高數(shù)期末復(fù)習(xí)大全(不掛科!)

1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)與極限函數(shù)與極限第一章第一章)(xfy yxod一、一、 函數(shù)函數(shù)1. 函數(shù)的概念定義定義:df :r)(df 定義域 值域圖形圖形:dxxfyyxc, )(),( 一般為曲線 )設(shè),rd函數(shù)為特殊的映射:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的兩要素: 定義域和對應(yīng)法則2. 函數(shù)的特性有界性 , 單調(diào)性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函數(shù))(:dfdf設(shè)函數(shù)為單射, 反函數(shù)為其逆映射ddff)(:14. 復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈)(:11dfdf1)(:ddgdg則復(fù)合函數(shù)為 )(:dgfdgf5. 初等函數(shù)有限個(gè)常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù)復(fù)合

2、而成的一個(gè)表達(dá)式的函數(shù).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 極限極限1. 極限定義的等價(jià)形式 (以 為例 )0 xx axfxx)(lim00)(lim0axfxx(即 為無窮小)axf)(axfxf)()(00機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則3. 無窮小無窮小的性質(zhì) ; 無窮小的比較 ;常用等價(jià)無窮小: 4. 兩個(gè)重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. 求極限的基本方法 ; 1)1ln(arctanarcsintansinxexxxxxx).0(1)1 ( ;2cos12aaxxxxa三、三、 連續(xù)與間斷連

3、續(xù)與間斷1. 函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf2. 函數(shù)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有界定理 ; 最值定理 ; 零點(diǎn)定理 ; 介值定理 .四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).4)2ln(1:12的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)xxy.2 , 1() 1, 2(,0412022xxx解:定義域?yàn)椋?02cos1lim. 2xxxxx20sin2lim2x. 2xxx22sin2lim0或. 21212)13

4、31 (lim)1323(limxxxxxxx解：解：31)(23131)11 (limxxx.2e12)1323(limxxxx求求3.4.4.)2()2(2cotlim2xxx解：原式.)2(sinlnlim22xxx求.818csclim22xx第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 00sincos1)(. 5xkxxxxxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)處連續(xù)？在為多少時(shí)，函數(shù)求0)(xxfkxxxxxxxkxxsincos1limsincos1lim200解：.21121第二章機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 導(dǎo)數(shù)與微分一、一、 導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) :xxfxxf

5、xfx)()(lim)(0當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)0 x)(xf0 x)(xf 微分微分 :xxfxfd)()(d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 關(guān)系關(guān)系 :可導(dǎo)可微 應(yīng)用應(yīng)用 :(1) 利用導(dǎo)數(shù)定義解決的問題 (3)微分在近似計(jì)算的應(yīng)用(2)用導(dǎo)數(shù)定義求極限1) 推出四個(gè)最基本的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則xxaaanxxcxxnncos)(sin;ln)( ;)( ;0)(1其他求導(dǎo)公式都可由它們及求導(dǎo)法則推出;2) 求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) , 及某些特殊函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);3) 由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 導(dǎo)數(shù)和微分的求法導(dǎo)數(shù)和微分的求法1.

6、 正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則 2. 熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧(1) 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意討論界點(diǎn)界點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相等(2) 隱函數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)微分法(3) 參數(shù)方程求導(dǎo)法(4) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法(可利用微分形式不變性)(5) 高階導(dǎo)數(shù)的求法逐次求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 設(shè),coslnxy 求.ddxy解解:xyddxcos1)sin(xxtan機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .,)(sin. 2xxyxy求求xxysinlnlnyy1xsinlnxxxsincos)cotsinln()(sinxxxxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返

7、回 結(jié)束 )2()(22xxxeexf)21 (2xex)2()21 (2)(22 xxexexf.) 1(42xex).(,)(. 32xfxexfx 求求4. 設(shè)方程.),(02yxfyyxexy求求確確定定解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得021)(yyyxyexy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyxyxeyyey210)()22)(cos(22yxyyyxyx解：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .),(2)sin(. 522yxfyxyyx求求確定函數(shù)確定函數(shù)方程方程.)cos(2)cos(22222yxyxyyxxy6. 設(shè)由方程teytexttcossin確定函數(shù), )(

8、xyy求.dd3的值時(shí)，當(dāng)xyt解解:xydd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(txtytetetetettttcossin)sin(costtttcossinsincos212323213dxdyt時(shí)，當(dāng). 23 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系2. 微分中值定理的應(yīng)用(3) 證明恒等式(2) 證明不等式(1) 驗(yàn)證有關(guān)中值問題的結(jié)論機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用二、二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用. 研究函數(shù)的性態(tài):增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點(diǎn) , 漸近線.

9、解決最值問題 目標(biāo)函數(shù)的建立與簡化 最值的判別問題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 洛必達(dá)法則. 泰勒公式（p138)曲率1. 求.1122的水平和垂直漸近線的水平和垂直漸近線xxeey解解:;111lim22xxxee2211lim0 xxxee機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 . 1y水平漸近線為水平漸近線為. 0 x垂直漸近線垂直漸近線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .12矩形的最大面積軸所圍區(qū)域內(nèi)的與求內(nèi)接于拋物線xxy則設(shè)第一象限的交點(diǎn)為解),1 ,(:2xx )1 (22xxs則矩形面積為20622xs令.93432332s矩形的最大面積為33x則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下

10、頁 返回 結(jié)束 求使其面積設(shè)矩形內(nèi)接于橢圓, 16422yx.為最大的矩形邊長則限的交點(diǎn)為設(shè)矩形與橢圓在第一象解),(:yxxys4矩形面積為164,22yxyx滿足而3)61 (442yys)61 (426244)61 (4422yyyys. 32 ,22因此矩形邊長為2, 30 xys令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為v的有蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時(shí)可使用料最??？rvrrhrs2222220242rvrs32vr 34vh 32v34v解：設(shè)容器的底半徑為r, ，高為h得唯一駐點(diǎn)時(shí)可使用料最省.即當(dāng)容器的底半徑與高分別為與5.5.11(2ln

11、1恒成立）時(shí)，不等式證明：當(dāng)xxxx11(2ln)(xxxxf）證：設(shè)2) 1(221)(xxxf則22) 1() 1(xxx, 0)(1xfx時(shí)，當(dāng)上單調(diào)增加，在區(qū)間1)(xf, 0) 1 ()(1fxfx時(shí)，當(dāng).11(2ln1xxxx）時(shí)，當(dāng)?shù)谒恼乱?、一?求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、幾種特殊類型的積分二、幾種特殊類型的積分不定積分的計(jì)算方法一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法1. 直接積分法直接積分法通過簡單變形, 利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法 .2. 換元積分法換元積分法xxfd)( 第一類換元法第一類換元

12、法tttfd)()( 第二類換元法(注意常見的換元積分類型) (代換: )(tx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 分部積分法分部積分法vuvu d一般經(jīng)驗(yàn): 按“反, 對, 冪, 指 , 三” 的順序,uvd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五五章一、定積分概念與性質(zhì)一、定積分概念與性質(zhì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、微積分基本定理二、微積分基本定理定積分定積分三、定積分的換元積分法三、定積分的換元積分法一、定積分概念與性質(zhì)一、定積分概念與性質(zhì)1、用定積分性質(zhì)估值、比較大小、用定積分性質(zhì)估值、比較大小2、與變限積分有關(guān)的問題、與變限積分有關(guān)的問題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

13、 結(jié)束 二、微積分基本定理二、微積分基本定理)()(d)(afbfxxfba( 牛頓牛頓 - 萊布尼茲公式萊布尼茲公式) 三、定積分的換元積分法三、定積分的換元積分法tfxxfbadd)()(t)(t)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(dxxx1. 12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 dxxx1112dxxdxx11) 1(cxxx1ln22 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxd)1 (. 22)d(1)1 (22xx cx3)(132xxxd)1 (2解：dxex211. 3機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tdtdxtxtx2, 1,12解：令

14、tdtet210原式102ttdedtetett101022. 22210teedxxx0sin2. 4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xdxcos2:0原式解0cos2xx2cos0 xdx20sin21x.25. .cos30dttdxdx求求解解:.cos332xx原式原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 dxx121. 6機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11x. 1解：原式解：原式dxxx022)1 (. 7機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 021121x.210222)1 ()1 (21xxd解：原式解：原式第六六章一、定積分的元素法一、定積分的元素法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下

15、頁 返回 結(jié)束 二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用三、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用1. 平面圖形面積參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程21d)()(ttttta2.旋轉(zhuǎn)體體積繞 x 軸 :繞 y 軸 :)(xyy 2)(xfxdbav2)(yyddcvxxfxfabad)()(21yyfyfadcd)()(21極坐標(biāo)方程d)(212a3. 曲線弧長直角坐標(biāo)方程:xxfsbad)(12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 參數(shù)方程:tttsd)()(22極坐標(biāo)方程:d)()(22s1.求由曲線22yxxy與所圍平面圖形的面積 . 解解: 由2xy2yx 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0(dxxx)(233x012332x3