第十一章 微分方程

1、第十一章第十一章 微分方程微分方程 第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 第三節(jié)第三節(jié) 一階線性微分方程一階線性微分方程第四節(jié)第四節(jié) 一階微分方程的應用舉例一階微分方程的應用舉例第五節(jié)第五節(jié) 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程第六節(jié)第六節(jié) 二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程第七節(jié)第七節(jié) 二階常系數非齊次線性微分方程二階常系數非齊次線性微分方程第八節(jié)第八節(jié) 二階微分方程的應用舉例二階微分方程的應用舉例 在幾何、物理、力學及其他工程實際問題中在幾何、物理、力學及其他工程實際問題中, ,人們經人們經常根據問

2、題提供的條件尋找函數關系常根據問題提供的條件尋找函數關系, ,可是在許多問題中可是在許多問題中, ,往往不能直接找出所研究的函數關系往往不能直接找出所研究的函數關系, ,而有時卻可以列出而有時卻可以列出所研究的函數及其導數之間的關系式所研究的函數及其導數之間的關系式, ,這種關系式就是所這種關系式就是所謂微分方程謂微分方程, ,微分方程建立后微分方程建立后, ,再通過求解微分方程再通過求解微分方程, ,可以可以得到所要尋求的未知函數得到所要尋求的未知函數. .本章主要介紹微分方程的基本本章主要介紹微分方程的基本概念和常見的幾種類型的微分方程及其解法概念和常見的幾種類型的微分方程及其解法, ,并

3、通過舉例并通過舉例給出微分方程在實際問題中的一些簡單應用給出微分方程在實際問題中的一些簡單應用. . 第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念我們先通過幾個實例來說明微分方程的基本概念我們先通過幾個實例來說明微分方程的基本概念.321yxo圖圖 11-1例例 2 2 一一質質量量為為 m 的的質質點點，從從高高 h 處處，只只受受重重力力作作用用從從靜靜止止狀狀態(tài)態(tài)自自由由下下落落，試試求求其其運運動動方方程程. ox地面地面圖圖 11-2h 微分方程中出現的未知函數的導數的最高階數，微分方程中出現的未知函數的導數的最高階數，稱為微分方程的階稱為微分方程的階. 例如，例例如，例1中的

4、（中的（1）式是一階微分方程，例）式是一階微分方程，例2中中的（的（5）式是二階微分方程）式是二階微分方程. 如果將某個函數及其導數代入微分方程中，使該如果將某個函數及其導數代入微分方程中，使該方程左邊恒等于右邊，則稱此函數為微分方程的解方程左邊恒等于右邊，則稱此函數為微分方程的解. 例如，例例如，例1中的（中的（3）和（）和（4）式所表示的函數都）式所表示的函數都是方程（是方程（1）的解；例）的解；例2中（中（8）和（）和（9）式都是方程）式都是方程（5）的解）的解. 如果方程的解中所含相互獨立的任意常數的個數如果方程的解中所含相互獨立的任意常數的個數與方程的階數相同，這種解稱為為微分方程的

5、通解與方程的階數相同，這種解稱為為微分方程的通解. 例如，例例如，例1中的（中的（3）式是方程（）式是方程（1）的通解；例）的通解；例2中的（中的（8）式是方程（）式是方程（5）的通解）的通解. 若給方程通解中的所有任意數以確定的值，就得若給方程通解中的所有任意數以確定的值，就得到微分方程的特解，即不包含任意常數的解，稱為微到微分方程的特解，即不包含任意常數的解，稱為微分方程的特解分方程的特解. 例如，例例如，例1中的（中的（4）式是方程（）式是方程（1）的特解；例）的特解；例2中的（中的（9）式是方程（）式是方程（5）的特解）的特解. 所有任意常數的確定，要根據方程所給出的附加所有任意常數的

6、確定，要根據方程所給出的附加條件，在本課程中所指附加條件就是初始條件條件，在本課程中所指附加條件就是初始條件. 例如，例例如，例1中的（中的（2）式是方程（）式是方程（1）的初始條件；）的初始條件；例例2中的（中的（6）式是方程（）式是方程（5）的初始條件）的初始條件.例例 3 3 驗驗證證（1）22sin2 ;(2)e ;(3)3exxyxyy中中哪哪些些是是微微分分方方程程20yy的的解解，哪哪個個是是滿滿足足初初始始條條件件01xy的的特特解解. （3）因因把把23exy ，26exy 代代入入20yy，得得 左左邊邊=226e6e0 xx=右右邊邊. 而而將將0 x 代代入入23exy

7、 中中，得得03xy. 作業(yè)：習題作業(yè)：習題11-1，2（1，3，5，7），），3（1，3） 第二節(jié) 可分離變量的微分方程這這就就是是前前面面討討論論過過的的已已分分離離變變量量的的方方程程.將將方方程程轉轉化化為為已已分分離離變變量量的的方方程程的的方方法法稱稱為為分分離離變變量量法法. 解解 鈾鈾的的衰衰變變速速率率就就是是 m t對對時時間間 t 的的導導數數ddmt，由由于于鈾鈾的的衰衰變變速速率率與與其其含含量量成成正正比比，所所以以得得微微分分方方程程 ddmmt 其其中中(0) 是是常常數數， 叫叫做做衰衰變變系系數數， 的的前前置置負負號號是是由由于于當當 t 增增加加時時 m

8、 單單調調減減少少，即即d0dmt的的緣緣故故. 例例 4 4 放射性元素鈾由于不斷的有原子放射出微粒放射性元素鈾由于不斷的有原子放射出微粒子而變成其他元素，鈾的含量就不斷減少，這種現象叫子而變成其他元素，鈾的含量就不斷減少，這種現象叫做衰變做衰變.由原子物理學知道， 鈾的衰變速率與當時未衰變由原子物理學知道， 鈾的衰變速率與當時未衰變的原子的含量的原子的含量m成正比成正比.已知已知 0t 時鈾的含量為時鈾的含量為 0m，求在衰變過程中鈾的含量求在衰變過程中鈾的含量 m t隨時間隨時間 t 變化的規(guī)律變化的規(guī)律. mm0ot 圖圖11-3有的微分方程通過適當的變量代換后，也可以化為可分有的微分

9、方程通過適當的變量代換后，也可以化為可分離變量的方程離變量的方程.例例 5 5 求求微微分分方方程程d2dyxyxyx的的通通解解. 第三節(jié)第三節(jié) 一階線性微分方程一階線性微分方程 上述通過把齊次線性方程通解中的任意常數上述通過把齊次線性方程通解中的任意常數c變易變易為待定函數為待定函數c(x)，然后求出非齊次線性方程通解的這種，然后求出非齊次線性方程通解的這種方法，稱為常數變易法方法，稱為常數變易法. 下面我們來分析非齊次線性方程（下面我們來分析非齊次線性方程（1）的通解結構）的通解結構.例例 1 1 求方程求方程22 2(1)2(1)xyxyx的通解的通解. 解解 將將原原方方程程改改寫寫

10、成成 22211xyyxx ， 這是一階非齊次線性方程這是一階非齊次線性方程. 方法一方法一 常數變易法常數變易法有有時時方方程程不不是是關關于于d,dyyx的的線線性性方方程程，但但如如果果把把 x看看成成y的的函函數數，方方程程就就是是關關于于d,dxxy的的線線性性方方程程，這這時時也也可可以以利利用用類類似似于于前前面面討討論論的的常常數數變變易易法法或或公公式式法法求求解解. 例例 2 2 求方程求方程3ddyyxxy的通解的通解. 方方法法一一 用用公公式式法法求求解解. 因因為為 21( ),( )p yq yyy ， 由由公公式式得得原原方方程程的的通通解解為為 11dd( )

11、d( )d2e( )ed )e(ed )yyp yyp yyyyxcq yycyy 3(d )2yy cy ycy 方方法法二二 用用常常數數變變易易法法求求解解 先先求求得得對對應應的的齊齊次次線線性性方方程程 d0dxxyy 的的通通解解為為 x=cy， 再令再令( )xc y y，代入原方程得，代入原方程得 2ddcyyy， 由由ddcyy，分離變量并兩邊積分，得，分離變量并兩邊積分，得 21( )2c yyc ， 故原方程的通解為故原方程的通解為 2311()22xyycycy 第四節(jié)第四節(jié) 一階微分方程的應用舉例一階微分方程的應用舉例 學習的目的在于應用，在本節(jié)我們將通過舉例著重學習

12、的目的在于應用，在本節(jié)我們將通過舉例著重介紹一階微分方程的一些簡單應用和利用一階微分方程介紹一階微分方程的一些簡單應用和利用一階微分方程解決實際問題的一般步驟解決實際問題的一般步驟. 利用微分方程解決幾何、物理等實際問題的一般步利用微分方程解決幾何、物理等實際問題的一般步驟如下：驟如下： (1)根據題設條件，利用已知的公式或定理，建立相根據題設條件，利用已知的公式或定理，建立相應的微分方程及確定初始條件；應的微分方程及確定初始條件； (2)分辨所建立的微分方程的類型，運用相應解法求分辨所建立的微分方程的類型，運用相應解法求出其通解；出其通解； (3)利用初始條件，定出通解中的任意常數，求得滿利

13、用初始條件，定出通解中的任意常數，求得滿足初始條件的特解；足初始條件的特解； (4)根據某些實際問題的需要，利用所求得的特解來根據某些實際問題的需要，利用所求得的特解來解釋問題的實際意義或求得題設所需的其他結果解釋問題的實際意義或求得題設所需的其他結果.以上四個步驟中列方程、解方程是重點以上四個步驟中列方程、解方程是重點.例例 1 1 一一曲曲線線通通過過點點（2，3） ，在在該該曲曲線線上上任任一一點點p(x,y)處處的的法法線線與與 x 軸軸的的交交點點為為 q， 且且線線段段 pq 恰恰被被 y 軸軸平平分分，求求此此曲曲線線方方程程. p(x,y)qoyx 圖圖11-4 解解 i i)

14、 )列列方方程程并并確確定定初初始始條條件件. . 設設降降落落傘傘下下落落速速度度為為 v(t)，降降落落傘傘 在在空空中中下下落落時時，同同時時受受到到重重力力 p 與與阻阻力力 r 的的作作用用（圖圖 11-5）.重重力力 大大小小為為 mg 方方向向與與 v 一一致致，阻阻力力大大 小小為為 kv（k 為為比比例例系系數數） ，方方向向與與 v 相相反反，從從而而降降落落傘傘所所受受外外力力為為 f=mg-kv 例例 2 2 設降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速設降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比， 并設降落傘離開跳傘塔時度成正比， 并設降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度

15、為零， 求降速度為零， 求降落傘下落速度與時間的函數關系落傘下落速度與時間的函數關系. 圖圖 11-5p=mgr=kvi iv v）實實際際問問題題的的物物理理意意義義. . 由由（4）式式可可以以看看出出，隨隨著著時時間間 t 的的增增大大，速速度度 v 逐逐漸漸接接近近于于常常數數,mgk且且不不會會超超過過mgk，也也就就是是說說，跳跳傘傘后后開開始始階階段段是是加加速速度度運運動動，但但以以后后逐逐漸漸接接近近于于勻勻速速運運動動. 作業(yè)：習題作業(yè)：習題11-4 1，2，4第五節(jié)第五節(jié) 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程二階及二階以上的微

16、分方程統(tǒng)稱為高階微分方程.高階微分方程在工程技術有著廣泛的應用高階微分方程在工程技術有著廣泛的應用.高階微分方高階微分方程的求解一般要比一階微分方程復雜，能夠求解的類型程的求解一般要比一階微分方程復雜，能夠求解的類型也不多，其中最簡單的也不多，其中最簡單的 n 階微分方程為階微分方程為 ( )( ).nyf x （1） 因為方程（因為方程（1）可以通過逐次積分，即）可以通過逐次積分，即 (1)1(2)12( )d,( )dd,nnyf xxcyf xxcxc . . . . . . 直到積分直到積分 n 次次后就得到其通解后就得到其通解 y 的表達式（其中含的表達式（其中含 n 個個任意常數）

17、 ，如第一節(jié)的任意常數） ，如第一節(jié)的例例 2，這里就不在舉例了，這里就不在舉例了. 例例 1 1 求方程求方程exyyxx的通解的通解. 解解 所所給給方方程程中中不不含含未未知知數數 y 及及自自變變量量 x， 這這也也是是不不含含 y 的的可可降降階階的的二二階階微微分分方方程程. 令令d,dpyp yx代代入入原原方方程程，得得 230,pp 即即 2d3d .pxp 所所以以原原方方程程的的通通解解為為 212( e)dee2xxxcyxc xxxxc 21121ee().2xxcxc xc c 例例 2 求 微 分 方 程求 微 分 方 程230yy滿 足 初 始 條 件滿 足 初

18、 始 條 件00|0,|1xxyy 的特解的特解. 二二、( ,)yf y y型型 第六節(jié)第六節(jié) 二階常系數齊次線性微分方程二階常系數齊次線性微分方程 一、二階齊次線性微分方程解的性質和通解結構一、二階齊次線性微分方程解的性質和通解結構 二階齊次線性微分方程（二階齊次線性微分方程（2 2）的解，具有下面的性質）的解，具有下面的性質: : 證證 因因 為為12,y y是是 方方 程程 （ 2 2 ） 的的 解解 ， 所所 以以11122( )( )0,( )yp x yq x yyp x y2( )0.q x y將將（5 5）代代入入（2 2）式式左左端端，得得 左左端端 11221122112

19、2()( )()( )()c yc yp x c yc yq x c yc y 11112222( )( )( )( )c yp x yq x ycyp x yq x y 12000cc 右右端端， 故故1122c yc y是是方方程程（2 2）的的解解. . 定定理理 1 1 如如果果函函數數1( )y x與與2( )yx是是方方程程 （2 2） 的的兩兩個個解解，那那么么 1122( )( )yc y xc yx （5 5） 也也是是（2 2）的的解解，其其中中12,c c是是任任意意常常數數. . 例例 1 1 對對于于二二階階齊齊次次線線性性微微分分方方程程 20yyy，驗驗 證證21

20、123e,e ,exxxyyy是是 它它 的的 解解 ， 并并 證證 明明212eexxcc是是原原方方程程的的通通解解，而而113eexxcc是是原原方方程程的的解解但但不不是是通通解解. . 現在我們研究二階常系數齊次線性微分方程（現在我們研究二階常系數齊次線性微分方程（3 3） ，即） ，即20yyy的解法的解法. .如何求得方程 （如何求得方程 （3 3） 的兩個線性無關） 的兩個線性無關的特解呢？我們知道，指數函數的特解呢？我們知道，指數函數erxy （r 為常數）的各為常數）的各階導數仍為指數函數階導數仍為指數函數 erx乘以一個常數乘以一個常數. .而且方程（而且方程（3 3）的

21、）的系數是常數系數是常數. .因此，要使方程（因此，要使方程（3 3）的右端）的右端 2yyy為為零，可以設想方程（零，可以設想方程（3 3）的一個待解為）的一個待解為erxy ，其中，其中 r 為待為待定常數定常數. . 對對于于一一般般情情形形有有如如下下定定理理： 定定理理 2 2 （二二階階齊齊次次線線性性微微分分方方程程通通解解的的結結構構定定理理）如如果果函函數數12( ),( )y x yx是是二二階階齊齊次次線線性性微微分分方方程程（2 2）的的兩兩個個線線性性無無關關（即即12yy常常數數）的的特特解解，則則方方程程（2 2）的的通通解解為為1122( )( )yc y xc

22、 yx( (其其中中12,c c為為任任意意常常數數) ). . 設設12e( )r xyu x( (這這時時21( )yu xy常常數數) )是是方方程程（3 3）的的另另一一個個解解. 將將222,yyy代代入入方方程程（3 3）得得( ),u xx即即12e ,r xyx則則方方程程( (3 3) )的的通通解解為為112()er xycc x其其中中12,c c是是任任意意常常數數. . 例例 3 3 求求微微分分方方程程 22dd440ddssstt 滿滿足足初初始始條條件件00d1,3dttsst的的特特解解. 為了求特解，將上式對為了求特解，將上式對 t 求導，得求導，得 112

23、2122d1ee ,d2ttscc tct 將初始條件將初始條件00d1,3dttsst分別代入以上兩式，得分別代入以上兩式，得 1251,.2cc 于是所求滿足初始條件特解為于是所求滿足初始條件特解為 1251e .2tst 例例 4 求求微微分分方方程程270yyy的的通通解解。 第七節(jié)第七節(jié) 二階常系數非齊次線性微分方程二階常系數非齊次線性微分方程 一、一、 二階常系數非齊次線性微分方程的性質和二階常系數非齊次線性微分方程的性質和通解結構通解結構 二、二、( )e( )xmf xp x型型 這時，方程（這時，方程（3 3）成為）成為 ( )exmypyqyp x （4 4） 我們知道，方

24、程（我們知道，方程（4 4）的特解）的特解*y是使方程（是使方程（4 4）成為）成為恒等式的函數恒等式的函數. .由于方程（由于方程（4 4）的右端是多項式與指數函）的右端是多項式與指數函數數ex的乘積，而多項式與指數函數乘積的各階導數仍是的乘積，而多項式與指數函數乘積的各階導數仍是多項式與指數函數的乘積，根據方程（多項式與指數函數的乘積，根據方程（4 4）左端各項的系）左端各項的系數均為常數的特點，設方程（數均為常數的特點，設方程（4 4）的特解形式為）的特解形式為 *( )ekxmyx qx （5 5） 其中其中 2220,01,02,0rprqkrprqrprq；當 不是特征方程的根當

25、不是特征方程的根當 是特征方程的單根當 是特征方程的單根當 是特征方程的重根當 是特征方程的重根 將將*y ，*y ，*y代代入入原原方方程程，化化簡簡后后約約去去 2ex，得得 0012(2)b xbbx 解解 特特征征方方程程為為 2320rr ， 特特征征根根為為 11r ， 22r ， 故故得得原原方方程程對對應應的的齊齊次次方方程程的的通通解解 212eexxycc 因因為為2( )exf xx，2是是單單特特征征根根，( )mp xx是是一一次次多多項項式式，由由（5 5）式式，設設特特解解 *2220101()e()exxyx b xbb xb x 因因 *22220101(2e

26、e )2e ()xxxyb xbb xb x 2201012(22)exb xbb xb *22001014(84 )(24 ) exyb xbb xbb ， 例例 1 1 求求微微分分方方程程232exyyyx的的通通解解. . 分分別別比比較較 x 的的系系數數和和常常數數項項，得得 00121,20,bbb 解解出出得得011,1,2bb 特特解解*21(1)e2xyxx 故故原原方方程程的的通通解解為為 *22121ee(1)e2xxxyyyccxx. . 例例 2 2 求求微微分分方方程程142yyx滿滿足足000,0 xxyy的的解解. . 所所以以對對應應的的齊齊次次方方程程的的

27、通通解解為為 12cos2sin2ycxcx 因因0不不是是特特征征方方程程的的根根，故故設設*yaxb，得得 *,0ya y， 把把*y, ,*y, ,*y代代入入原原方方程程，得得 14()2axbx， 由由待待定定系系數數法法*11,4,182840,0,aayxbb求得所以. . 通通解解為為 121cos2sin2.8ycxcxx 010210,0,0,16xxycyc 又由得得故特解為11sin2168yxx . . 三、三、( )cossinf xawxbwx型型 例例 3 3 求微分方程求微分方程3220cos2yyyx的通解的通解. . 于于是是，所所求求特特解解為為 *co

28、s23sin2 .yxx 故故原原方方程程的的特特解解為為212eecos23sin2xxyccxx. . 例例 4 4 求求微微分分方方程程4sinyyx的的通通解解. . 第八章第八章 二階微分方程的應用舉例二階微分方程的應用舉例 在在本本章章第第四四節(jié)節(jié)中中，我我們們曾曾介介紹紹過過利利用用一一階階微微分分方方程程解解決決實實際際問問題題的的步步驟驟， 并并列列舉舉了了若若干干一一階階微微分分方方程程的的應應用用實實例例. .利利用用可可降降階階的的二二階階微微分分方方程程和和二二階階常常系系數數線線形形微微分分方方程程解解決決實實際際問問題題的的一一般般步步驟驟與與一一階階微微分分方方程程的的情情形形類類似似，這這里里不不在在重重復復，下下面面列列舉舉幾幾個個事事例例，以以說說明明二二階階微微分分方方程程的的某某些些簡簡單單應應用用. . 例例 1 1 設設質質量量為為 m 的的物物體體在在沖沖擊擊力力的的作作用用下下得得到到初初速速度度 v0在在一一水水面面上上滑滑動動，作作用用于于物物體體的的摩摩擦擦力力為為-km( (k 為為常常數數) )，求求該該物物體體的的運運動動方方程程，并并問問物物體體能能滑滑多多遠遠？ 解解