醫(yī)用物理學(xué)陳仲本第六章課后習(xí)題答案

1、 第六章 磁場 通過復(fù)習(xí)后，應(yīng)該:1.掌握磁感應(yīng)強度、畢奧-薩伐爾定律、洛倫茲力、霍爾效應(yīng)、安培力、磁場對載流線圈的作用、物質(zhì)的磁性和磁化、電磁感應(yīng)定律;2.理解幾種電流的磁場、安培環(huán)路定理、質(zhì)譜儀、超導(dǎo)體及其抗磁性、感生電動勢、自感現(xiàn)象;3.了解磁場中的高斯定理、電磁流量計、超導(dǎo)磁體、人體生物磁場、渦旋電場。 6-1 一個半徑為0.2m、阻值為200的圓形電流回路，接12V的電壓，求回路中心處的磁感應(yīng)強度。 解: 已知半徑r =0.2m，電源電壓U=12V，圓形回路的電阻R=200，根據(jù)歐姆定律，可求得回路的電流為I=U/ R=12/200 A=0.06 A由圓形電流磁場公式，可得回路中心處

2、的磁感應(yīng)強度為6-2 一根長直導(dǎo)線上載有電流100A，把它放在50G的均勻外磁場之中，并使導(dǎo)線與外磁場正交，試確定合成磁場為零的點到導(dǎo)線的距離。 解: 長直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場，其磁感線是一些圍繞導(dǎo)線的同心圓，在導(dǎo)線周圍總有一點A，其磁感強度與外磁場的磁感應(yīng)強度大小相等、方向相反，該點的合磁場為零。已知I =100A，B= 50G = 5.0×10-3 T，根據(jù)長直載流導(dǎo)線磁場公式，可得A點離導(dǎo)線的距離a為6-3 0.4m長的細(xì)管上繞有100匝導(dǎo)線，其電阻為3.14，欲在螺線管內(nèi)獲得200G的磁感應(yīng)強度，需外加電壓多少伏? 解: 已知螺線管單位長度上的線圈匝數(shù)n =100/0.4=25

3、0匝·米-1，B =200G =2×10-2 T，根據(jù)螺線管電流磁場公式B = 0nI，可得螺線管通過的電流為已知線圈電阻R =3.14，根據(jù)歐姆定律可計算出需加的外電壓為U=IR=2/×102×3.14V=200V6-4 一平面上有兩個同心的圓形回路，用相同電動勢的電池（內(nèi)阻忽略不計），通過相反方向的電流，使在中心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為零，已知外圓用銅線，其電阻率為1.7×10-6 ·cm，內(nèi)圓用鋁線，電阻率為2.8×10-6 ·cm，這些導(dǎo)線的截面積相同，外圓直徑為200cm，求內(nèi)圓的直徑。 解: 設(shè)外圓和內(nèi)圓的

4、半徑分別為r1、r2，則外圓和內(nèi)圓的導(dǎo)線長分別為L1 =2r1，L2 =2r2 ；它們的電阻率分別為1、2，已知兩導(dǎo)線截面積相同，設(shè)為S，則由電阻公式可得兩圓導(dǎo)線電阻R1 和R2 分別為R1 =1 L1 /S=2r1 1/ S R2 =2r2 2 /S因為兩圓導(dǎo)線上加的電壓相同，設(shè)為U，則它們通過的電流分別為I1 =U/R1 = US/(2r1 1) I2 = US/(2r2 2)由圓形電流磁場公式可得外圓和內(nèi)圓產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B1 和B2 分別為因為圓心處的磁感強度為零，故B1與B2 方向相反、大小相等，即B1 =B2，則由上面兩式可得 又知r1 =1/2×200cm=100cm，

5、1 =1.7×10-6 ·cm，2 =2.8×10-6 ·cm，則由上式可得內(nèi)圓半徑為由此可得內(nèi)圓的直徑為 d=2r2 =2×78cm=156cm6-5 電流I=20A，流過半徑R2 =0.05m的金屬薄圓筒，再從圓筒軸線的細(xì)導(dǎo)線流回來，細(xì)導(dǎo)線的半徑R1 =1.0×10-3 m，筒的長度為l =20m。求： 筒中離軸線0.02m處P點的B值； 筒外離軸線0.10m處Q點的B值（P、Q點均位于筒的中部）。 PQR2PQIIIIrrCPCQ習(xí)題6-5附圖（a） 習(xí)題6-5附圖（b）解: 由于筒長20m，遠(yuǎn)大于0.02m和0.10m，故可看

6、作成無限長。如附圖所示，在垂直于圓筒軸線的平面上，以0.02m為半徑以軸線為圓心過P點作一圓CP ，作為積分回路，由于磁場方向與圓CP 的切線方向相同，故 =0°，cos=1，且由于對稱分布，在圓CP 上B值處處相同，應(yīng)用安培環(huán)路定理得 B·2r = 0 I已知r =0.02m，I=20A，0 =4×10-7 T·m·A-1 ，則由上式得同理，以軸為圓心，0.1m為半徑，過Q點作一圓CQ ，作為積分閉合回路，由安培環(huán)路定理得 故筒外Q點的B=0。6-6 一根載有電流I的無限長直導(dǎo)線，在一處分為對稱的兩路又合而為一，這兩路均為半徑為R的半圓（見本

7、題附圖），求圓心處的磁感應(yīng)強度。 解: 由圖可知，所求圓心O處的磁感應(yīng)強度為直線電流與圓弧電流產(chǎn)生的磁場B1、B2 的矢量和。先討論直線電流產(chǎn)生的磁場B1。由于其上的任一電流元Idl與該電流元到O點的矢徑r在一條直線上，sin=0，由畢奧-薩伐爾定律知，故B1 =0。IIIAAROIdl再考慮兩段半圓弧電流產(chǎn)生的磁場。由于電路的對稱性，上下兩段電路中電流相等，且I'=I/2。在上圓弧A點取一電流元I'd l。在下圓弧對應(yīng)的A'點也同樣取電流元I'dl（見附圖）。由畢奧-薩伐爾定律知，這兩小段電流元在圓心O處產(chǎn)生的磁場大小相等，但方向相反（由右手螺旋法則可判定），

8、因此兩段圓弧產(chǎn)生的磁場恰好互相抵消，由于圓弧電路的對稱性，其他對應(yīng)的兩小段圓弧在O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度也恰好互相抵消，因此B2 =0。由上面的討論可知，圓心處的磁感應(yīng)強度為零。 習(xí)題6-6附圖6-7 如果一個電子在通過空間某一區(qū)域時，不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，能否肯定這個區(qū)域中沒有磁場? 為什么? 答: 運動電荷在磁場中將要受到一個磁場力的作用，其大小為F=qvBsin?？梢奆除了與q、v、B有關(guān)外，還與v和B的夾角有關(guān)，當(dāng)電子以順著或逆著磁場方向通過磁場時，=0°或=180°，F(xiàn) =0，電子將不受力。所以當(dāng)電子不偏轉(zhuǎn)時，不能肯定這個區(qū)域中沒有磁場。6-8 一均勻磁場的磁感應(yīng)強度的方向垂直

9、向下，如果有兩個電子以大小相等，方向相反的速度沿水平方向同時射入磁場，問這兩個電子作何運動? 如果一個是正電子，一個是負(fù)電子，它們的運動又如何? 答: 它們將在洛倫茲力的作用下，作圓周運動。由于它們的速度大小相同，方向相反，所受的洛倫茲力相等，方向相反，所以它們圓周運動的半徑、周期相等，但一個是逆時針方向運動，另一個是順時針方向運動。如果一個是正電子，一個是負(fù)電子，則兩者所受的洛倫茲力相等，方向相同，它們作同方向、同半徑、同周期的圓周運動。6-9 一個典型的氫離子（質(zhì)子）在室溫下的速度為300m·s-1 ，如果地磁場是1G，那么作用在氫離子上的最大磁場力是多少? 解: 已知q =1.

10、6×10-19 C，v =300m·s-1，B=1G =10-4 T，由洛倫茲力公式F=qvBsin可知，在q、v、B一定的情況下，當(dāng)= /2時，F(xiàn)最大，這時離子受到的最大磁場力為Fmax = qvB =1.6×10-19×300×10-4 N=4.8×10-21 N 6-10 彼此相距10cm的三根平行長直導(dǎo)線，各通有10A同方向的電流，試求各導(dǎo)線上每1cm上所受的作用力的大小和方向。 解: 彼此相距10cm的A、C、D三根平行導(dǎo)線不在一個平面內(nèi)，其水平俯視投影圖為邊長0.1m的等邊三角形，如本題附圖所示。各導(dǎo)線的電流I=10A，且

11、方向相同，假設(shè)電流方向指向紙里（即三導(dǎo)線均垂直于紙面）。先來討論導(dǎo)線A所受的力和方向。長直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)線是以導(dǎo)線為中心的一些同心圓，C導(dǎo)線在A導(dǎo)線處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B1 ，應(yīng)垂直于CA邊，D導(dǎo)線在A處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B2 ，應(yīng)垂直于DA邊。根據(jù)長直電流磁場公式，B1 和B2 大小相等，其數(shù)值均為由附圖等邊三角形的幾何關(guān)系可知，B1 和B2 的夾角 =60°，其合磁場B的方向平行于底邊CD，大小為A0.1mF1F2F360°BCD0.1m0.1mB2AB1II導(dǎo)線A所受的力，用安培力公式（F=IBLsin）計算，因為合磁感應(yīng)強度與A導(dǎo)線垂直，=/2，所以A導(dǎo)線1cm（

12、0.01m）長度上所受的力為F1 =BIL=2×10-5×10×0.01N3.46×10-6 N如附圖所示，F(xiàn)1 的方向指向三角形的重心。同理，可求得C、D導(dǎo)線所受力的大小等于F1，方向也是指向重心。如果三條導(dǎo)線中，有一條導(dǎo)線的電流方向與另外兩條導(dǎo)線電流方向相反，結(jié)果又是怎樣?請讀者自行分析。 習(xí)題6-10附圖6-11 電流元Idl在空間某點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度與哪些因素有關(guān)? 其方向如何確定? 答: 根據(jù)畢奧-薩伐爾定律可知，電流元Idl在空間某點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度dB與Idl成正比，與dl和r之間小于180°的夾角的正弦成正比，與Idl到該點的距

13、離r平方成反比。其方向由右手螺旋法則確定，拇指與四指垂直，四指從Idl經(jīng)小于180°的角轉(zhuǎn)向r時，則伸直拇指所指的方向即代表dB的方向。6-12 在利用磁場聚焦中，電子在B=2×10-3 T的磁場中沿半徑為2cm的螺旋線運動，螺距為5cm，求電子的速度。 解: 已知B=2×10-3 T，h=5cm=5×10-2 m，m=9.1×10-31 kg，q =1.6×10-19 C，根據(jù)磁場聚焦的螺距公式h=2mvcos/(qB) 可得vcos=qBh/(2m)=(1.6×10-19×2×10-3×5&

14、#215;10-2)/( 2×3.14×9.1×10-31) m·s-1 2.8×106 m·s-1 在磁場聚焦中，一般都比較小，vcosv，即電子的速度v2.8×106 m·s-1 。6-13 有一均勻磁場，B=200G，方向垂直于紙面向里，電子的速度為107 m·s-1，方向平行紙面向上，如果要保持電子作勻速直線運動，應(yīng)加多大的電場，其指向什么方向? 解: 由題意可知，電子將受到一個向右的洛倫茲力作用，要想讓電子作勻速直線運動（其運動方向與電流方向相反），可加一向右的電場，使之對電子產(chǎn)生一個方向向左的

15、電場力F2 =Eq，其大小等于向右的洛倫茲力F1 =qvB，即Eq=qvB已知B=200G = 2×10-2 T，v=107 m·s-1，由上式可得電場強度為E=vB=107×2×10-2 N·C-1 =2×105 N·C-1 6-14 把厚度為1.0mm的銅片放于B=1.5T的磁場中，磁場垂直通過銅片，如果銅片載有200A的電流，已知銅的電子密度n=8.4×1028 m-3，求： 銅片上下兩側(cè)的霍爾電勢差； 銅片的霍爾系數(shù)。 解: 已知d=1mm=10-3 m，B=1.5T，I=200A，根據(jù)霍爾電勢差公式得U=

16、kIB/d=(7.44×10-11×200×1.5)/10-3 V=2.23×10-5 V=22.3 V可見，銅的霍爾電勢差很小，主要是因為銅的電子數(shù)密度大，導(dǎo)致霍爾系數(shù)很小。已知電子的電量q =1.6×10-19 C，銅的電子數(shù)密度n =8.4×1028 m-3，代入霍爾系數(shù)公式得k=1/(nq)= 1/(8.4×1028×1.6×10-19) m3·C-1 =7.44×10-11 m3·C-16-15 有三種不同材料的導(dǎo)電薄片，它們的載流子濃度之比為123，厚度之比為12

17、3，當(dāng)通過它們的電流相同，垂直于它們的磁場B也相同時，求它們的霍爾電勢差之比。 解: 根據(jù)霍爾電勢差公式，可得三種材料的霍爾電勢差之比為已知I1 =I2 =I3，B1 =B2 =B3，n1n2n3 =123，d1d2d3 =123，代入上式得 U1U2U3 =16-16 把直徑為0.5cm的血管放在電磁流量計的磁極N、S之間，B=300G，測得感應(yīng)電壓為1.5×10-5 V，求: 血管中血流的平均速度; 血流以平均速度流動時的血流量。 解: 已知D =0.5cm= 5×10-3 m，U =1.5×10-5 V，B =300G=3×10-2 T，代入電磁流

18、量法的血流平均速度公式得血流量Q應(yīng)等于v與血管橫截面積S之積，即6-17 一半圓形閉合線圈，半徑R=10cm，通以電流I=10A，放在B=5000G的均勻磁場中，磁場方向（假設(shè)向右）與線圈平面平行，求線圈所受的力矩大小和方向。 F1-2F2-2n-M-2IIBF1-2F2-2Bn-M-2IIF1-2F2-2Bn-M-2IIF1-2F2-2n-M-2IIB題6-17附 習(xí)題6-17附圖 （a） 習(xí)題6-17附圖 （b）解: 設(shè)線圈平面處于垂直平面內(nèi)，線圈中的電流方向為順時針方向，因為磁場方向（假設(shè)向右）與線圈平面平行，所以線圈法線方向垂直于紙面，指向紙里，與磁場方向的夾角=3/2（即sin=-1

19、）。已知R=10cm=0.1m，I=10A，B=5000G=0.5T，由載流線圈力矩公式可得M=IBS·sin =10×0.5××3.14×(0.1)2×(-1)N·m=-7.85×10-2 N·m力矩M的方向向下，力矩M將使線圈按順時針方向轉(zhuǎn)動，使線圈法線方向與磁場方向一致。若電流方向為逆時針方向，這時線圈法線方向仍垂直于紙面，但指向紙外，力矩M的大小不變，方向向上，M將使線圈沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，使線圈法線方向與磁場方向一致。如果磁場方向向左，線圈又是怎樣旋轉(zhuǎn)?請讀者自己分析。6-18 有一邊長為20cm

20、的正方形線圈，共10匝，通過的電流為100mA，置于B =1.5T的均勻磁場之中，求：該線圈的磁矩；所受到的最大力矩；當(dāng)所受力矩最小時，線圈磁矩方向與磁場方向的夾角。 解: 已知S=20cm×20cm=4.0×10-2 m2，N=10，I=100mA=0.1A，根據(jù)磁矩公式可得正方形線圈的磁矩為Pm =NIS=10×0.1×4.0×10-2 A·m2 = 4.0×10-2 A·m2 已知B=1.5T，由力矩公式M=Pm·Bsin可知，最大力矩為（這時sin=1） M=Pm·B=4.0×

21、10-2×1.5 N·m=6.0×10-2 N·m 由力矩公式M=P·Bsin可知，當(dāng)=0時，M=0，此時力矩最小，線圈磁矩的方向即線圈法線方向與磁場方向一致，或者說線圈平面垂直于磁場方向。6-19 一根導(dǎo)線長為L，載有電流I，把導(dǎo)線繞成N匝圓形線圈，并置于磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，求證：當(dāng)線圈只有一匝時，它受的力矩最大，且等于L2 IB。 證明: 已知導(dǎo)線長度為L，繞成N匝圓形線圈，設(shè)其半徑為R，則有N·2R=L R=由此可得該圓形線圈的面積為S=R2 =由載流線圈的力矩公式可得M=NIBS·sin=NIB·&

22、#183;sin =sin從上式可知，在L、I、B一定，且 = /2時，只有當(dāng)N=1，力矩M才最大，其值為M max =L2 IB證畢。6-20 電量為-10-3 C，質(zhì)量為10-2 kg的帶電粒子，沿X方向以104 m·s-1 的速度進(jìn)入B為2T的磁場，磁場的方向垂直于XY平面并指向紙面向里，求：磁場對帶電粒子作用力的大小和方向；帶電粒子作圓周運動時產(chǎn)生的磁矩大小和方向；帶電粒的動能是否會發(fā)生變化? 解: 已知q=10-3 C，m=10-2 kg，v=104 m·s-1，B=2T，sin=1，則由洛倫茲力公式可計算出帶電粒子所受磁場力的大小F=qvB=10-3×

23、104×2=20N該帶電粒子受力方向向下，即Y的負(fù)方向（因為是負(fù)電荷）。帶電粒子在磁場中作圓周運動，旋轉(zhuǎn)一周所需的時間T=，則該帶電粒子作圓周運動的等效電流為I = q/ T=·q =該圓周的半徑R=mv/( qB)，則其面積為S=R2 =由磁矩公式可得該運動電荷的磁矩為Pm =IS=·=2.5×105 A·m在本題的條件下，負(fù)電荷在洛倫茲力作用下沿順時針方向作圓周運動，故等效電流方向為逆時針方向，根據(jù)右手螺旋法則，磁矩方向應(yīng)垂直于紙面向外。由于洛倫茲力只改變帶電粒子的運動方向，而不改變其速度的大小，所以粒子的動能不會變化。6-21 根據(jù)原子和

24、分子的微觀結(jié)構(gòu)，解釋物質(zhì)為什么具有磁性? 答: 組成物質(zhì)的分子和原子中的每一個電子都同時參與兩種運動，即環(huán)繞原子核的軌道運動和繞其自身軸的自旋運動。兩種運動都會形成磁矩，對外產(chǎn)生一定的磁效應(yīng)，所以物質(zhì)都具有磁性。6-22 就磁性而言，物質(zhì)可分為哪三類? 它們被磁化后的附加磁場各有什么特點? 答: 就磁性而言，物質(zhì)可分為順磁質(zhì)、抗磁質(zhì)、鐵磁質(zhì)。順磁質(zhì)的附加磁場很微弱，與外磁場方向相同；抗磁質(zhì)的附加磁場也很微弱，與外磁場方向相反;鐵磁質(zhì)的附加磁場與外磁場方向相同，它可以比外磁場大幾十到幾千倍。6-23 什么叫超導(dǎo)體、超導(dǎo)態(tài)、超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度、邁斯納效應(yīng)? 答: 具有電阻為零的導(dǎo)電特性的物質(zhì)叫超導(dǎo)體。物

25、質(zhì)處在電阻為零的狀態(tài)叫超導(dǎo)態(tài)。電阻突然為零的溫度叫超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度，又叫臨界溫度。超導(dǎo)體在超導(dǎo)狀態(tài)時，不僅電阻為零，而且具有抗磁性，外界磁場不能滲入超導(dǎo)體內(nèi)，這種現(xiàn)象稱為邁斯納效應(yīng)。6-24 渦旋電場與靜電場有何不同，你能仿照磁場寫出渦旋電場的高斯定理嗎? 答: 渦旋電場與靜電場有兩點區(qū)別：靜電場是無旋場，電場線起于正電荷而終于負(fù)電荷；渦旋電場是有旋場，其電場線是無頭無尾的連續(xù)閉合曲線。靜電場是位場（無旋場），可以引入電勢概念；渦旋電場是渦旋場（非位場），不能引入電勢概念。由于渦旋電場的電場線是閉合曲線，如果在渦旋電場中做一閉合曲面，則由閉合曲面的一側(cè)穿入的電場線必從曲面的另一側(cè)穿出，設(shè)穿入的電通

26、量為負(fù)，穿出的為正，則通過渦旋電場中任意閉合曲面的電通量為零，即 。6-25 如圖所示，矩形線圈在長直載流導(dǎo)線周圍分別作以下的運動，請判斷哪些運動線圈內(nèi)將產(chǎn)生感應(yīng)電流，并標(biāo)出其方向。以速度v平動，方向分別沿導(dǎo)線方向，在紙面上靠近直導(dǎo)線，垂直紙面向紙內(nèi)；繞OO軸轉(zhuǎn)動。 vvv×IOOOOO習(xí)題6-25附圖 解: 根據(jù)電磁感應(yīng)定律，當(dāng)通過一個閉合導(dǎo)體回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電流，且感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總要阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化。由長直載流導(dǎo)線周圍磁場公式B=可知，當(dāng)線圈以速度v沿導(dǎo)線電流方向平動時，各處與載流導(dǎo)線距離a未改變因而通過矩形線圈的磁通量沒有變化

27、，線圈中無感應(yīng)電流。當(dāng)線圈在紙面上靠近直導(dǎo)線時，磁場加強，磁通量增加，線圈中會產(chǎn)生一個順時針方向流動的感應(yīng)電流;當(dāng)線圈垂直紙面在向紙內(nèi)運動時，遠(yuǎn)離載流導(dǎo)線，磁場減弱，磁通量減小，線圈會產(chǎn)生一個逆時針方向流動的感應(yīng)電流。 繞OO軸轉(zhuǎn)動時，雖然上、下兩個矩形線圈所處的磁場未改變，但由于正對磁場方向的有效面積發(fā)生變化，因此當(dāng)它們從平行于紙面轉(zhuǎn)到垂直于紙面時，通過它們的磁通量不斷減少，這時感應(yīng)電流的方向為順時針方向，而從垂直于紙面轉(zhuǎn)到平行于紙面時，磁通量不斷增加，這時感應(yīng)電流的方向為逆時針方向。中間的矩形線圈轉(zhuǎn)動時，由于正對磁場方向的有效面積變化以及相對于直導(dǎo)線的距離變化，所以通過它的磁通量發(fā)生了改變

28、。當(dāng)線圈從右邊平行于紙面轉(zhuǎn)到垂直于紙面時，磁通量減小，感應(yīng)電流的方向為順時針方向，而從垂直于紙面轉(zhuǎn)到左邊平行于紙面時，磁通量增加，感應(yīng)電流為逆時針方向。從左邊平行于紙面轉(zhuǎn)到垂直于紙面時，磁通量減小，感應(yīng)電流為順時針方向，而從垂直于紙面轉(zhuǎn)到右邊平行于紙面時，磁通量增加，感應(yīng)電流為逆時針方向。6-26 長直螺線管長15cm，共繞120匝，截面積為4cm2 ，內(nèi)無鐵心。當(dāng)電流在0.1s內(nèi)自5A減少到0時，求螺線管兩端的自感電動勢；若是通I=15sin100t的交流電，則線圈中感應(yīng)電動勢的最大值是多少? 解: 已知l =15cm=0.15m，N=120匝，S=40cm2 =4×10-3 m2

29、，因管內(nèi)無鐵心，故螺線管內(nèi)磁感應(yīng)強度為B =0 nI =0 I 通過N匝線圈的磁鏈為 = NBS = 0S而=LI，故L=/I=0S = 4×10-7××4×10-3 H= 4.8×10-4 H當(dāng)電流在0.1s內(nèi)自5A減少到0時，螺線管兩端的自感電動勢為自 =L=4.8×10-4×V=2.4×10-2 V若是通過I=15sin100t的交流電，則自=L=L（1500×cos100t）當(dāng)cos100t=1時，線圈中感應(yīng)電動勢最大，其值為max =1500L=1500×3.14×4.8×10-4 V=2.3V6-27 如圖所示，在B=0.01T的磁場中，一長20cm的金屬棒