10《實數(shù)和二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固知識講解及其練習(xí)

1、?實數(shù)和二次根式?全章復(fù)習(xí)與穩(wěn)固提高【學(xué)習(xí)目標】1. 了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根2. 了解幵方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根3. 了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平而上的點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范用由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其開展變化4. 能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.5. 理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì)6. 熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的四那么運算7. 了解代數(shù)式的概

2、念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用【知識網(wǎng)絡(luò)】定義求法性質(zhì)二次根式加減法無理數(shù)的次1 1運根 算式一二次根式展簡二次根式【要點梳理】要點一、平方根和立方根型工程平方根立方根被幵方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)符號表示土 ya無限不 循環(huán)小 數(shù)性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為 相反數(shù)；零的平方根為零：負數(shù)沒有平方根：一個正數(shù)有一個正的立方根； 一個負 數(shù)有一個負的立方根； 零的立方根是 零;重要結(jié)論(V?)2 = a (a > 0)你=1 卻屮 CO)1 1 -?(?<0)(逅 f =aCl y/-U -ya要點二、無理數(shù)與實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)1. 實數(shù)的分類 實數(shù)正有理數(shù)

3、9;正無理數(shù)'有理數(shù)零有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)負有理數(shù)要點詮釋：1所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)2無理數(shù)分成三類：幵方幵不盡的數(shù)，如石，邁等:有特殊意義的數(shù)，如兀； 有特泄結(jié)構(gòu)的數(shù)，如 0. 1010010001-3凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.2. 實數(shù)與數(shù)軸上的點 對應(yīng)數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù) ，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).3. 實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負數(shù)有如下三種形式：1任何一

4、個實數(shù)d的絕對值是非負數(shù)，即丨。丨鼻 0:2任何一個實數(shù)d的平方是非負數(shù)，即cr八0 ；3 任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即>/7>0 ?>0.非負數(shù)具有以下性質(zhì)：1非負數(shù)有最小值零：2有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；3幾個非負數(shù)之和等于 0,那么每個非負數(shù)都等于0.4. 實數(shù)的運算數(shù)d的相反數(shù)是一 d:個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)：0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法那么和運算律在實數(shù)范囤內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、幵方.再乘除，最后算加減？同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里5.實數(shù)的大小的比較有理數(shù)大小的比較法那么在實數(shù)范圍內(nèi)

5、仍然成立.法那么1.實數(shù)和數(shù)軸上的點對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)法那么2.正數(shù)大于0, 0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反 法那么3兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法 相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如yaa > 0的式子叫做二次根式，如大；而?。阂c三、二次根式的,都叫做 二次根要點詮釋：二次根式亦有意義的條件是 ？>0,即只有被幵方數(shù)a>0時，式子亦才是次根式，亦才有意義2二次根式的性質(zhì)1血工王0需=12 > 0：3.最簡要二點3次詮根式釋:1瑕 |= 后數(shù) 非a 可o-aa c 以寫0成?的取值

6、范圍可(?>0),如 2 = (V2) 2;l = (JA) 2;x = (y/x)2(x>0 ) ?3 V3不同點：Q 中。可以取任何實數(shù)，而需尸中的d 必須取非負數(shù)7A7 二問，$二a (a>0)?相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當 d 取非負數(shù)時，后二 &?(1)(2)被幵方數(shù)是整數(shù)或整式：被幵方數(shù)中不含能幵方的因數(shù)或因式滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式 ？如返，皿,3肩,等都是最簡 二次根式.要點詮釋：最簡二次根式有兩個要求：1被幵方數(shù)不含分母；2被幵方數(shù)中每個因 式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4. 同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被幵方數(shù)相同，

7、這幾個二次根式就叫同類二次根式要點詮釋：判斷是否是同類二次根式，一立要化簡到最簡二次根式后，看被幵方數(shù)是否相同，再判斷.如與由于恵二2近,與麗顯然是同類二次根式.要點四、二次根式的運算1.乘除法1乘除法法那么：類型法那么逆用法那么積的算術(shù)平方根化簡公式:二次根式的乘法Q心二屁心0，處0碼屁皿m商的算術(shù)平方根化簡公式:二次根式的除法4執(zhí)"QO俁車WO、b yjb要點詮釋:1當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘或相除的法那么，如ajb-csfd bd ?2 被幵方數(shù)d、方一左是非負數(shù)在分母上時只能為正數(shù)如 J -4x-9 h 口 x 口.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式

8、后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被幵方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.次根式，最后合并要點詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二同類二次根 式.如邁+3邁一 5近= + 3_5邁=_邁.【典型例題】y =J|x| 3 + J3 卜 1 +12x-3類型一、有關(guān)方根的問題【答案與解析】 解：由題意得，解得x = -3'|x|-3>0<3-|x|>0x-3 H 0/.= (-3x(-2) = -18【總結(jié)升華】 根據(jù)使式子有意義的條件列岀方程，解方程，從而得到的值2、春？南昌期末實數(shù)x、y滿足A2x 16+ I x - 2jrl- 4

9、 |=0*求2x - y的立方3根.【答案與解析】解:由非負數(shù)的性質(zhì)可知：2x - 16=0, x - 2y+4=0,解得：x=8, y=6./?2x v=2 X 8 X6=歹3.2x-的立方根是2.3 y【總結(jié)升華】 此題主要考查的是非負數(shù)的性質(zhì)、立方根的定義，求得x、y的值是解題的關(guān) 鍵.類型二、與實數(shù)有關(guān)的問題d是JT3的整數(shù)局部，方是它的小數(shù)局部，求 -町'+ 3 + 32的值.【思路點撥】一個數(shù)是由整數(shù)局部+小數(shù)局部構(gòu)成的.通過估算屁的整數(shù)局部是 3,那么它的小數(shù)局部就是JT3-3,再代入式子求值.【答案與解析】解：Td是価的整數(shù)局部，b是它的小數(shù)局部，3<JT6V4/

10、. a = 39b = y/10 3.? _ “ +3 + 32 =_3+価_3+3=-27+ 10 = -17 ?【總結(jié)升華】 可用夾擠法來確左，即看佰介于哪兩個相鄰的完全平方數(shù)之間，然后幵平方?這個數(shù)減去它的整數(shù)局部后就是它的小數(shù)局部.舉一反三:【變式】5+JU的小數(shù)局部為d, 5 VH的小數(shù)局部為/八那么a + b的值是:【答案】a+b = ;a-b = 2y/n7 ,提示：由題意可知0二価一 3, b = S矽y、閱讀理解，答復(fù)以下問題.拯命題的題設(shè)和ab >0,那么 a >b :在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，有時會遇到比較兩數(shù)大小的問題，解決這類問題的關(guān)鍵是根 結(jié)論特征，采用相

11、應(yīng)方法，其中巧用“作差法是解決此類問題的一種行之有效的方法:假設(shè) a b =0,那么 a = b :假設(shè) a b <0,那么 a<b .例如：在比較1與的大小時，小東同學(xué)的作法是：?/ 加 2 +1 一 加 2= , + 一加 2 = 12:.nr +1 > m諳你參考小東同學(xué)的作法，比較 4苗與2 + >/32的大小.【思路點撥】 仿照例題，做差后經(jīng)過訃算判斷差與0的關(guān)系，從而比較大小【答案與解析】解：？.？4亦-2 + 同=4 館-4 + 4 辰 3 = -7<0.? 4 “< 2+州【總結(jié)升華】實數(shù)比較大小常用的有作差法和作商法，根據(jù)具體情況加以選擇

12、舉一反三：【變式】實數(shù)Q在數(shù)軸上的位置如下列圖，那么 a-a,- ta2的大小關(guān)系是：_a?_?:? 1 a0【答案】一<a <cr < a :a類型三、實數(shù)綜合應(yīng)用aV 5.閱讀材料：學(xué)習(xí)了無理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組幵展了一次探究活動：估算jn的近似值.小明的方法：7>/9<>/13<716 ,設(shè)A13 = 3 + k (0<k< 1). A (>A3) 2 =(3 + Z:)2? : .3 = 9 + 6k + k 2. : .l3A9 + 6k ? 解得 kA- ? ?+ ±a 3? 67 ?6 6問題：(1)請你依照小

13、明的方法，估算J5T的近似值；(2) 請結(jié)合上述具體實例，概括出估算J喬的公式：非負整數(shù) d、b. m，假設(shè)a < <a+ , 且 m = a2 + b ,貝y J喬心(用含 d、b的代數(shù)式表示)：(3) 請用(2)中的結(jié)論估算J喬的近似值.【答案與解析】解：(1) ? ?屆 vTJTv 屈，設(shè)州二 6 + k (0<Zr<l).?.(塚 F =( 6+府.?.41 = 36 + 12? “4.1?36 + 12k.解得k丄.V41 住 6圣a+k ( 0 < a < 1).12(2) *.* a < yfm < 6/ +1,(A/JH)2 =(

14、a+k)2.m = a2 +2ak + k:.m a a 2 + 2ak.比照 z = a +b , ba 2ak 、k a (3) 37 = 62+|,?.妬心亍厲.【總結(jié)升華】 此題比較新穎，關(guān)鍵是通過閱讀材料快速掌握估值的方法.(2)問中要比照式 子，找準d和b,表示出k丄？2a類型四、二次根式概念及運算(春?右?林縣期末)計算：5磊+評5-普X伸阿三碼.【思路點撥】先二次根式化為最簡二次根和根據(jù)二次根式的乘除法得到原式二碼-碼-晉X尹屁傳2碼-1+3,然后合并即可.【答案與解析】 解：原式=2'5 -1+3=2八2.【總結(jié)升華】此題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最

15、簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后進行二次根式的加減運算舉一反三：【變式】7<2X+1)2 -|x-5|(0vx<3).【答案】3 4?a、b、c?為 ABC的三邊長，化簡J(Q 十 E H-c)?十十 E十 J(a b 十 J(c a.-.【答案與解析】解:a. b、c 為 AABC 的三邊長，：.？ > 0, i > 0, c > 0, ? + 八 + c > 0, a+b-c >0, a-b c= a-(bAcA <0, c-a-b=c-(aAbA < 0,?I 原式=1 a + E + c| + |a+$ <J+|a

16、心一一 u| + |c =a +b +c )十(tx 十 b c) (a b c)_(c_a 5)=a + b +c +a -Vb c a+3+o C+Q=2a 十 4b【總結(jié)升華】利用三角形任意兩邊之和大于第三邊和 & = a |進行化簡.【答案與解析】解答原式原式=紗爰斗広石不-広【總結(jié)升華】把【變式】當“=£產(chǎn)時，2 + V3-2ci +(r yja 1 - 2a+ 的值.解：由“占亠屈得-1V0.丄1心一1將“二=2_?代入，原式二3.【穩(wěn)固練習(xí)】一.選擇題1.B.假設(shè)a>A.假設(shè) b,a>b,那么C.假設(shè)丨d丨那么 a1 > b22.列說法正確滿足

17、上述條件的整數(shù) x的個數(shù)是 有d、b是實數(shù)，以下命題結(jié)論正確的選項是 D.假設(shè) a3那么 a2>b2無理數(shù)一泄是無限小數(shù)；不帶根號的數(shù)一泄是有理數(shù)C ?D ?5.4.假設(shè)XVOy匚JA.10的結(jié)果是. C? 0或春?安順期末以下計算正確的有一 2 假設(shè)(-4)(d (-4)_(-9) A/4 X麗二&1.5 2 - - -A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 7.貝妝=(：a/216 = 2.86& 且一需=2&6&)A.2360B. -2360C.23600D. -236008. ?泰安如圖，四個實數(shù) m, n, p. q任數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為

18、 M, N, P, Q,假設(shè)n+q=O, 那么m, n, p. q四個實數(shù)中，絕對值最大的一個是P NM QA. p B? qC? mD? n二.填空題9.以下命題中正確的有填序號假設(shè)"h,那么2a > 2b ;(2)兩數(shù)的和大于等于這兩數(shù)的差(ab-(3)假設(shè) a>b 那么 a2>b2；假設(shè) a > /?, b>c 貝U a>c;(5) (a + b) + c = a + (b + c)(6) -個數(shù)越大，這個數(shù)的倒數(shù)越??；(7) 有理數(shù)加有理數(shù)一左是有理數(shù)；(8) 無理數(shù)加無理數(shù)一迫是無理數(shù)；(9) 無理數(shù)乘無理數(shù)一左是無理數(shù)；10. 丁戸和丁

19、口：互為相反數(shù)，且 XHO,三二?11. 假設(shè) a=(3)-，那么 0=，假設(shè)=(3) 那么 d= .12. :=4.85& 75 麗=1.536 那么 JO.OO236=.13. (春？長興縣月考)a、b、c是ZkABC三邊的長，那么化簡 昆一卜-腫-a+b -c|的結(jié)果為.14. (?攀枝花模擬)宣二 仔佗產(chǎn)対咨 :貝IJ代數(shù)式x2 - 3xy+y的值為V3 "V2 VW215. 方程(I + 2x)3- = 1 的解 x = ?6416. 假設(shè)卩995-訶+血一 1996= d,那么0 1995,的值等于 .三?解答題(1)Jab -bci h17.計算:3( 1+ 血

20、)1+葯)1-忑)1-18.己知：y二4- 丁 8兀-1 +丄,求代數(shù)式t + 4- 2 -匚+AA2的值.2yy x19.(春？桃園縣校級期末) x-2的平方根是±2, 2x+y+7的立方根是3,求x'+y'的平 方根.然后解答問題20.細心觀察右圖，認真分析各式,(V3+1 = ( -A4)=4, S 3V32(1) 請用含n (n為正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律；(2)觀察總結(jié)得出結(jié)論：三角形兩條直角邊與斜邊的關(guān)系，用一句話概括為:(2) 利用上而的結(jié)論及規(guī)律，請作出等于J7的長度:(3) 你能計算出S； +S； +Sj+?+ S：的值嗎?【答案與解析】一.選擇

21、題1. 【答案】B :【解析】B答案說明a>b,且1川>"1,故 a2>b2.2. 【答案】A :3.【答案】C：【解析】由原式得:4 -Q4 (巧+7?)V T < =73 + >/2 >/3->/2'逅->/?的 +Q所以 4婦一邁vxv2潔 +孫，因為 lv4>/3->/2<2. 7<2厲 + 石< 8,所以 x = 2,3,4,5,6,7.4. 【答案】 D：5. 【答案】 C； 【解析】可以取特殊值驗證 .6. 【答案】 A ：【解析】解：應(yīng)先計算為根號內(nèi)是36,再幵方，廠廠A無意義，錯誤

22、：正確；用平方差公式，根號應(yīng)計算為 9,結(jié)果應(yīng)為3,錯誤.應(yīng)選A.7. 【答案】 D；【解析】 2. 868向右移動 1位， 23. 6應(yīng)向右移動 3位得 23600,考慮到符號 ,n=-23600.8. 【答案】 A ；【解析】Tn+qi? ?和q互為相反數(shù)，0在線段NQ的中點處，.？絕對值最大的點 P表示的數(shù)p，應(yīng)選A.二？填空題9. 【答案】 1, 4, 5, 7 ；10. 【答案】 2：【解析】兩個非負數(shù)互為相反數(shù)那么只能均為 0,于是可求 -=2.X11. 【答案】 ±3：苗；【解析】正數(shù)的平方根有 2個，實數(shù)有一個與它符號相同的立方根 .12. 【答案】 0. 04858【解析】 23. 6 向左移動 4 位， 4. 858 向左移動 2 位得 0. 04858.13. 【答案】 2c - 2a；【解析】 Ta、b、c 是 ZkABC