方向導數(shù)、梯度和泰勒公式課件

1、第六節(jié)第六節(jié)方向導數(shù)、梯度和泰勒公式方向導數(shù)、梯度和泰勒公式實例實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的問題的實質實質：應沿由熱變冷變化最驟烈的方：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）

2、爬行向（即梯度方向）爬行一、問題的提出一、問題的提出 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點P沿某一方向沿某一方向的變化率問題的變化率問題),(yxfz 二、方向導數(shù)的定義二、方向導數(shù)的定義oyxlP xyP引射線引射線內有定義，自點內有定義，自點的某一鄰域的某一鄰域在點在點設函數(shù)設函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一點且上的另一點且為為并設并設為為的轉角的轉角軸正向到射線軸正向到射線設設 （如圖）（如圖） |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當當 沿著沿著 趨于趨于 時，時，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf

3、 , z 考慮考慮是否存在？是否存在？.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定義義，函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點點P沿沿著著x軸軸正正向向0 , 11 e、y軸軸正正向向1 , 02 e的的方方向向導導數(shù)數(shù)分分別別為為yxff ,；沿著沿著x軸負向、軸負向、y軸負向的方向導數(shù)是軸負向的方向導數(shù)是 yxff ,.的的方方向向導導數(shù)數(shù)沿沿方方向向則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點點在在，時時，如如果果此此比比的的極極限限存存趨趨于于沿沿著著當當之之比比值值，兩兩點點間間的的距距離離與與函函數(shù)數(shù)的的增增量量定定義義lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為

4、定定理理如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP是是可可微微分分的的，那那末末函函數(shù)數(shù)在在該該點點沿沿任任意意方方向向 L L 的的方方向向導導數(shù)數(shù)都都存存在在，且且有有 sincosyfxflf ， 其其中中 為為x軸軸到到方方向向 L L 的的轉轉角角證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到cossin )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向導數(shù)故有方向導數(shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxe

5、z2 在在點點)0 , 1(P處處沿沿從從點點 )0 , 1(P到到點點)1, 2( Q的的方方向向的的方方向向導導數(shù)數(shù).解解故故x軸軸到到方方向向l的的轉轉角角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向導導數(shù)數(shù))4sin(2)4cos( lz.22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 PQ,例例 2 2 求求函函數(shù)數(shù)22),(yxyxyxf 在在點點（1，1）沿沿與與x軸軸方方向向夾夾角角為為 的的方方向向射射線線l的的方方向向導導數(shù)數(shù).并并問問在在怎怎樣樣的的方方向向上上此此方方向向導導 數(shù)數(shù)有有 （1）最最大大值值； （

6、2）最最小小值值； （3）等等于于零零？解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向導數(shù)的計算公式知由方向導數(shù)的計算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當當4 時時，方方向向導導數(shù)數(shù)達達到到最最大大值值2;（2）當當45 時時，方方向向導導數(shù)數(shù)達達到到最最小小值值2 ;（3）當當43 和和47 時時，方向導數(shù)等于方向導數(shù)等于 0.對于三元函數(shù)對于三元函數(shù)),(zyxfu ，它在空間一點，它在空間一點),(zyxP沿著方向沿著方向 L的方向導數(shù)的方向導數(shù) ，可定義，可定義為為,),()

7、,(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ） 同同理理：當當函函數(shù)數(shù)在在此此點點可可微微時時，那那末末函函數(shù)數(shù)在在該該點點沿沿任任意意方方向向 L 的的方方向向導導數(shù)數(shù)都都存存在在，且且有有.coscoscos zfyfxflf 設設方方向向 L 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos z例例 3 3 設設n是是曲曲面面632222 zyx 在在點點)1 , 1 , 1(P處處的的指指向向外外側側的的法法向向量量，求求函函數(shù)數(shù)2122)86(1yxzu 在在此此處處沿沿方方向向n的

8、的方方向向導導數(shù)數(shù).解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故定定義義 設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在平平面面區(qū)區(qū)域域 D 內內具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則對對于于每每一一點點DyxP ),(，都都可可定定出出一一個

9、個向向量量jyfixf ，這這向向量量稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP的的梯梯度度，記記為為 ),(yxgradfjyfixf .三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點函數(shù)在點問題問題P sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其其中中),(,eyxgradf 當當1),(cos( eyxgradf時時，lf 有最大值有最大值.設設jie sincos 是是方方向向 l上上的的單單位位向向量量，由由方方向向導導數(shù)數(shù)公公式式知知 函數(shù)在某點的梯度是這樣一

10、個向量，它的函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向導數(shù)的最大值梯度的模為方向導數(shù)的最大值梯度的模為 22| ),(| yfxfyxgradf.結論結論當當xf 不不為為零零時時，x軸軸到到梯梯度度的的轉轉角角的的正正切切為為xfyf tangradfgradf P),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(yxgr

11、adf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P等高線的畫法等高線的畫法播放播放圖圖形形及及其其等等高高線線圖圖形形函函數(shù)數(shù)xyzsin 例如例如,梯度與等高線的關系：梯度與等高線的關系：向導數(shù)向導數(shù)的方的方于函數(shù)在這個法線方向于函數(shù)在這個法線方向模等模等高的等高線，而梯度的高的等高線，而梯度的值較值較值較低的等高線指向數(shù)值較低的等高線指向數(shù)從數(shù)從數(shù)線的一個方向相同，且線的一個方向相同，且在這點的法在這點的法高線高線的等的等的梯度的方向與點的梯度的方向與點在點在點函數(shù)函數(shù)cyxfPyxPyxfz ),(),(),( 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G 內具有內具有一

12、階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點GzyxP ),(，都可定義一個向量都可定義一個向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致，其模為方向導數(shù)的最大值為方向導數(shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)類似地類似地,設曲面設曲面czyxf ),(為函數(shù)為函數(shù)),(zyxfu 的等量面，此函數(shù)在點的等量面，此函數(shù)在點),(zyxP的梯度的方向與的梯度的方向與過點過點 P的等量面的等量面czyx

13、f ),(在這點的法線的一在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向導數(shù)向的方向導數(shù).例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點點 )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點點處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P處梯度為處

14、梯度為 0.1、方向導數(shù)的概念、方向導數(shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向導數(shù)與梯度的關系、方向導數(shù)與梯度的關系（注意方向導數(shù)與一般所說偏導數(shù)的（注意方向導數(shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯度是一個（注意梯度是一個向量向量）四、小結四、小結.),(最最快快的的方方向向在在這這點點增增長長梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)yxf討論函數(shù)討論函數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點處的偏導數(shù)是否存在？方向導數(shù)是否存在？點處的偏導數(shù)是否存在？方向導數(shù)是否存在？思考題思考題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yy

15、y |lim0故兩個偏導數(shù)均不存在故兩個偏導數(shù)均不存在.思考題解答思考題解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向導導數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向導導數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點在點)2 , 1(處沿從點處沿從點)2 , 1(到點到點 )32 , 2( 的方向的方向導數(shù)為的方向的方向導數(shù)為_._.2 2、 設設xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.

16、3 3、 已知場已知場,),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場的梯度場的梯度方向的方向導數(shù)是方向的方向導數(shù)是_._.4 4、 稱向量場稱向量場a為有勢場為有勢場, ,是指向量是指向量a與某個函數(shù)與某個函數(shù) ),(zyxu的梯度有關系的梯度有關系_._.練練 習習 題題三三、 設設vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導導數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點點),(000zyxM處處沿沿點點的的向向徑徑0r的的方方向向導導數(shù)數(shù), ,問問cba,具具有有什什么么關關系系時時此此方方向向導導數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的模模? ?二二、求求函函數(shù)數(shù))(12222byaxz 在在點點)2,2(ba處處沿沿曲曲線線 12222 byax在在這這點點的的內內法法線線方方向向的的