極限存在準則和兩個重要極限課件

1、)() 1 (0Nnzxynnnazynnnnlimlim)2(axnnlimazynnnnlimlim)2()() 1 (0Nnzxynnnaxnnlim證證: 由條件 (2) ,0,1N當1Nn 時,ayn當2Nn 時,azn令,max021NNNN 則當Nn 時, 有,ayan,azan由條件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N定理定理2.,),(0時當xUxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0且0cos11 cosxx 2sin22x 22( )2x, 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx

2、,22x 例：例：0limcos1xx用夾逼定理證明：證：證：0limcos1,xx|0 |sin| |2xxx當|時，ACxoBD例：例：).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn2.單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準準則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.x1x2x

3、3x1 nxnx幾何解釋幾何解釋:AM.)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數(shù)數(shù)列列nxn 例：例：證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnxAC(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設設單單位位圓圓xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的

4、圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 ACxoBD,AOBAOCAOBSS扇顯然S12AOBOA BD又S11 sin2x2112AOBx扇S12AOCSOA AC11 tan2xsintanxxx, 1sincos xxx即即0limcos1,xx, 11lim0 x又又0sinlim1.xxx0lim1.sinxxx注意：000sinsinsinlimlimlim1.xxxxxxxxx（- ）又0sinlim1.xxx例例0tanlim.xxx求解解0sinlimcosxxxx原式0sinlimcosxxxx00sinlimlimcosxxxxx111.例例.cos1lim20 xxx

5、 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例0sinlim(0,.xkxkkx求為常數(shù)）解解0sinlimxkxkkx原式1kk(2)ennn )11(lim準準則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.例例21lim(1) .xxx求解解121lim(1) xxx原式12e22lim(1)?xxx思考：求. e例例.)11(limxxx 求求解解11lim(1)xxx1)11(lim xxx原式原式.1e 例：例：解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求

6、求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時時則則當當uuu10)1ln(1lim eln1 . 1 例例 34)211 (limxxx求34)211 (limxxx34)211 ()211 (limxxxx322)211 (lim)211(limxxxxx21e解：解：2e例例.)23(lim2xxxx 求求2 2411lim(1) (1)22xxxx.2e 解解221lim()2xxxx原式21lim(1)2xxx2 2411lim(1)lim(1)22xxxxx例：例：22lim() .1xxxx求解解221 1lim()1xxxx 原式21lim(1)1xxx22(1)121lim(1)1xxxxx 22lim(1)121(lim(1)1xxxxxx0e11.兩個準則兩個準則