1989屆小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽初賽(2)

1、89屆小學(xué)數(shù)學(xué)奧林?？烁?jìng)賽初賽1. 計(jì)算：23410llx(l+2)(l+s)x(l+24-3)(l+2+l)x(l+24-3|+4)(i +2 +3+- -4-9)x(l-i-2 +3+- + id)2. 1到1989這些自然數(shù)中的所有數(shù)字之和是o3把若干個(gè)自然數(shù)，2, 3,乘到一起，如果已知這個(gè)乘積的最末13位恰好都 是零，那么最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小應(yīng)該是o1111 丄丄4. 在1, 2, 3, 4, 5,，»,而中選出若干個(gè)數(shù)，使它們的和大于3,至 少要選個(gè)數(shù)。abcbd -efag fff5. 在右邊的減法算式屮，每一個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字, 那么d+g=

2、o6. 如圖，abfd利cdef都是矩形，ab的長(zhǎng)是4厘米，bc的長(zhǎng)是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是平方厘米。7. 甲乙兩包糖的重量比是4： 1,如果從甲包取出10克放入乙包后，甲乙兩包糖的重量比變?yōu)?:5,那么兩包糖重量的總和是克。8. 設(shè)1, 3, 9, 27, 81, 243是六個(gè)給定的數(shù)，從這六個(gè)數(shù)中每次或者取一個(gè)，或者取幾個(gè)不同的數(shù)求和（每個(gè)數(shù)只能取一次），可以得到一個(gè)新數(shù)，這樣共得到 63個(gè)新數(shù)。如果把它們從小到大依次排列起來(lái)是1, 3, 4, 9, 12那么第60個(gè) 數(shù)是。9. 有甲、乙、丙三輛汽車各以一定的速度從a地開(kāi)往b地，乙比丙晩出發(fā)10分鐘，出發(fā)后40分鐘追上丙。甲比乙

3、又晚出發(fā)20分鐘，出發(fā)后1小時(shí)40分追上 丙，那么甲出發(fā)后需用分鐘才能追上乙。10. 有一個(gè)俱樂(lè)部，里面的成員可以分成兩類，第一類是老實(shí)人，永遠(yuǎn)說(shuō)真話；第二類是騙子，永遠(yuǎn)說(shuō)假話。某天俱樂(lè)部全體成員圍著一張圓桌坐下，每個(gè)老實(shí)人的 兩旁都是騙子，每個(gè)騙子的兩旁都是老實(shí)人。記者問(wèn)俱樂(lè)部成員張三：俱樂(lè)部共 有多少成員？張三回答：有45人。李四說(shuō)：張三是老實(shí)人。那么張三是老實(shí)人還 是騙子？張三是o11. 某工程如果由第一、二、三小隊(duì)合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五 小隊(duì)合干需耍7天完成；如果由第二、四、五小隊(duì)合干4天完成；如果出第一、三、四小隊(duì)合干需要42天才能完成。那么這五個(gè)小隊(duì)一起合干需要

4、天才能完成這項(xiàng)工程。12把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與其十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，它與原來(lái)的數(shù)加 起來(lái)恰好是某個(gè)自然數(shù)的平方，這個(gè)和數(shù)是o13. 把自然數(shù)1, 2, 3,，998, 999分成三組，如果每一組數(shù)的平均數(shù)恰好相等地，那么這三個(gè)平均數(shù)的和是o14. 某種商品的價(jià)格是：每一個(gè)1分錢，每五個(gè)4分錢，每九個(gè)7分錢。小趙的錢至多能買50個(gè)，小李的錢至多能買500個(gè)。小李的錢比小趙的錢多分錢。15個(gè)自行車選手在相距950千米的甲、乙兩地之間訓(xùn)練，從甲地出發(fā)，去時(shí)每 90千米休息一次；到達(dá)乙地并休息一天后再沿原路返回，每100千米休息一次。 他發(fā)現(xiàn)恰好有一個(gè)休息的地點(diǎn)與去時(shí)的一個(gè)休息地點(diǎn)相同，那么

5、這個(gè)休息地點(diǎn)距甲 地有千米。16. 現(xiàn)有四個(gè)自然數(shù)，它們的和是1111,如果要求這四個(gè)數(shù)的公約數(shù)盡可能地大，那么這四個(gè)數(shù)的公約數(shù)最大可能是。17. 桌面上有一條長(zhǎng)度為100厘米的紅色直線，另外有直徑分別是2、3、7、15厘米的圓形紙片若干個(gè)，現(xiàn)在用這些圓形紙片將桌上的紅線蓋住，如果要使所用紙片 的圓周長(zhǎng)總和最短，那么這個(gè)周長(zhǎng)總和是o18. 右圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體，在止方體的上面的正中向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方體小洞；接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的小洞；第三個(gè)小洞的挖法與前兩個(gè)相1同，邊長(zhǎng)為n厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積是平方厘米。19. 小明在左衣袋和右衣袋中

6、分別裝有6枚和8枚硬幣，并且兩衣袋中硬幣的總錢 數(shù)相等，當(dāng)任意從左邊衣袋取出兩個(gè)硬幣和右邊衣袋的任意兩個(gè)硬幣交換時(shí)，左邊 衣袋的總錢數(shù)要么比原來(lái)的錢數(shù)多二分，要么比原來(lái)錢數(shù)少二分。那么兩個(gè)衣袋中 共有錢。20. 從1, 3, 5, 7, -97, 99中最多可以選出個(gè)數(shù)，使它們當(dāng)中的每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。1989小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題決賽2. 某水池可以用甲、乙兩個(gè)水管注水單放甲管需12小時(shí)注滿，單放乙管需24小時(shí)注滿.現(xiàn)在要求10小時(shí)注滿水池，并且屮乙兩管合放的時(shí)間盡可能地少， 那么甲乙兩管合放最少需小時(shí).3. 有10張長(zhǎng)3厘米，寬2厘米的紙片，將它們按照下圖的樣子擺放在桌面上:那么，

7、這10張紙片所蓋住桌面上的面積是平方厘米.4. 用圓圈列出的10個(gè)數(shù)按時(shí)針次序可以組成許多個(gè)整數(shù)部分是一位的循環(huán)小 數(shù)，例如l8929i加，如圖所示，那么在所有這種數(shù)中最大的一個(gè)是5. 有一列數(shù)1, 1989, 1988, 1987,，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)中大數(shù)減小數(shù)的差，那么第1989個(gè)數(shù)是6. 甲乙兩地之間有一條公路，李明從甲地出發(fā)步行往乙地；同時(shí)張平從乙地出發(fā) 騎摩托車往甲地.80分鐘后兩人在途中相遇，張平到達(dá)甲地后，馬上折回往乙 地，在 第一次相遇后乂經(jīng)過(guò)20分鐘張平在途中追上李明.張平到達(dá)乙地后乂馬上 折回往甲地，這樣一直下去，當(dāng)李明到達(dá)乙地時(shí)，張平追上李明的次數(shù)是

8、 次.7. 圖（a）是一個(gè)直徑是3厘米的半圓，ab是直徑.讓a點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓逆 時(shí)針轉(zhuǎn)60°角，此時(shí)b點(diǎn)移動(dòng)到釧點(diǎn)，見(jiàn)圖（b）,那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米.（兀=3. 14）8. 有4個(gè)不同的自然數(shù)，它們當(dāng)中任意兩個(gè)的和是2的倍數(shù)；任意3個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，為了使得這4個(gè)數(shù)的和盡可能小，這4個(gè)數(shù)分別是9. 在桌面上放置3個(gè)兩兩重迭、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是100平方厘米，蓋住桌面的總面積是144平方厘米，3張紙片共同重疊的面積是42平方厘 米.那么圖中3個(gè)陰影部分的面積和是平方厘米.10. 圖中，把正方體的6個(gè)表面都分成9個(gè)相等的正方形.現(xiàn)在用紅、黃、藍(lán)3種 顏

9、色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形顏色不同.那么用紅色染成的正方 形的個(gè)數(shù)最多是個(gè).11. a、b、c i) e5個(gè)人參加乒乓球賽，每?jī)扇硕家愐槐P，并且只賽一盤.規(guī)定勝者得2分，負(fù)者得0分.現(xiàn)在知道比賽結(jié)果是：a和b并列第一名，c是第二 名，d和e并列第四名，那么c的得分是分.12. 從1, 2, 3, 4,1988, 1989這些自然數(shù)中。最多可以取個(gè)數(shù)，其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差不等于4.13. 在長(zhǎng)260厘米，寬150厘米的臺(tái)球桌上，有a, b, c, d, e, f, 6個(gè)球袋，其中ab=ef=130厘米.現(xiàn)在從a處沿45°方向打出一球，如圖所示，碰到桌邊 后又沿45方向彈岀，

10、當(dāng)再碰到桌邊時(shí)，仍沿45方向彈出，如此繼續(xù)下去，直到落 入某個(gè)袋屮為止.那么它將落入袋屮.14. 將14個(gè)互不相同的自然數(shù)，從小到大依次排成一列，已知其總和為170,如果去掉最大的數(shù)和最小的數(shù)那么剩下的數(shù)的總和為150,在原來(lái)已排成的次序屮第 二個(gè)數(shù)是.15. 將自然數(shù)1, 2, 3,依次寫下去組成一個(gè)數(shù)：123456789101112113,如 果寫到某個(gè)自然數(shù)時(shí)，所組成的數(shù)恰好第一次能被72整除，那么這個(gè)自然數(shù)是 初賽：1. 【解】將11989中的每個(gè)數(shù)看成“四位數(shù)”,位數(shù)不夠的前面補(bǔ)“0” ,從00001999,所有數(shù)的數(shù)字之和是(0十1 + 2 h 9) x300x2+1x 1000=

11、 45x600+1000 = 28000而從19901999中的所有數(shù)的數(shù)字之和為1x10 + 9x2x10十(0+19)=10 十 180 + 45= 235從而，所求所有數(shù)字之和為28000235 = 277652. 【解】1x2xx5o中有10 + 2=12（個(gè)）因數(shù)5（在25、50中，因數(shù)5各出現(xiàn)2 次，在5的其它倍數(shù)中各出現(xiàn)一次）于是，1x2xx55的末尾有13個(gè)0,且55為最小的這樣的數(shù)，即最后出現(xiàn)的自然數(shù)最小為553. 【解】首先a=l, b = 0, e=9o再由十位的運(yùn)算可知f=8,從而c=7,并且10 +dg=8 即 g d=2, g 可能為 6, 5, 4,相應(yīng)地，d 為

12、 4、3、2。于是 d+g =10、8、 64. 【解】陰影部分的面積和= 100x3-144-2x42= 72（平方厘米）5. 【解】?jī)砂侵亓康目偤褪?7_10（4+! 7 + 5）13= 104- 6046 =b （克）6. 【解】根據(jù)題意，丙行50分鐘的路程乙只需40分鐘，所以卞:% =4 : 5；丙行130分鐘的路程。甲只需100分鐘，人：斥= 10： 13從而嶺：陀=26 : 25因?yàn)橐以绯霭l(fā)加分鐘，所以甲出發(fā)后追上乙所花的時(shí)間為25x204- （26-25） =500（分鐘）.7. 【解】張三是騙子因?yàn)轵_子與老實(shí)人是相間地圍著圓桌坐的，所以兩考人數(shù)相 等，俱樂(lè)部的人數(shù)必定是偶數(shù)，

13、張三講的是假話，他是騙子.&【解】設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)為云，則交換i位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字后的兩位數(shù)為云，兩 個(gè)數(shù)的和為卩 + * = 10x + y+10y + x=llx （x+y）是11的倍數(shù)，因?yàn)樗瞧椒綌?shù)，所以也是11x11 = 121的倍數(shù)但這個(gè)和< 100+100 = 200<121x2,所以這個(gè)和數(shù)為 121。9. 【解】小趙的錢至多能買50個(gè)，而50 = 9x5十5x1因此，小趙有7x5 + 4x 1 = 39（分）小李的錢至多能買500個(gè)。而500 = 9x55 + 5x1因此，小李有7x55+4x1 = 389（分）于是小李比小趙多389-39 = 350（分）1

14、0. 【解】設(shè)這個(gè)休息地距屮地有a公里，顯然a為90的倍數(shù).且a-50為100的倍數(shù)，此時(shí)a就只能為450.從而這個(gè)休息地距甲地有450公里.11. 【解】這些圓紙片的直徑的和2100.所以它們的周長(zhǎng)的和2100皿314（厘米）另一方面，這些圓可以恰好將長(zhǎng)為100厘米的紅線蓋住（例如用10個(gè)7厘 米，2個(gè)15厘米的圓，或50個(gè)2厘米的圓）.因此，圓周長(zhǎng)總和最短時(shí)，這個(gè)周長(zhǎng)總和是314厘米.1 i i 112. 【解】2x2x6+1x1x4+ x 弓 x4+彳 x 債 x4= 29. 25（平方厘米）i _ 3 _ 4 _ _ 1013. 解原式=-而 3660 45x551 丄丄 丄丄=1 （

15、1 3 ） （ 3 6） （ 6 10 ）一（45 55 ）i(1-55)1=5514.【解】2 3 456 781+1+1+1 21 1 1= 24-4 + 5 + (7 + 10=2+ 45 78 <2+4 x4 = 3i i 2 ) + (8 4-9)<24-4+ 4 + 4 + 4 =3i+l+l+l+l+l+l+uul+l23456789 1011= 2+45 78 + 9 + 10+ 11i i j_ i i l 丄丄 i i i _i j_ j_=2+4 + (5+ ») + (? + 9) + (8 + a+ n)>2+4+ 4 + 4+8 +a +

16、 121111= 3+4 (3+5)-8 >3所以至少要選11個(gè)數(shù)15. 【解】最大的(即第63個(gè)數(shù))是1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364第60個(gè)數(shù)(倒數(shù)第4個(gè)數(shù))是364-1-3 = 360.2ii 丄16. 【解】1 一 （12+亍+ ： x2+42）3=4（夭）.'即5個(gè)小隊(duì)合干需要4天.【注】第二、四、五3個(gè)小隊(duì)合干也只需要4天，所以在木題中第一、三這2個(gè)小 隊(duì)實(shí)際上沒(méi)有人干活，這是不符合實(shí)際的。命題者考慮不夠周到.17. 【解】若設(shè)每一組的平均數(shù)均為a0+999）x999別總和為999a=2a = 500 500x3=1500從而這三組平均教

17、的和為1500.18. 【解】這4個(gè)數(shù)的公約數(shù)必為1111的約數(shù)，而 1111 = 11x101又 11 = 1 十 2 + 3 + 5所以,101, 2x101, 3x101, 15x101的和為1111,且最大公約數(shù)為101因此，這四個(gè)數(shù)的公約數(shù)最大是10119. 【解】設(shè)右邊衣袋的硬幣“町、坊比左邊的巧、町多2分.右邊的巧、為比左 邊的巧、禺少2分，于是這8枚硬幣的錢數(shù)正好相等.由于兩邊錢數(shù)相等，所以左邊剩下的內(nèi)、右比右邊的巧、毎多2分，比， 右邊的引、切也多2分，從而巧、毎的錢數(shù)是2分，引、切的錢數(shù)也是2分，而 與、右的錢數(shù)是4分.由于左邊的兩枚硬幣可以任意選取，而且不可能比2分錢少2

18、分，所以左 邊每?jī)擅兜腻X數(shù)是4分，左邊6枚共12分，兩個(gè)衣袋共有24分錢.20. 【解】35, 37,，99這33個(gè)數(shù)屮，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)（因?yàn)?35x3>99）.另一方面，將1，3, 5,，99這50個(gè)數(shù)，每一個(gè)都寫成獷t的形 式.其中a是0或口然數(shù)，t是不能被3整除的自然數(shù)，由于1, 3,，99中有 17個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，剩下50-17 = 33不是3的倍數(shù)，所以t的值只有33種.于是從1, 3, 5,，99中任取34 個(gè)數(shù)，其屮必有兩個(gè)數(shù)的t相同，從而一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).因此答案是33.決賽:1. 【解】原式=4 x 5 x （4. 85 + 6. 15）-3. 6

19、+ 5. 5-4 x 21 1 1=4 x3.6x （11-d+11x （0. 5-3）11=9+ 65=10 6丄 xuj 唸 t2. 【解】» （小時(shí)）.3. 【解】第一張紙片蓋住的面積是3x2 = 6（平方厘米）后而每增加一張（紙片）.多 蓋（3-2） x2 = 2（平方厘米）.于是，這10張紙片蓋住桌面上的面積是6 + 2x9： 24（平方厘米）4. 【解】最大的是9.2918929155. 【解】數(shù)列 1, 1989, 1988, 1, 1987, 1986, 1, 1985, 1984,中每隔 3 個(gè)數(shù) 有一個(gè)1,去掉1以后，每個(gè)數(shù)比前一個(gè)少119894-3=663,所以

20、第 1989 個(gè)數(shù)是 1989-663x2 + 1 = 664.6. 【解】假設(shè)李明20分鐘行走1份，則李明80分鐘走4份，于是，張平在20分 鐘內(nèi)可行駛4x2 + 1=9（份）即李明與張平的速度比為1 ： 9由此，當(dāng)李明從甲走到乙時(shí)張明從乙到甲，從甲到乙，共走了 9次于是，張平共追上李明7. 【解】陰影部分的面積等于全部圖形的面積減去一個(gè)直徑為3厘米的1半圓的面積，從而等于一個(gè)半徑為3厘米的圓的面積的懇即16 x ji x 3a = x3. 14x9-4.71(平方厘米)&【解】任兩個(gè)數(shù)的和是2的倍數(shù)，所以這些數(shù)的奇偶性相同任三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，所以這些數(shù)除以3,所得余數(shù)必定相同(

21、否則在 三個(gè)數(shù)的和中換一個(gè)數(shù)，和將不是3的倍數(shù))于是，這些數(shù)除以6所得余數(shù)相同。和最小的四個(gè)數(shù)是1, 7(=1+6),13( = 7+6), 19=(13 + 6).9.【解】陰影部分的面積和= 100x3-144 2x42 = 72(平方厘米)10.【解】最多是22個(gè).將圖中三個(gè)面上打點(diǎn)的方格染紅，打x的方格染黃，其余的染藍(lán)，它們的 對(duì)面也同樣地涂色，這樣就有(5 + 4 + 2) x2 = 22個(gè)方格染紅，而且有公共邊的正方形顏色不同【注】要證明紅色的正方形不能超過(guò)22個(gè)，需要用枚舉法，將正方體切成 三層，上面一層只有一種方式使紅色的方格超過(guò)8個(gè)，即圖2.中央一層最多可染6個(gè)紅色方格，即圖

22、3。但上一層紅色方格有9個(gè)時(shí), 中央一層只能染4個(gè)紅色方格，所以紅色方格的總數(shù)£9 + 4 + 9或8 + 6 + 8.即不超過(guò)22個(gè).11【解】每個(gè)人的得分都是偶數(shù)，d、e二人比賽時(shí)，勝者得2分，所以d、e的 得分至少是2, c的得分至少是4,如果c的得分大于4,那么a、b的得分大于6, 五人總分大于2x2 + 4 + 6x2 = 20但五個(gè)人共賽5x44-2=10盤，總得分為10x2 = 20因此，c的得分只能是4(這時(shí)a、b各得6分).12.【解】將11989排成四個(gè)數(shù)列：1,5,9,，1985, 19892,6,10,，19863,7,11.，19874,8,12,，1988每個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差是4,因此，要使取出的數(shù)中，每?jī)蓚€(gè)的差不等于4, 每個(gè)數(shù)列中不能取相鄰的項(xiàng)，因此，第一個(gè)數(shù)列只能取出一半，因?yàn)樗?1989 -1)4-4+1=498 項(xiàng)，所以