統(tǒng)計(jì)學(xué)第五章

1、第五章 概率及其分布教 學(xué) 目 的1.理解概率的意義；2.理解二項(xiàng)分布、正態(tài)分布的含義及特征；3.解決有關(guān)測量計(jì)分問題。第一節(jié)概率的一般概念一、概率的定義概率:是刻畫隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的指標(biāo)。概率因確定方法不同分為：后驗(yàn)概率和先驗(yàn)概率。1.后驗(yàn)概率的定義（1）隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)（觀測）中出現(xiàn)m次，m與n的比值為隨機(jī)事件A出現(xiàn)的頻率，記為 【如】：拋一枚硬幣10次，正面向上6次，則正面向上的頻率為.（2）隨機(jī)事件A在大量重復(fù)試驗(yàn)（觀測）中，即n時，其頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)P(A)上，這一常數(shù)就是隨機(jī)事件A的概率。記作：表5.1拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)中正面朝上的頻率實(shí)驗(yàn)者拋硬幣的次數(shù)正面朝上次數(shù)正面朝上頻率

2、德摩根2 0481 0610.518 1蒲豐4 0402 0480.506 9皮爾遜12 0006 0190.501 6皮爾遜24 00012 0120.500 52.先驗(yàn)概率的定義先驗(yàn)概率是不需試驗(yàn)而事前計(jì)算出的。其計(jì)算的條件是：（1）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的；（2）每一種可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的。若所有可能結(jié)果數(shù)為n，隨機(jī)事件A包括的可能結(jié)果（基本事件）為m，則事件A的概率為：【如】：拋一枚硬幣，可能結(jié)果有兩種：正面向上和反面向上。正面向上包括一種結(jié)果，則正面向上的概率是：與后驗(yàn)概率的結(jié)果是一致的。【又如】：在一個粉筆盒中裝有3支紅粉筆，3支黃粉筆，4支白粉筆，從中隨機(jī)摸取一支粉筆。

3、則：參看教材63頁。二、概率的性質(zhì)1.任何隨機(jī)事件A的概率都是在0與1之間的正數(shù)0P(A)1；2.不可能事件的概率為零，P(V)=0；3.必然事件的概率為1，P(u)=1。三、概率的加法和乘法1.概率的加法互不相容事件：在一次試驗(yàn)中不可能同時出現(xiàn)的事件。兩個互不相容事件和的概率，等于這兩個事件概率之和。：A+B是一個新事件，或者A，或者B。 【如】：前例抽粉筆問題，隨機(jī)摸得紅粉筆或白粉筆的概率為：【例】：教材64頁抽題問題。2.概率的乘法獨(dú)立事件：一個事件的發(fā)生不影響另一事件的發(fā)生，這兩個事件為獨(dú)立事件。兩個獨(dú)立事件積的概率，就等于兩個事件概率的乘積。：A·B為新事件，指A和B都發(fā)生

4、了?；蛲瑫r發(fā)生了。 【如】：在前邊抽粉筆問題中，學(xué)生甲隨機(jī)摸取一支粉筆登記后，將粉筆還回盒子中，再由學(xué)生乙去摸，問甲乙兩學(xué)生都摸到紅粉筆的概率是多少？解：兩名學(xué)生摸到紅粉筆的概率各為0.3，所以都摸到紅粉筆的概率為：第二節(jié)二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)試驗(yàn)具備以下三個條件的試驗(yàn)為二項(xiàng)試驗(yàn)：1.一次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，成功和失敗；2.各次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立；3.各次試驗(yàn)中成功的概率相等，失敗的概率也相等?！救纭浚簰佉幻队矌牛抡`題。注意：討論教材65頁舉例：不恰當(dāng)，對大總體可近似看作二項(xiàng)試驗(yàn)。二、二項(xiàng)分布函數(shù)二項(xiàng)分布：是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。用n次方的二項(xiàng)展開式來表達(dá)在n次二項(xiàng)試驗(yàn)中成功事件出現(xiàn)不同次數(shù)

5、的概率分布就叫做二項(xiàng)分布。用一個學(xué)生猜測3道正誤題來說明（參看教材65頁）。二項(xiàng)展開式的通式為：x為成功事件出現(xiàn)的不同次數(shù)，要注意組合數(shù)的計(jì)算?！救纭浚?的階乘為1，1的階乘為1。【例】：一個學(xué)生猜測做4道正誤題，問猜對2道題的概率是多少？猜對4道的概率是多少？：運(yùn)用公式（5.8）時，要注意p和q的值。三、二項(xiàng)分布圖二項(xiàng)分布圖： 一個學(xué)生做10個正誤題做對不同題數(shù)的概率分布圖數(shù)據(jù)來源：教材68頁表5.3 一個學(xué)生做10個正誤題做對不同題數(shù)的概率分布做對題目 數(shù)X（1）出現(xiàn)方式的數(shù)目f（2）概率P(X)（3）累計(jì)概率P(X或小于X)（4）010.0010.0011100.0100.0112450

6、.0440.05531200.1170.17242100.2050.37752520.2460.62362100.2050.82871200.1170.9458450.0440.9899100.0100.9991010.0011.000總和1 0241.000特點(diǎn)：1、p=q時，對稱；2、n，近似正態(tài)分布；3、二項(xiàng)分布為偏態(tài)，但np與nq中最小者5時接近正態(tài)分布。四、二項(xiàng)分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差二項(xiàng)分布近似正態(tài)分布時np，nq中較小者大于等于5 【如】：學(xué)生們猜測做12道正誤題，從理論上講，他可望猜對：五、二項(xiàng)分布的應(yīng)用1.運(yùn)用于推斷分析；2.計(jì)算成功事件出現(xiàn)x次的概率；3.確定機(jī)遇性與真實(shí)性的界

7、限。：分析教材71頁舉例中的舉例。第三節(jié) 正態(tài)分布正態(tài)分布:是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。一、標(biāo)準(zhǔn)Z分?jǐn)?shù)1.標(biāo)準(zhǔn)Z分?jǐn)?shù)：是以平均數(shù)為參照點(diǎn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為度量單位的分?jǐn)?shù)。Z分?jǐn)?shù)是一種位置分?jǐn)?shù)；Z分?jǐn)?shù)是一種轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)。2.Z分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)：（1）Z分?jǐn)?shù)的平均分等于零（2）Z分?jǐn)?shù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差等于1二、正態(tài)曲線1、正態(tài)曲線函數(shù)Y：為頻數(shù)密度X：為連續(xù)變量的任何一點(diǎn)：總體平均數(shù)e：為常數(shù)，自然對數(shù)之底，2.71828按此方程描繪出的曲線為正態(tài)曲線。正態(tài)曲線的形態(tài)隨N、的變化而變化 圖5.3標(biāo)準(zhǔn)差不同的正態(tài)分布形態(tài)（教材72頁）將公式5.12中的總頻數(shù)N用總概率1代替，x記分改為Z記分，則可得曲線方程：此方程

8、稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)方程；以此方程描出的曲線為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線，一種固定曲線，而不再是隨、N變化的曲線。2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的特點(diǎn)（1）曲線在Z=0處為最高點(diǎn)（0.39894）；（2）曲線以Z=0處為中心，雙側(cè)對稱；（3）曲線緩慢下降向外無限延伸，永不與基線相交；（4）：在曲線下，從Z=3到Z=3之間有99.73%的頻數(shù)分布著。（5）拐點(diǎn)位于正負(fù)1個標(biāo)準(zhǔn)差處。(先向下向內(nèi)，再向下向外) 圖5.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線（教材73頁）三、正態(tài)曲線面積與縱線（一） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積的求法附表11.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線面積，采用Z記分2.表內(nèi)面積為從Z=0處到右邊某一Z值之間的面積曲線與橫軸上某一區(qū)間圍成的面積，其含義是指該區(qū)間內(nèi)數(shù)

9、據(jù)的個數(shù)占數(shù)據(jù)總個數(shù)的比率?！救纭浚簭腪=0到Z=1之間的面積為0.341，意思是有34.1%的數(shù)據(jù)分布在Z=0到Z=1之間。(1)已知Z值求面積利用附表1已知Z值求面積有三種情況： 求Z=0到某一Z值之間的面積？【例如】：Z=0到Z=1.65之間的面積為0.45053，Z=0到Z=3之間P=0.49865。 求兩個Z值之間的面積？ 【例如】：Z=到Z=1之間面積0.34134+0.34134=0.68268Z=1至Z=3之間P=0.49865-0.34134=0.15731：兩個Z值異號面積相加；同號面積相減。 圖例圖5.5 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下某一區(qū)間的面積（教材88頁）（1）Z=-1至Z=1之

10、間的面積（2）Z=1至Z=2之間的面積（3）Z=1至和Z=1至-之間的面積求某一Z值以上或以下面積？ 【例如】：Z=1以上面積為0.5-0.34134=0.15866Z=1以下的面積為0.50.34134=0.84134.是由0.5減還是加0.5，要在圖中分析。應(yīng)用舉例：500人參加的英語考試，平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為6分，問70分到90分之間有多少人？解：70分、90分的Z分?jǐn)?shù)分別為：Z1到Z2的面積為2×0.45254=0.9050870分到90分之間的人數(shù)為：0.90508×500453（人）（2）已知面積求Z值利用附表1已知面積求Z值有三種情況：求Z=0以上或以下某

11、一面積對應(yīng)的Z值？直接根據(jù)面積查表，并注意符號?！纠纭浚篫=0以上面積為0.45對應(yīng)的 Z1.65Z=0以下面積為0.49， Z-2.33求與正態(tài)曲線上端或下端某一面積對應(yīng)的Z值？ 【例如】：正態(tài)曲線右端面積為0.01對應(yīng)的Z值。不能直接根據(jù)0.01查，只能根據(jù)0.50.01=0.49查表，Z2.33。若在左端則Z為負(fù)數(shù)。求正態(tài)曲線下中央部位某一面積的Z值？有兩個Z值，絕對值相等，符號相反（對稱性）?！纠纭浚褐醒朊娣e為0.95時，據(jù)0.95÷2=0.475查表，Z=±1.96；中央面積為0.99時，據(jù)0.99÷2=0.495查表，Z=±2.58。(二)正態(tài)曲線的縱線高度縱線高度Y：是對應(yīng)某一Z值的概率密度。1.已知Z值求縱線高度直接查表2.已知面積求縱線高度（1）中央面積面積除2（2）曲線上端或下端面積0.5減之（3）Z=0以上或以下面積直接查表【如】：曲線上端面積為0.20，據(jù)0.5-0.20.3查0.28034四、正態(tài)分布在測驗(yàn)記分中的應(yīng)用正態(tài)分布既應(yīng)用于教育科研中，也廣泛應(yīng)用于測量記分中。.將原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)不同學(xué)科的分?jǐn)?shù)并不等值。 【例】：某班語文測驗(yàn)平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為6分；英語平均分為65分，標(biāo)準(zhǔn)差為5分。學(xué)生A的語文成績?yōu)?8分，英語成績?yōu)?5分。問學(xué)生A的哪門功課成績好？解：學(xué)生A的語文標(biāo)準(zhǔn)分標(biāo)準(zhǔn)分的特點(diǎn)：（1