解圓錐曲線問(wèn)題常用方法一

1、WORD資料可編輯解圓錐曲線問(wèn)題常用方法（一）【學(xué)習(xí)要點(diǎn)】解圓錐曲線問(wèn)題常用以下方法：1 、定義法（1） 橢圓有兩種定義。第一定義中，ri+r（3）y =2px（ p>0）與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M（x0,y 0）,則有2y0k=2p,即yok=p.【典型例題】例1、（1）拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A（3,4 J2）與到準(zhǔn)線的距離和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 2 拋物線C: y =4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B（4,1）與到焦點(diǎn)F的距離和最小，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為分析：（1）A在拋物線外，如圖，連 PF，則PH = PF，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)線時(shí)，距離和最小。（2） B在拋物線內(nèi)，如圖，作 QRL I

2、交于R,則當(dāng)B、Q R三點(diǎn)共線時(shí),解: ( 1) (2, 2 )=2a。第二定義中，n=edi r 2=ed2。（2） 雙曲線有兩種定義。第一定義中，口 一 r2 = 2a，當(dāng)r 1>r2時(shí)，注意r2的最小值為c-a :第二定義中，r1=ed1,r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。（3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問(wèn)題用定義解決更直接簡(jiǎn)明。2、韋達(dá)定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化 為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題

3、的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可 用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。3 、解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過(guò)渡使問(wèn)題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不 求法”。設(shè)而不求法對(duì)于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn) A（x1,y 1）,B（x 2,y 2）,弦AB中點(diǎn)為M（xo,y。），將點(diǎn)A B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見(jiàn)的“設(shè)而 不求”法，具體有：2 2（1）=1（a b 0）與直線相交于 A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M（xo,yo），則有 篤，冷丘=0。a2 b2a2b22

4、 21H Q沖B/rA、P、F三點(diǎn)共距離和最小。（2） 篤 y7 =1（a 0,b 0）與直線l相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M（x0,y。）則有與-冷k=0 a2 b2a2 b2連PF,當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，AP十PH = AP + PF最小，此時(shí)AF的方程為y = 4*2 _O(X_1)即y=2(x-1),3 1 代入y 2(2)作出右準(zhǔn)線I，作PHL l交于H,因a =4, b =3,=4x得P(2,2 ,2)，(注：另一交點(diǎn)為(丄，-、.2 )，它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去)21(2) (,1)42 過(guò)Q作QRLI交于R,當(dāng)B Q R三點(diǎn)共線時(shí)，BQ - QF| |BQ - Q

5、R最小，此時(shí) Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入y =4x得1小1彳x=，Q( J )44點(diǎn)評(píng)：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。2 2例2、F是橢圓x y =1的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),43P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。(1) PA + PF的最小值為(2) PA +2PF的最小值為yA PHAF 0fFx專(zhuān)業(yè)整理分享分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，常需將另一焦半徑PF 或準(zhǔn)線作出來(lái)考慮問(wèn)題。解：(1) 4- ,5設(shè)另一焦點(diǎn)為F ，貝U F (-1,0)連AF ,P FPA +|PF =|PA +2a-PF '=2a-(PF - PA) 3 2a- AF&

6、#39; = 4-J5當(dāng)P是F A的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，PA PF取得最小值為4-5 。2c =1, a=2 , c=1,1e=,2 PF= -|PH，即2PF = PH PA 2PF| I PA PH當(dāng)A、2 aP、H三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為xAc= 41=32 2 2 2動(dòng)圓M與圓C:(x+1) +y =36內(nèi)切,與圓Q:(x-1) +y =4外切,求圓心M的軌跡方程。分析:作圖時(shí)，要注意相切時(shí)的“圖形特征”：兩個(gè)圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線(如圖中的A、M C共線,B、D M共線)。列式的主要途徑是動(dòng)圓的 “半徑等于半徑”(如圖中的MC =|MD I)。AVCMD0B5 x解：如圖,MC

7、 = MD:.AC MA = MB-DB 即6 MA = MB 2二 MA + MB =8(*)點(diǎn)M的軌跡為橢圓,x22a=8, a=4, c=1 , b2=15 軌跡方程為162y =115點(diǎn)評(píng)：得到方程(*)后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫(xiě)出方程，而無(wú)需再用距離公式列式求解，即列出,(x - 1)2/ (x -1)2 - y2 =4，再移項(xiàng)，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣!3 例 4、 ABC中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA,求點(diǎn) A 的軌跡方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R ( R為外接圓半徑)，可轉(zhuǎn)

8、化為邊長(zhǎng)的關(guān)系。”3解：si nC-si nB=si nA 2Rs in C-2Rs inB=5= 3BC53 -2RsinA5ABAC即ABAC(*)點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點(diǎn))/ 2a=6, 2c=10-a=3, c=5 ,b=4所求軌跡方程為2=1(x>3)16點(diǎn)評(píng):要注意利用定義直接解題，這里由(*)式直接用定義說(shuō)明了軌跡(雙曲線右支)定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng),AB中點(diǎn)為M求點(diǎn)M到x軸的最短距離。分析:(1)可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)2.A(X1,x 1),B(X2, X22)，又設(shè)AB中點(diǎn)為M(xoyo)用弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)公式得出yo關(guān)于xo的函數(shù)表達(dá)

9、式，再用函數(shù)思想求出最短距離。M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。(2) M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮2 2解法一：設(shè) A(X1, X1 ) , B(X2, X2) , AB中點(diǎn) M(X0, y。)(X! X2)2 (x2 X；)2 =9 則 X1 X2 2xoX； x； =2yo2 2由得(X1-X2) 1+(x 1+X2) =92 2即(x 1+X2) -4xix2 -1+(x 1+X2) =9由、得 2xix2=(2x o) 2-2y o=4xo2y o222代入得(2x o) -(8x o-4yo) -1+(2x o) =929"4y0 _4X°，29294

10、y° =4x°2 二(4x° 1)214x°4x° +1> 2 .9 -1 = 5, y ° 亠 54.'25' 2 5當(dāng) 4X°2+ 仁3 即 X°時(shí)，(y°)min 此時(shí) M(_",)11A1y /n JiB-A0MBixA2 42 4法二：如圖，2 MM 2 = AA2 +|BB21 = |AF | + |BF| = AB = 33 13MM 2 X，即 MM1 +色-，24 2MM i Z M到X軸的最短距離為-4點(diǎn)評(píng)：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消xi,

11、X2,從而形成y°關(guān)于x°的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到X軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離， 再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時(shí)，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡(jiǎn)捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒(méi)有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。2 2例6、已知橢圓 1（2乞m乞5）過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A、B、Cm m T，當(dāng)AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)取得最小值。4D 設(shè) f(m)= | AB _ CD | , (1 )

12、求 f(m),(2)求 f(m)的最值。分析：此題初看很復(fù)雜，對(duì)f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算，因 A、B來(lái)源于“不同系統(tǒng)” ，A在準(zhǔn)線上，B在橢圓上，同樣x軸上，立即可得防C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見(jiàn)直接求解較繁，將這些線段“投影”到f (m) = (XB - Xa ) V2 - (XD Xc)5；2| = J2KXb XA ) (XD Xc)|=2 (XbXc ) _ (XaXd )=J2(Xb +Xc)此時(shí)問(wèn)題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。2 2Xy222解：(1)橢圓1 中，a =m b=m-1, c =1，左焦點(diǎn) Fi(-1,0)m m 1則 BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x

13、 +my -m(m-1)=0得(m-1)x 2+m(x+1) 2-m2+m=02 22m2m -1/ (2m-1)x +2mx+2m-m=0設(shè) B(x1,y 1),C(x 2,y 2),則 X1+X2=-f(m) =|AB -CD| =V2|(Xb -Xa)-(Xd -Xc)=血|(捲 +X2) - (Xa +Xc)| =V2|X1 +X22m2m -1伽第；_2(1詁)當(dāng) m=5時(shí)，一、10 血 f (m)min9當(dāng)m=2時(shí)，4J2f (m) max -3點(diǎn)評(píng)：此題因最終需求XB XC，而B(niǎo)C斜率已知為1，故可也用"點(diǎn)差法”設(shè)BC中點(diǎn)為 M(xo,y o),通過(guò)將B、代入作差，得y

14、°k = 0，將 yo=xo+1, k=1 代入得 - x°_1m m 10，二 x°m1,可見(jiàn) Xb . Xc =2m - 1當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對(duì)f (m)二AB CD|的認(rèn)識(shí),通過(guò)線段在 x軸的"投影”發(fā)現(xiàn) f (m) = xB + xC題的要點(diǎn)?！就骄毩?xí)】1、已知:Fi， F2是雙曲線222=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)a2 b2Fi作直線交雙曲線左支于點(diǎn)的周長(zhǎng)為(4a、4a+m C4a+2m D、4a-m3、則頂點(diǎn)4、5、6、7、若點(diǎn)P到點(diǎn)y2=-16xBF(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，貝U P點(diǎn)的軌跡方程是2、y =-32xy2=

15、16xD2、y =32x已知 ABC的三邊A的軌跡方程是(x2x2ABBCAC的長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，且AB a AC，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(-1 , 0), (1c坐標(biāo)2m2m -1是解此 ABF,0),2y =13x22y =1(x0)32-1(x ： 0)3過(guò)原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(x冷)22 1 2 x (y _ J2F(1 ,21(x0 且 y = 0)43x20)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,則橢圓中心的軌跡方程是229 ,y (x = -1)49 (x1)4、(x £)2 y2 二弘=-1)24、x2 (y )2 =9(x = -1)242 2已知雙曲線y 1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4,則點(diǎn)M

16、到左焦點(diǎn)的距離是916拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是2已知拋物線y =2x的弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn) p(-2 , 0)，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是8、過(guò)雙曲線x2-y2=4的焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長(zhǎng)為 9、 直線y=kx+1與雙曲線x2-y 2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則k=2 210、 設(shè)點(diǎn)P是橢圓x y1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)l, F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求 sin / F1PF2的最大值。25911、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線與此橢圓相交于 A B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M為(-2 , 1) , AB =4*；3

17、，求直線I的方程和橢圓方程。2 2CD。12、已知直線l和雙曲線 %=1(a 0, b 0)及其漸近線的交點(diǎn)從左到右依次為A、B、C、D。求證：ABa b參考答案AF2 AFi = 2a, BF? BF<)= 2a ,AB = 4a 2m,選 c2、C點(diǎn)P到F與到x+4=0等距離，P點(diǎn)軌跡為拋物線 p=8開(kāi)口向右，則方程為2y =16x,選 C3、D/ AB + AC = 2 沢 2，且 AB a AC點(diǎn)A的軌跡為橢圓在 y軸右方的部分、又A、B、C三點(diǎn)不共線，即yz 0，故選Db4、A設(shè)中心為(x , y),則另一焦點(diǎn)為(2x-1 , 2y),則原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為4 得 1 . (2

18、x-1)2(2y)2AF2 + BF2 - AB =4a, AF2 + BF2又 c<a, 、-(x-1)2 y2 ： 2/. (x-1) 2+y2<4 ，由，得 x 豐-1，選 A (1、229-(x_2) y =499929529295、左準(zhǔn)線為x=-, M到左準(zhǔn)線距離為d = 4 -()則M到左焦點(diǎn)的距離為 ed =35553531 1222 26、x (y ) 設(shè)弦為 AB, A(x1 , y1) , B(x2 , y2)AB 中點(diǎn)為(x , y),貝U y1=2x1 , y2=2x2 , yi-y 2=2(x 1 -x 2)2 2y二丄，軌跡方程是x二1 (y>丄)

19、2 2 2yi y2112- =2(為 +x2) 2=2 -2x , x= 將 x=代入 y=2x 得xi -x22227、y =x+2(x>2) 設(shè) A(X1, y1) , B(X2, y2) , AB 中點(diǎn) M(x, y)，則宀舛宀九八諺艸“卅(小2y 0-kAB = kMP x,kMP 'x +2又弦中點(diǎn)在已知拋物線內(nèi)y 2y=2，即 y2=x+2x 22P,即 y <2x,即卩 x+2<2x, x>22 28、4 a = b = 4,c= 8,c=22，令x=2-2代入方程得8-y2=4 y2=4, y=2，弦長(zhǎng)為 49、-、2 丄 1 y=kx+12

20、2 2 2 2 2代入 x -y =1 得 x -(kx+1)-仁0(1-k )x -2 kx-2=0- 21-k L，: 0222得 4k+8(1-k )=0 , k=±*2 1-k =0 得 k= ±:=02 2 210、解：a =25, b =9, c =16設(shè) F1、F2 為左、右焦點(diǎn)，貝UF1(-4 , 0)F 2(4 , 0)fF1IF2 "設(shè) PR = » , PF2則?r202-2口 r2 cos日=(2c)222-得 2nr2(1+cos 0 )=4b2111ypK )AFVx_ 4b22b2-1+cos 0 =2r1r2r1r2 r1+r2 幾“,2 r1r2的最大值為a18，即 1+c