行列式表為幾個行列式的和算如果一個行列式的每一列的所有元素都可以寫成這樣的兩項之和，使得其中某列的每個元素的第1項（或第2項）與另一列對應兀素的某一項相冋或成比例，則一般可考慮用“拆分法”例23計算當門色3時a<Hb1c1 a2十昵an +bG印 +b2G a<hb2c2an +b2CnD =：:a印+bnGaz+bnGan +bnCn解按第列之和分解為1a2 卄© an+dcn3a2+昵an+dCn1a?+b2C2 a.+b2®b2玄2“2(：2 an+b2CnD =a1 : :aa1a2 +bnC2 an +bnCnbna2 +bnC2a

26、n+bnCn1昵bia2anai1ab2C2 ab2Cnab2aa2aan91bnC2 bnCnbna2 an二 0再利用行列式性質將原行列式寫成把某1行（或列）的元素寫成兩數和的形式 的和，使問題簡化以利于計算例24計算行列式2個行列式解:Dn0aaa+ 00aaa0aa0b0aa+ 0b0a ab0a0Dn =baba0a+ 0=bba0aababa00abbba-an>nbbban>nbbban：n0aa10aa 0b0a1b0a0axbab90a1abab90a0abbb1n：bbbannn列乘（-b）加到其余各列上,將第對上面的第一個行列,對第二個行列式按第n列展開，最后

27、可得-b0a b-baba_b110ba0a aaaDn = a00-b10b0a-a-a”-”000 1n對bbb0(n A) (n A)nn -4a( -b) aDn jn -1-a( -b)aDnb baaabaaabaaab0aab0aa00aaDn =bba0aaabba0aa0b90aabbb0n垢bbb0n冷0bb0Dn按下面方式拆項,n：n這樣，我們獲得一個遞推公式: 如果將D又可得到29類似于前面的方法可得另一個遞推公式:Dn =b(-a)n-bDn聯立上述兩個遞推關系式Dn = a(-b) - - aDn jDn =ba)nJ-bDndCasd2n -2:Dn 二 2： (

28、D2當a =b時，解得Dn =(-1)nab(a2 anJ3bvbn bn)= (_1)naba -當a三b時，解得n2 n_2n_2n_2n_2nDn =(-1) a (a a a a )=(-1) a9. 遞推與歸納這種方法是根據行列式性質，把一個n階行列式表示為一個或若干個具有相同形狀但階數較低的行列式的關系式，再利用關系式推出這個n階行列式的值一般情況下，主要方法有：遞推法1）遞推公式法就是先將行列式表示兩個（或幾個）低階同型的行列式的線性關系式，再用遞推關系及某些低階（2階,1階）行列式的值求出 D的值該方法適用于行（列）中0較多的或主對角線上、 下方元素相同的題型.歸納法2）當行列

29、式已告訴其值 ，且值與自然數有關時，一般用數學歸納法證明結果的正確性 .如果 未告訴結果，也可由遞推關系式和前面幾個低階行列式的值，通過觀察猜想原行列式的值 .然后用數學歸納法證明猜想的正確性 1）禾U用已給的行列式的特點，建立起 n階行列式與n-1階行列式（或更低階）行列式之間遞推 關系式，利用此關系式求行列式的值降階遞推法，常見的有兩類：（1） Dn “Dn型，此時根據遞推關系有：Dn =|n4D1（2） Dn = pDn 4 qDn/（n EqO）型，此時我們不妨設 二，：是方程x2 - px - q = 0的根，則由根與系數的關系，得 - p - q，將其帶入 Dn = pDnJ qD

30、n中，有：Dn - 0 廠 （Dn4 - 2（Dn- 口）（D Q）（1）DnDn 廠"Dn4-：DnA "（Dn Dn；）二 二"（D： D1）（2）下面分兩種情況進行討論：Casd : ：，由（1）和（2）得：時小（0）一2（0）Case2"='，由(1)和(2)得:D Dn4 : (D： D1)一：0)二二:n*D1 (n 1)： n'(D2 -： D1)（1 ）利用Dn，Dn斗進行遞推xa1axa?ana?anDn屮=a-aaa1a?a3ana1a?a3xxa1a?an +0xa1a?a1xa?an +0a1xa?Dn+ =a-a

31、99aaa1a?asan +0a1a?asa1a?asan +(x_an)a1a?as解:ananxaia?0a1xa?0a2 a3aia2a30X -'anxa1aixa?a?11x a0a 一 a?x a?a? 3sa as=an:-am+ (X_an)Dn =an-aa1a?as 1000a1a?as1000an(X-an)Dnn二anl 丨(X -aj (x -an)Dni A而 D1 = XD2 二a,x -aj (x -ajx = (x -aj(x ajD3 = a? (x aj(x a?) (x a2)D2 = a2(x -a)(x -a?) (x - a2)(x - a

32、j(x a1) =(x a1 a?) (x _aj(xa?)根據遞推關系式可得Dn =(x 印 a?an)(x a1)(x a?) (x a.)(2 )利用 Dn,Dn4,Dn/進行遞推例26求行列式2 1 0 0 012 1 0 0Dn0 1? 0 0999990002100012解： 由于Dn=2Dn-Dn ；則不妨設:-,一：是方程X? - 2X 仁0的根，則:T曰 于是:Dn =1"5 十(n _ 1)1n/(D2 -1DJ =(2 n +(n - 1)D2其中：2 1D = 2 | = 2, D2 = 41=31 2所以:Dn =(2 -n)Di (n- 1)D2 = 4-

33、2n 3n = n 12100012100一 0 1 2 0 0 原行列式=：:：=n+12）歸納法例27計算行列式a + PaP0 001a + PaP 00Dn =031a + Ps 00（。式 B）000 1a + P解：按一行展開得a + PaP 001aP 001a + P00-aP0a + 1a + Pn-100 1a + PDn =(：)n 4后一行列式按第一列展開，得遞推公式Dn 十)DnUm (n -3)(1)31易于算出D2-3D34代入遞推公式得于是自然猜想D4 =（、）-aP腫5Dn證實這個結論，可以利用第二歸納法此處從略10.作輔助行列式例

34、28設fi（X）, f2（X）, fn（X）為次數不超過n-2的函數，設 冷,>2,，n為任意數，證明#人（1）皿2）-Wn）f2（： 1）af2（：2）-f2（： n）afn（： 1）fn（：2）-fn（： n）=0解法一設fl（x） TiXn_2aj2XnJ3 ax -為那么，由ana12a1 nda1n 4a21aa 22a2nda2n 1aan1an2 "ann -2ann00n -2 -2n； a2n -2 Ctnn；an馬上得證.解法二剛才是作兩個輔助行列式,現在作一個新行列式Dn（X）fl（X）f2（x）fl（： 2）f2（2）fl（： n） f2（n）f2（X）

35、fn（2）fn（n）f（ 1）皿2）n）f2（： 1）f2（：2）af2（： n）fn（1）fn（2）fn（n）由題設不難得知Dn是x的不超過n-2次的一個多項式，然而它有所以：Dn(x)=O 特別有13.微積分法33f1 (%)血2)fgn)Dn (。1)=f2 (。1)f202)f2(dn)a=0fn (。1 )fn02)fn ©n)證畢.11.滾動消去法 當行列式每兩行的值比較接近時，可采用讓鄰行中的某一行減或者加上另一行的若干倍，這種方法 叫作滾動消去法一般利用此方法后，最好在化簡后行列式的第一行或者列能產生較多的零，以便 利用降級法來做.例29計算行列式123n -1n12

36、321n -2n -11-1-1D =3a291 an 3n -2a=1i19-1ann 1n_221111解：從第二行開始每行減去上一行，有123-11231nnnnn - 1n-1-1-1-1= (-1)i(n1)2心123n -1n212 n2n 1D =392a1！an-3n-29nn 1n_221A二1'2n .故只要能求出矩陣A的全證明：A可逆當且僅當它的特征值全部為零.12.特征值法 設1, '2,，n是n級矩陣A的全部特征值，則有公式部特征值，那么就可計算出A的行列式.例30若, 2,，n是n級矩陣A的全部特征值,證明：因為 A = T 2，' n ,貝

37、y A是可逆的 = A =0= i2n=0= -0(1/ ,n)例31計算行列式x20000x200Dn =00x00000x22000x解：易知Dn的結果是一個關于未知參數x的多項式，根據 n階行列式求導公式:fn(x)af12(X)-f1n(x)adfi1(X)fi2(X)fin (X)dx-aafn1(X)fn2(X)fnn(x)下面對它求導：x200X00x20dn:00X0dx1i40200X2設 Dn = f (x)，則(x)二 nxn，所以:fn(x)af12 (xaf1n(x)an孚 fi1(x)-J-Jfi2(X)fin (x)dxadxIdxIfn1(X)fn2(X)fnn(x)20 0 0X2 0 0aaan丁 nn=L x = nx0a0 1aa 0700 0XJ f "(x)dx = xn +cf(x)二又當x =0時，f (0) =(-1)n2n，所以c十1)故原行列式的值為Dxn(-1)n42n.其各元素的代數余子式容易計算的情a11a12a1 nD =a21a22a2n,D1 =a9an1an2ann14.