課時作業(yè)(三十八)　空間幾何體及其表面積、體積

1、課時作業(yè)(三十八)空間幾何體及其表面積、體積1(多選)(2020上海大學(xué)附中月考)下列命題是假命題的是()A有兩個側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱B正四面體是特殊的正四棱柱C有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體叫做棱錐D正四棱柱是平行六面體ABCA 項(xiàng)，當(dāng)兩個側(cè)面是矩形且相鄰時，四棱柱是直四棱柱，當(dāng)兩個側(cè)面是矩形且不相鄰時，四棱柱不一定是直四棱柱，故 A 項(xiàng)錯誤；B 項(xiàng)，正四面體是三棱錐，故 B 項(xiàng)錯誤；C 項(xiàng)，棱錐是有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體，故C 項(xiàng)錯誤；D 項(xiàng)，正四棱柱是平行六面體，故 D 項(xiàng)正確故選 ABC.2將一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直

2、線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括()A一個圓臺、兩個圓錐B兩個圓臺、一個圓柱C兩個圓柱、一個圓臺D一個圓柱、兩個圓錐D從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂直，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個直角三角形， 一個矩形， 所以一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個圓柱，兩個圓錐所組成的幾何體如圖所示3 正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2， 側(cè)棱長為 3 ， D為BC中點(diǎn)， 則三棱錐AB1DC1的體積為()A3B32C1D32C由題意可知 ADBC， 由面面垂直的性質(zhì)定理可得 AD平面 DB1C1， 又 AD2sin60 3 ，所以 VA B1DC113ADSB1DC113 3 122

3、3 1，故選 C.4 (2020全國卷)已知ABC 是面積為9 34的等邊三角形， 且其頂點(diǎn)都在球 O 的球面上若球 O 的表面積為 16，則 O 到平面 ABC 的距離為()A 3B32C1D32C設(shè)等邊三角形 ABC 的邊長為 a，因?yàn)槠涿娣e為934，所以12a32a9 34，解得 a3，則外接圓半徑 r2332a33a 3 .設(shè)球 O 的半徑為 R，因?yàn)榍?O 的表面積為 16，所以 4R216，得 R24.所以 O 到平面 ABC 的距離 d R2r21，故選 C.5(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn) M，N，若線段 M，N 的最小值為 3 1，則()A正方體的外接球的表

4、面積為 12B正方體的內(nèi)切球的體積為43C正方體的棱長為 2D線段 MN 的最大值為 2 3ABC設(shè)正方體的棱長為 a，則正方體的外接球的半徑為對角線的一半，即 R32a，內(nèi)切球?yàn)槔忾L的一半，即 ra2，由于 M 和 N 為外接球和內(nèi)切球上的動點(diǎn)，對于 C：所以 MNmin32aa2 3 1，解得 a2.故 C 正確；對于 A：所以外接球的表面積為 S4( 3 )212，故 A 正確；對于 B：內(nèi)切球的體積為 V431343，故 B 正確；對于 D：線段 MN 的最大值為32aa2 3 1，故 D 錯誤故選ABC.6有一個長為 5 cm，寬為 4 cm 的矩形，則其直觀圖的面積為_解析：由于該

5、矩形的面積 S5420(cm2)，所以其直觀圖的面積 S24S5 2 (cm2).答案：5 2 cm27給出下列說法：球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線段；球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)的連線段；用一個平面截一個球面，得到的是一個圓；球常用表示球心的字母表示其中正確的是_；錯誤的是_解析：根據(jù)球的定義直接判斷正確；錯誤；用一個平面截一個球面，得到的是一個圓；可以是小圓，也可能是大圓，正確；球常用表示球心的字母表示滿足球的定義正確答案：；8如圖，在四棱錐 PABCD 中，四邊形 ABCD 是邊長為 2 的正方形，且 PAPBPCPD，已知四棱錐的表面積是 12，則它的體積為_解析：由題意可知四棱錐

6、P-ABCD 為正四棱錐，設(shè) AC 交 BD 于點(diǎn) O，連接 PO，則PO 是四棱錐的高設(shè)正四棱錐的斜高為 h，則 224122h12，解得 h2，則正四棱錐的高 PO 2212 3 .正四棱錐的體積 V134 3 4 33.答案：4 339如圖所示，在側(cè)棱長為 23 的正三棱錐 VABC 中，AVBBVCCVA40，過 A 作截面 AEF，求AEF 周長的最小值解析：如圖，將三棱錐沿側(cè)棱 VA 剪開，并將其側(cè)面展開平鋪在一個平面上，則線段 AA1的長即為所求AEF 的周長的最小值取 AA1的中點(diǎn) D，連接 VD，則 VDAA1，AVD60.在 RtVAD 中，ADVAsin 603，所以 A

7、A12AD6，即AEF 周長的最小值為 6.10.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個倉庫， 它由上下兩部分組成， 上部的形狀是正四棱錐 PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高 O1O 是正四棱錐的高 PO1的 4 倍，若 AB6 m，PO12 m，則倉庫的容積是多少？解析：由 PO12 m，知 O1O4PO18 m.因?yàn)?A1B1AB6 m，所以正四棱錐 PA1B1C1D1的體積V錐13A1B21PO11362224(m3)；正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2O1O628288(m3)，所以倉庫的容積 VV錐V柱24288312(m3).

8、故倉庫的容積是 312 m3.11(多選)如圖，圓錐頂點(diǎn)為 P，底面圓心為 O，過軸 PO 的截面 PAB，C 為 PA 中點(diǎn)，PA4 3 ，PO6，下列正確的是()A截面 PAB 的面積為 12 3B圓錐的體積為 36C圓錐的表面積為 12D從點(diǎn) C 經(jīng)圓錐側(cè)面到點(diǎn) B 的最短距離為 2 15ACD由已知的 AO （4 3）2622 3 ，截面 PAB 的面積為124 3 612 3 ；圓錐的體積為13(2 3 )2624；圓錐的表面積為(2 3 )22 3 4 3 36；沿圓錐母線 PA 剪開再展開，則圓錐底面周長為 4 3 ，展開后所得扇形為半圓，B 到 B處，則從點(diǎn) C 經(jīng)圓錐側(cè)面到點(diǎn)

9、 B 的最短距離為 （2 3）2（4 3）22 15 .故選 ACD.12(2020福建省質(zhì)量檢測)某學(xué)生到工廠實(shí)踐，欲將一個底面半徑為 2，高為 3 的實(shí)心圓錐體工件切割成一個圓柱體， 并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面內(nèi) 若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是()A169B89C1627D827A如圖，OC2，OA3，由AEDAOC 可得EDOCAEAO.設(shè)圓柱體的底面半徑 rED2x(0 x1)，可得 AE3x，則圓柱體的高 hOE33x，圓柱體的體積 V(2x)2(33x)12(x2x3)，令 V(x)12(x2x3)，則 V(x)12(2x3x2)，令 V(x)0，解得 x23或

10、 x0(舍去)，可得 V(x)在(0，23)上單調(diào)遞增，在(23，1)上單調(diào)遞減，故當(dāng) x23時，V(x)取得最大值，V(x)max169，即圓柱體的最大體積是169.13如圖所示，從三棱錐 PABC 的頂點(diǎn) P 沿著三條側(cè)棱 PA，PB，PC 剪開成平面圖形得到P1P2P3，且 P2P1P2P3.(1)在三棱錐 PABC 中，求證：PABC；(2)若 P1P226，P1P320，求三棱錐 PABC 的體積解析：(1)證明：由題設(shè)知 A，B，C 分別是 P1P3，P1P2，P2P3的中點(diǎn)，且 P2P1P2P3，從而 PBPC，ABAC，取 BC 的中點(diǎn) D，連接 AD，PD(圖略)，則 ADB

11、C，PDBC，又 ADPDD，BC平面 PAD.又 PA平面 PAD，故 PABC.(2)由題設(shè)有ABAC12P1P213，PAP1ABC10，PBPCP1B13，ADPD AB2BD212，在等腰三角形 DPA 中，底邊 PA 上的高 hAD212PA2 119 ，SDPA12PAh5 119 .又 BC平面 PAD，VPABCVBPDAVCPDA13BDSDPA13DCSPDA13BCSPDA13105 119503119 .14(創(chuàng)新型)如圖，正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為 1，點(diǎn) E 在線段 BB1和線段 A1B1上移動，EAB，(0，2)，過直線 AE，AD 的平面 ADF

12、E 將正方體分成兩部分記棱 BC 所在部分的體積為 V()，則函數(shù) VV()，(0，2)的大致圖象是()C當(dāng)(0，4)時，BEtan，則棱 BC 所在部分的體積 V()12tan，所以當(dāng)(0，4)時， 函數(shù) V()的圖象與三角函數(shù) ytan的圖象相似， 因此排除 A， B； 當(dāng)(4，2)時，A1Etan (2)，則棱 BC 所在部分的體積 V()112tan (2)，則函數(shù) VV()，(0，2)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4，12)對稱，因此排除 D.故選 C.15中國古代數(shù)學(xué)家劉徽九章算術(shù)注中記述：羨除，隧道也，其形體上面平而下面斜，一面與地面垂直，并用“分割法”加以剖分求其體積如圖所示的五面體 ABCD

13、EF 是一個羨除，兩個梯形側(cè)面 ABCD 與 CDEF 相互垂直，ABCDEF.若 AB1，EF2，CD3，梯形 ABCD 與 CDEF 的高分別為 h13 和 h21，則該羨除的體積 V_；由此歸納出求羨除體積的一般公式為 V_解析：在平面 ABCD 內(nèi)，過 A，B 兩點(diǎn)分別作 CD 的垂線，垂足分別為 G，H，在平面 CDEF 內(nèi)，過 G，H 兩點(diǎn)分別作 EF 的垂線，垂足分別為 M，N.由平面 ABCD 與平面 CDEF 垂直知，AGMG，BHHN，又ABCDEF，所以易證平面 AGM平面 BHN，且 GH平面 AGM，所以幾何體 AGM-BHN 為直棱柱將羨除 ABCDEF 分割成兩個四棱錐 ADEMG，B-HNFC 和一個直棱柱 AGM-BHN.所以所求幾何體體積 VABCDEFV直棱柱AGM-BHNV四棱錐A-DEMGV四棱錐B-HNFGSAGM GH13S四邊形DEMG