初中數(shù)學(xué)課本中的藍(lán)籌題

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載初中數(shù)學(xué)“藍(lán)籌題”有效運(yùn)用的探索寧波市鄞州區(qū)鄞江鎮(zhèn)中心初級中學(xué)田海霞 （315151）股市中，投資者把那些有代表性的、質(zhì)地最好的、具有良好發(fā)展前景的大公司的股票稱作藍(lán)籌股。在初中數(shù)學(xué)中，一些題目在教學(xué)價(jià)值方面具有突出的代表性，在命題價(jià)值方面具有廣泛的基礎(chǔ)性，在解題價(jià)值方面有良好的發(fā)展性，因此，可將其稱為 “藍(lán)籌題”。以浙教版九下P17 作業(yè)題第6 題為例 . 本題的設(shè)計(jì)，是以一個(gè)基本圖形和核心概念為基礎(chǔ)，讓學(xué)生在深刻理解數(shù)學(xué)概念和準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)定理的基礎(chǔ)上，借助數(shù)學(xué)直覺，提煉基本圖形所隱含的性質(zhì)和結(jié)論，完成求解. 因?yàn)楸绢}在圖形折疊領(lǐng)域中占有重要支配

2、性地位，還能以變換背景折疊、變換位置折疊、多次折疊、逆向折疊等方式拓展延伸，故而筆者對它在教學(xué)實(shí)踐中的有效運(yùn)用進(jìn)行了探索, 為教師在教學(xué)活動中切實(shí)把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和有效推進(jìn)輕負(fù)高質(zhì)教學(xué)提供一些有益的啟示。1.問題呈現(xiàn)如圖 1，在一張長方形ABCD 中， AD 25cm,AB 20cm ，點(diǎn) P， Q 分別為AB ，CD 的中點(diǎn) . 現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求 DAE 的大小及QG 的長 .直角三角形折疊作為一種簡單而優(yōu)美的圖形，它既反映了三角形全等的所有特征，還能與圖形軸對稱變換等重要的幾何方法有機(jī)地融為一體.1.1 背景溯源追溯本題原型，實(shí)質(zhì)就是一個(gè)直角三角形以它的斜邊為折痕折疊的問題. 如

3、圖2，直角ABE 以斜邊 AE 為折痕折疊，得到直角AGE ，運(yùn)用圖形軸對稱變換的性質(zhì)，易證AGE ABE . 再將直角 ABE 補(bǔ)成矩形ABCD ，點(diǎn) P，Q 分別為AB ， CD 的中點(diǎn)，這時(shí)點(diǎn)G 落在 PQ 上，題目就是這樣演變而來 .1.2 問題分析在問題解決的過程中，要認(rèn)真分析題目的條件：直角ABE 以斜邊AE 為折痕折疊，得到直角 AGE ，且點(diǎn) G 落在長方形ABCD 的一條對稱軸PQ 上；再分析題目結(jié)論：求 DAE 的大小及QG 的長，可以解直角三角形和運(yùn)用勾股定理解得. 因此根據(jù)有關(guān)信息和圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)合理選擇AGE ABE 的 AG=AB的性質(zhì)，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口 A

4、P=1 AG，則在 Rt APG 中， AGP=30° ,GP=103 ，那么 GAP=60°，進(jìn)而得到 GAE=2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載EAB=30°, DAE= 60° , QG=25-103 .從上述分析可知，能否得心應(yīng)手地運(yùn)用基本圖形，取決于兩個(gè)方面：一是對基本圖形性質(zhì)掌握的深刻程度；二是理解基本圖形的性質(zhì)都是以怎樣的方式發(fā)揮作用. 通過對上述問題的分析既能使學(xué)生體驗(yàn)到認(rèn)識事物的基本方法，也能幫助學(xué)生深刻理解問題的本質(zhì).2.運(yùn)用拓展為了更好地挖掘本題的潛質(zhì)，發(fā)揮出其更好的教學(xué)功能，筆者對其進(jìn)行以下幾方面的拓展延伸 .2.1 變換背景折疊教學(xué)過程中必

5、須重視思維，重視基礎(chǔ)知識的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系，重視掌握基本思想方法，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移能力. 這樣學(xué)生在面對陌生的題目背景時(shí)也能自主探究，利用已有的知識和信息獨(dú)立解決問題. 下面介紹一些典型的背景變換.2.11 以梯形為背景DQC如圖 8 ，在一張?zhí)菪蜛BCD中， BC 25cm, AB 20cm ，點(diǎn) P，GQ 分別為 AB ， CD 邊上的點(diǎn)，AP=kAB ， PQ AB 于點(diǎn) B . 現(xiàn)將這E張紙片按圖示方式折疊，求QG的長.BAP在充分考察圖形的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)問題的“變”與“不變”因素，圖 8進(jìn)一步分析“變”與“不變”的邏輯關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圖形的本質(zhì)特征，得到QG 的長仍為 25 201k2.CQ

6、2.12 以三角形為背景G如圖 9 ，在一張直角ABC 中， BC 25cm, AB 20cm ，點(diǎn) P，EQ 分別為 AB ，斜邊 AC 上的點(diǎn)， AP=kAB ， PQ AB 于點(diǎn) B. 現(xiàn)將這AP BQG的長.圖9張紙片按圖示方式折疊，求分析：結(jié)合相似三角形的性質(zhì)及以上規(guī)律，易得QG= 25k 20 1 k 2.2.13 以圓為背景C1 B 中， AB 20cm ，點(diǎn) P， Q 分別為 AB ，弧Q如圖 10，在一張G4EAC 上的點(diǎn)， AP=kAB， PQ AB 于點(diǎn) B . 現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求QG 的長 .A圖10PB分析：聯(lián)想圓的常用輔助線，連結(jié)半徑BQ ，運(yùn)用勾股定理

7、得到PQ=20 2k k 2，從而得到 QG= 20 2kk 2 20 1 k2. 若再拓展下去，此題k 的取值優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載范圍為 1 k 1.22.14 以平面直角坐標(biāo)系為背景（ 08 年浙江湖州）已知：在矩形AOBC 中， OB4 ， OA3分別以 OB， OA 所在直線為 x 軸和 y 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系F 是邊 BC 上的一個(gè)動點(diǎn)（不與B， C 重合），過 F 點(diǎn)的反比例函數(shù)yk (k 0) 的圖象與 ACx邊交于點(diǎn) E 請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F ，使得將 CEF 沿 EF 對折后， C 點(diǎn)恰好落在 OB 上？若存在， 求出點(diǎn) F 的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由

8、解析： 從結(jié)論出發(fā)用分析法考慮，設(shè)存在這樣的點(diǎn)F ，將 CEF 沿 EF 對折后， C 點(diǎn)恰好落在OB 邊上的 M 點(diǎn)，過點(diǎn)E作EN OB，垂足為 N(如圖11). 由題意得：EN AO3，EM EC 41k ， MF CF3 1 k ，易證 ENM MBF ，運(yùn)用相34似三角形的對應(yīng)邊成比例和勾股定理求得符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，21432上題主要考查學(xué)生是否具備完備的知識結(jié)構(gòu)、良好的提取信息能力、 恰當(dāng)?shù)穆?lián)想能力以及必要的遷移能力. 只有提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，學(xué)生才能在面對不同的題目背景時(shí)，發(fā)現(xiàn)圖形的本質(zhì)特征，回歸到本源性問題，從而得到簡潔且“合乎情理”的解決問題的方法.2.2 變換位置折疊

9、DCQ下面我們從動態(tài)視角下著力分析一些問題的來龍去脈，以盡可能揭G示問題的本質(zhì)，并得到問題解決的規(guī)律.P,Q 動到三等分點(diǎn)：如圖 5，在一張長方形ABCD中，AD 25cm,AB 20cm ，點(diǎn) P， Q 分別為AB ， CD 的三等分點(diǎn). 現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求DAE 的大小（精確到度）及QG 的長 .EAPB圖 5DQCGEP,Q 動到四等分點(diǎn)：如圖 6，在一張長方形ABCD中，AD 25cm,AB 20cm ，點(diǎn) P， Q 分別為AB ， CD 的四等分點(diǎn). 現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求DAE 的大小（精確到度）及QG 的長 .用動態(tài)的觀點(diǎn)看待幾何圖形的生成過程，嘗試用變與不變

10、的邏輯關(guān)系分析已知與結(jié)論的關(guān)系，可能正是尋求簡單、自然解題方法的一種有效策略 .ABP圖 6QDCGEAPB圖 7優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載如拓展：如圖 7，在一張長方形ABCD 中， AD 25cm,AB 20cm ，點(diǎn) P， Q 分別為 AB ， CD 邊上的點(diǎn)， AP=kAB ， DQ=kCD . 現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求DAE的大?。ň_到度）及QG的長.分析 : 雖然 P,Q 點(diǎn)的位置在變，但AGE ABE ， AG=AB 卻是不變因素 . 因 PQ AB,故 APG=90°，由三角函數(shù)得： DAE 90° 1 arc cosk ，由勾股定理得： PG=20 1k

11、 2 ，2則 QG=2520 1 k 2.探究上題解題思路的獲取，可以遵循從特殊到一般，從簡單到復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想方法，從中幫助學(xué)生深刻理解問題的本質(zhì). 再從一般到特殊驗(yàn)證，當(dāng)k=1 時(shí)， DAE= 60°， QG=25210 3 ；當(dāng) k=0 時(shí)， DAE= 45°， QG=5.讓我們再深入思考DAE 和 QG 的取值范圍，可得 45° DAE 90°， 5 QG 25，這樣有助于更好的暴露問題的本質(zhì)，從而有效發(fā)現(xiàn)解決問題的規(guī)律.如變式 1：（09 年天津）已知一個(gè)直角三角形紙片 OAB，其中右圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中， 折疊該紙片， 折痕與邊A

12、OB=90°，OA=2，OB=4如OB交于點(diǎn) C，與邊AB交于點(diǎn)D（）若折疊后使點(diǎn)（）若折疊后點(diǎn)B 與點(diǎn) B 落在邊A 重合，求點(diǎn)OA上的點(diǎn)為C的坐標(biāo)；B，設(shè) OB =x，OC=y，試寫出y關(guān)于x 的函數(shù)解析式，并確定y 的取值范圍；（）若折疊后點(diǎn)B 落在邊OA上的點(diǎn)為B，且使B D OB，求此時(shí)點(diǎn)C 的坐標(biāo)評析：本題的新穎之處就在于把基本圖形置于一次函數(shù)的背景之中,這樣函數(shù)問題與幾何問題就有機(jī)的結(jié)合起來，并且隨著折痕變換位置，B 點(diǎn)落在不同位置，圖形將發(fā)生改變,不知不覺中分類討論思想就滲透其中,于是問題變得生動起來。它對學(xué)生的想象能力與基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)有良好的考查功能。2.3 多次折疊

13、（ 06 年成都）如圖 12，把一張矩形的紙片按如圖所示的方式折疊， EM、FM為折痕，折疊后的 C點(diǎn)落在 B M或 B M的延長線上，那么 EMF的度數(shù)是 _.解析： 本題考查的是圖形折疊的性質(zhì)，折疊是一種軸對稱變換，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形全等，全等圖形的對應(yīng)角相等，故可得出答案為90°優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載變式 1：（ 08 年南寧）如圖 13，將矩形紙片 ABCD（圖）按如下步驟操作： （ 1）以過點(diǎn) A 的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn) B 恰好落在 AD邊上，折痕與 BC邊交于點(diǎn) E（如圖）；（ 2）以過點(diǎn) E 的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn) A 落在 BC邊上，折痕 EF 交

14、 AD邊于點(diǎn) F（如圖）；（3）將紙片展平，那么 AFE的度數(shù)為（） .解析：根據(jù)矩形及圖形折疊的性質(zhì)可得 EAD=45° , AEC=135°；再次折疊得 EF 為 AEC的平分線，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，易得 AFE=67.5° .變式 2：(09 年江蘇 ) 將矩形紙片 ABCD沿過點(diǎn) B 的直線折疊，使點(diǎn) A 落在 BC邊上的點(diǎn) F 處，折痕為 BE（如圖）；再沿過點(diǎn) E 的直線折疊，使點(diǎn) D 落在 BE 上的點(diǎn) D處，折痕為EG（如圖）；再展平紙片（如圖） 求圖中 a 的大小本題與變式1 有異曲同工之妙, 進(jìn)而計(jì)算出 = BEG- BEF 67. 5&#

15、176; -4 5° =22. 5° . 在充分考察圖形的基礎(chǔ)上， 發(fā)現(xiàn)圖形的本質(zhì)特征，也就能得到簡潔的解決問題的方法.變式 3：（20XX 年遵義）如圖 14，把一張矩形 ABCD紙片按如圖方式折疊， 使點(diǎn) A與點(diǎn) E 重合，點(diǎn) C與點(diǎn) F 重合（ E、F 兩點(diǎn)均在 BD上），折痕分別為 BH、 DG（ 1）求證： BHE DGF；（ 2）若 AB=6cm， BC=8cm，求線段 FG的長解析：根據(jù)矩形的性質(zhì)和圖形折疊的性質(zhì)易證BEH DFG（AAS）；再運(yùn)用勾股定理及圖形折疊的性質(zhì)易求FG 3cm以上四例由于編題者的想法不同而呈現(xiàn)各自的特點(diǎn), 但最后都回歸到本源性問題, 即折疊不變性，這充分體現(xiàn)了課本習(xí)題的基礎(chǔ)性與重要性.2.4 逆向折疊讓我們換個(gè)角度進(jìn)行思考，逆向思維深入探究。給出一張矩形紙片，不用任何其他工具，只通過折疊，我們能折出15o， 22.5 o， 30o， 37.5 o， 45o， 52.5 o，60o，67.5 o，75o 角.這樣多一個(gè)角度看問題也未嘗不是一件好事，而且重視實(shí)踐、 探究，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)活動與數(shù)學(xué)思考， 不僅可以幫助學(xué)生對問題解決過程及問題本身的結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識，還能有效地幫助學(xué)生積累問題解決的經(jīng)驗(yàn)和提高解決其他問題的能力.優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡