初中數(shù)學(xué)探究型題

1、2021-11-1012021-11-102 探究型問題是近年中考比較常見的題目，解探究型問題是近年中考比較常見的題目，解答這類問題的關(guān)鍵是牢固掌握基本知識，加強(qiáng)答這類問題的關(guān)鍵是牢固掌握基本知識，加強(qiáng)“一題多解一題多解”、“一題多變一題多變”等的訓(xùn)練；需要有等的訓(xùn)練；需要有較較強(qiáng)的發(fā)散思維能力、創(chuàng)新能力。具體做題時，強(qiáng)的發(fā)散思維能力、創(chuàng)新能力。具體做題時，要仔細(xì)分析題目的有關(guān)信息、合情推理、聯(lián)想，要仔細(xì)分析題目的有關(guān)信息、合情推理、聯(lián)想，并要運(yùn)用類比、歸納、分類討論等數(shù)學(xué)思想全并要運(yùn)用類比、歸納、分類討論等數(shù)學(xué)思想全面考慮問題，有時還借助圖形、實(shí)物或?qū)嶋H操面考慮問題，有時還借助圖形、實(shí)物或?qū)?/p>

2、際操作來打開思路。作來打開思路。2021-11-103探究型問題探究型問題規(guī)律型問題規(guī)律型問題實(shí)實(shí) 驗(yàn)操作題驗(yàn)操作題存在型問題存在型問題動態(tài)型問題動態(tài)型問題2021-11-1041.1.條件的不確定性條件的不確定性2.2.結(jié)構(gòu)的多樣性結(jié)構(gòu)的多樣性3.3.思維的多向性思維的多向性4.4.解答的層次性解答的層次性5.5.過程的探究性過程的探究性6.6.知識的綜合性知識的綜合性2021-11-105 規(guī)律探索試題是中考中的一棵常青樹，一直受到命題者的青睞，主要原因是這類試題沒有固定的形式和方法，要求學(xué)生通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等探索活動來解決問題2021-11-1061 1數(shù)式規(guī)律數(shù)式

3、規(guī)律例1：(2009 (2009 湖北十堰湖北十堰) )觀察下面兩行數(shù)： 2， 4， 8， 16， 32， 64， 5， 7， 11， 19， 35， 67， 根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，取每行數(shù)的第10個數(shù)，求得它們的和是（寫出最后的結(jié)果寫出最后的結(jié)果） 1021024分析：分析：第一行的第10個數(shù)是 ,第二行的每個數(shù)總比第一行同一位置上的數(shù)大每個數(shù)總比第一行同一位置上的數(shù)大3 3，所以第，所以第二行的第二行的第1010個數(shù)是個數(shù)是1024+3=1027.1024+3=1027. 2051歸納與猜想歸納與猜想2021-11-1071 1數(shù)式規(guī)律數(shù)式規(guī)律例2：(2009(2009北京北京) )一組按規(guī)律

4、排列的式子： （ab0）， 其中第7個式子是 ， 第n個式子是 （n為正整數(shù)） 25811234, , , bbbbaaaa 本題難點(diǎn)是，變化的部分太多，有三處發(fā)生變化：分子、分母、分式的符號。學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)各部分的變化規(guī)律，但是如何用一個統(tǒng)一的式子表示出分式的符號的變化規(guī)律是難點(diǎn).歸納與猜想歸納與猜想2021-11-1081 1數(shù)式規(guī)律數(shù)式規(guī)律例3：（09年陜西）觀察下列各式： 13=1221； 24=2222； 35=3223； 請你將猜想到的規(guī)律用正整數(shù)n 表示出來：_.1n 方法總結(jié)：橫向熟悉代數(shù)式、算式的結(jié)構(gòu)；縱向觀察、對比，研究各式之間的關(guān)系，尋求變化規(guī)律；按要求寫出算式或結(jié)果。歸

5、納與猜想歸納與猜想2021-11-1092 2圖形規(guī)律圖形規(guī)律例例4 4: :(20082008黑龍江哈爾濱黑龍江哈爾濱) )觀察下列圖形：觀察下列圖形： 它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2020個圖形共有個圖形共有 個個三角形每條邊上的星數(shù)相同,再減去三個頂點(diǎn)的數(shù)方法一方法一: 3(n+1)-3=3n: 3(n+1)-3=3n3n歸納與猜想歸納與猜想2021-11-10102 2圖形規(guī)律圖形規(guī)律例例4 4: :(20082008黑龍江哈爾濱黑龍江哈爾濱) )觀察下列圖形：觀察下列圖形： 它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第它們是按一定規(guī)律排列的，

6、依照此規(guī)律，第2020個圖形共有個圖形共有 個個3 36 69 912123n歸納與猜想歸納與猜想2021-11-10112 2圖形規(guī)律圖形規(guī)律例例5 5（20092009海南?。┯猛瑯哟笮〉暮谏遄影磮D所示海南省）用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n n個圖個圖形需棋子形需棋子 枚（用含枚（用含n n的代數(shù)式表示）的代數(shù)式表示）. . 第1個圖第2個圖第3個圖方法一方法一: :除第一個圖形有除第一個圖形有4 4枚棋子外枚棋子外, ,每多一個圖形每多一個圖形, , 多多3 3枚棋子枚棋子. .4 43 3（n n1 1）

7、=3=3 n+1+1歸納與猜想歸納與猜想2021-11-10122 2圖形規(guī)律圖形規(guī)律例例5 5（20092009海南?。┯猛瑯哟笮〉暮谏遄影磮D所示海南省）用同樣大小的黑色棋子按圖所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n n個圖個圖形需棋子形需棋子 枚（用含枚（用含n n的代數(shù)式表示）的代數(shù)式表示）. . 第1個圖第2個圖第3個圖3n+1方法二方法二: :每個圖形每個圖形, ,可看成是序列數(shù)與可看成是序列數(shù)與3 3的倍數(shù)的倍數(shù) 又多又多1 1枚棋子枚棋子歸納與猜想歸納與猜想2021-11-10132 2圖形規(guī)律圖形規(guī)律例例5 5（20092009

8、海南?。┯猛瑯哟笮〉暮谏遄影磮D所示海南?。┯猛瑯哟笮〉暮谏遄影磮D所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n n個圖個圖形需棋子形需棋子 枚（用含枚（用含n n的代數(shù)式表示）的代數(shù)式表示）. . 第1個圖第2個圖第3個圖方法三方法三: 2n+(n+1)=3n: 2n+(n+1)=3n+1+1方法總結(jié)：認(rèn)真觀察 研究圖案（形） 提取數(shù)式信息 仿照數(shù)式規(guī)律得到結(jié)論歸納與猜想歸納與猜想2021-11-1014復(fù)練復(fù)練1：2021-11-1015返表一返表一復(fù)練復(fù)練2：2021-11-1016探究規(guī)律題的一般步驟為：探究規(guī)律題的一般步驟為：(1)觀察（發(fā)現(xiàn)

9、特點(diǎn)）觀察（發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)）(2)猜想（可能的規(guī)律）猜想（可能的規(guī)律）(3)實(shí)驗(yàn)（用具體數(shù)值代入猜想）實(shí)驗(yàn)（用具體數(shù)值代入猜想）2021-11-1017二、填空題二、填空題1、有一組數(shù)：、有一組數(shù)：1，2，5，10，17，26，請觀察這組數(shù)的構(gòu)，請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個數(shù)為個數(shù)為2、把正整數(shù)、把正整數(shù)1，2，3，4，5，按如下規(guī)律排列：，按如下規(guī)律排列： 1 2，3， 4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15， 按此規(guī)律，可知第按此規(guī)律，可知第n行有行有 個正整數(shù)個正整數(shù)2n-1502021-11-10183、將正數(shù)按如圖所示的規(guī)

10、律排律下去。將正數(shù)按如圖所示的規(guī)律排律下去。若用有序?qū)崝?shù)對（若用有序?qū)崝?shù)對（n , m)表示第表示第n排，從排，從左到右第左到右第m個數(shù)，如（個數(shù)，如（4，3）表示實(shí)數(shù)）表示實(shí)數(shù)9，則（則（7，2）表示的實(shí)數(shù)）表示的實(shí)數(shù)_231) 1)(1(2xxx1) 1)(1(32xxxx1) 1)(1(423xxxxx) 1)(1(910 xxxx4、試觀察下列各式的規(guī)律，然后填空：、試觀察下列各式的規(guī)律，然后填空：則_ 111x2021-11-1019為正整數(shù)）為個等式（依此規(guī)律，第）（）（）（、觀察下列各式nn122551001333562551001222522551001111552222222

11、25100) 1()510(nnn2021-11-10200 1 3 5 7 9 11 13s1s2s3s4圖66、如圖、如圖6，aob=450，過，過oa到點(diǎn)到點(diǎn)o的距離分別的距離分別為為1，3，5，7，9，11，-的點(diǎn)作的點(diǎn)作oa的垂線與的垂線與ob相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為為s1、s2、s3、s4-觀察圖中的規(guī)律，求出第觀察圖中的規(guī)律，求出第10個黑色梯形的面積個黑色梯形的面積s10=_767、一個巴爾末的中學(xué)教師成功地從光譜數(shù)據(jù)，、一個巴爾末的中學(xué)教師成功地從光譜數(shù)據(jù)，-中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧秘的大門，請你按照

12、這中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧秘的大門，請你按照這種規(guī)律，寫出第種規(guī)律，寫出第n(n1)個數(shù)據(jù)是個數(shù)據(jù)是_.,3236,2125,1216,594)2()2)4()2222nnnnn（或（解：2021-11-1021。則符合前面式子的規(guī)律，若，、已知：_,10102455245515441544 ,833833322322922222baabab109 c b a 5 56 7 5 3 20 5 3 1、填在下面三個田字格內(nèi)的數(shù)有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，填在下面三個田字格內(nèi)的數(shù)有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，c = 108、古希臘數(shù)學(xué)家把、古希臘數(shù)學(xué)家把1，3，6，10，15，21，叫做三角，

13、叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第100個三角形數(shù)與第個三角形數(shù)與第98個三角形數(shù)的個三角形數(shù)的差為差為1992021-11-102211111112, 23, 34,.334455、觀察下列各式：、觀察下列各式： 請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n1)的等式表示出的等式表示出來來 21) 1(21nnnn2021-11-102315、按如下規(guī)律擺放三角形：、按如下規(guī)律擺放三角形：則第（則第（4）堆三角形的個數(shù)為）堆三角形的個數(shù)為_；第第(n)堆三角形的個數(shù)為堆三角形的個數(shù)為_ n+22021-11-102416、柜臺上放著一堆罐頭，它們擺放在的形

14、狀見右圖：第一層有聽罐頭；第二層有聽罐頭；第三層有聽罐頭。根據(jù)這堆罐頭排列規(guī)律，第n（n為正整數(shù)）層有聽罐頭（用含n的式子表示）n2+3n+22021-11-1025 實(shí)驗(yàn)操作型問題是讓學(xué)生在實(shí)際操作實(shí)驗(yàn)操作型問題是讓學(xué)生在實(shí)際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計問題，主要有：的基礎(chǔ)上設(shè)計問題，主要有：裁剪、折裁剪、折疊、拼圖等動手操作問題，往往與面積、疊、拼圖等動手操作問題，往往與面積、對稱性質(zhì)相聯(lián)系；對稱性質(zhì)相聯(lián)系；與畫圖、測量、猜想、與畫圖、測量、猜想、證明等有關(guān)的探究型問題。證明等有關(guān)的探究型問題。 2021-11-1026實(shí)驗(yàn)操作型問題實(shí)驗(yàn)操作型問題 主要考查：（1）全等、相似、平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、翻折等

15、幾何操作變換的若干方法和技巧；(2）綜合運(yùn)用相關(guān)知識解決應(yīng)用問題折紙與剪紙 分割與拼合 展開與疊合 2021-11-1027 動手操作型的折紙與剪紙，圖形的分割與拼合、幾何體的展開與疊合，幾乎觸及了每份試卷，從單一的選擇、填空，到綜合性較強(qiáng)的探索猜想、總結(jié)規(guī)律，判斷論證存在與否，以及分類討論等綜合題，幾乎無處不在1. 1.基礎(chǔ)題型基礎(chǔ)題型2021-11-10281.1.折紙問題折紙問題例例6 6（2008泰州）如圖，把一張長方形紙片對折，折痕為ab，再以ab的中點(diǎn)o為頂點(diǎn)把平角aob三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以o為頂點(diǎn)的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得

16、到的平面圖形一定是（ ）a正三角形 b正方形 c正五邊形 d正六邊形 基礎(chǔ)基礎(chǔ)題型題型 解題策略解題策略1 1：重過程重過程“ “折折” ”溫馨提示溫馨提示: :看清步驟，仔細(xì)操作看清步驟，仔細(xì)操作. .操作與探究操作與探究2021-11-1029abcd復(fù)練（復(fù)練（0808山東）：山東）：將一正方形紙片按下列順序折疊，將一正方形紙片按下列順序折疊，然后將最后折疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角然后將最后折疊的紙片沿虛線剪去上方的小三角形將紙片展開，得到的圖形是（形將紙片展開，得到的圖形是（ ）試一試：試一試：溫馨提示溫馨提示: :帶齊工具。帶齊工具。c2021-11-1030. .拼圖問題拼圖問

17、題 例例7 7（08 08 順義一模）順義一模）如圖如圖1 1，abcabc是直角三角形，是直角三角形， 如果用四張與如果用四張與abcabc全等的三角形紙片恰好拼成全等的三角形紙片恰好拼成 一個等腰梯形，如圖一個等腰梯形，如圖2 2，那么在，那么在rtrtabcabc中，中， 的值是的值是 acbc方法一:觀察邊長,兩條較短的直角邊的和等于斜邊的長方法二:觀察角度, 兩個較小的銳角的和等于較大的銳角基礎(chǔ)基礎(chǔ)題型題型 操作與探究操作與探究2021-11-1031. .拼圖問題拼圖問題基礎(chǔ)基礎(chǔ)題型題型 例例8 8：（：（0808常州）如圖常州）如圖, ,這是一張等腰梯形紙片這是一張等腰梯形紙片,

18、 ,它的它的上底長為上底長為2,2,下底長為下底長為4,4,腰長為腰長為2,2,這樣的紙片共有這樣的紙片共有5 5張張. .打算用其中的幾張來拼成較大的等腰梯形打算用其中的幾張來拼成較大的等腰梯形, ,那么你能那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形拼出哪幾種不同的等腰梯形? ?分別畫出它們的示意圖分別畫出它們的示意圖, ,并寫出它們的周長并寫出它們的周長. . 2224操作與探究操作與探究2021-11-1032. .拼圖問題拼圖問題基礎(chǔ)基礎(chǔ)題型題型 2234202222422021-11-10334.4.網(wǎng)格問題網(wǎng)格問題例10（08年石景山一模）如圖，在由12個邊長都為1且有一個銳角為60的小菱形

19、組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)p是其中的一個頂點(diǎn)，以點(diǎn)p為直角頂點(diǎn)作格點(diǎn)直角三角形（即頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的三角形），請你寫出所有可能的直角三角形斜邊的長_. 1 12 2基礎(chǔ)基礎(chǔ)題型題型 操作與探究操作與探究2021-11-10344.4.網(wǎng)格問題網(wǎng)格問題例10（08年石景山一模）如圖，在由12個邊長都為1且有一個銳角為60的小菱形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)p是其中的一個頂點(diǎn)，以點(diǎn)p為直角頂點(diǎn)作格點(diǎn)直角三角形（即頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的三角形），請你寫出所有可能的直角三角形斜邊的長_. 1 12 2基礎(chǔ)基礎(chǔ)題型題型 評析：這類題型主要以學(xué)生熟悉的、感興趣的圖形為背景，提供觀察和操作的機(jī)會，讓學(xué)生通過動手操作，親自發(fā)現(xiàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性

20、，在思想評析：這類題型主要以學(xué)生熟悉的、感興趣的圖形為背景，提供觀察和操作的機(jī)會，讓學(xué)生通過動手操作，親自發(fā)現(xiàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，在思想和行動上逐步消除理論和實(shí)踐之間的阻隔網(wǎng)格試題具有操作性，趣味性，體現(xiàn)了和行動上逐步消除理論和實(shí)踐之間的阻隔網(wǎng)格試題具有操作性，趣味性，體現(xiàn)了“在玩中學(xué)，在學(xué)中思，在思中得在玩中學(xué)，在學(xué)中思，在思中得”的課標(biāo)理念的課標(biāo)理念操作與探究操作與探究2021-11-1035 動手操作型試題是指給出操作規(guī)則，在操作過程動手操作型試題是指給出操作規(guī)則，在操作過程中發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，自主探索知識的發(fā)展過程；它為解題中發(fā)現(xiàn)新結(jié)論，自主探索知識的發(fā)展過程；它為解題者創(chuàng)設(shè)了動手實(shí)踐，操作設(shè)計的

21、空間，考察了學(xué)生的者創(chuàng)設(shè)了動手實(shí)踐，操作設(shè)計的空間，考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和創(chuàng)新設(shè)計才能數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和創(chuàng)新設(shè)計才能2. 2.綜合題型綜合題型2021-11-1036 現(xiàn)有現(xiàn)有10個邊長為個邊長為1的正方形，排列形式如圖的正方形，排列形式如圖4, 請把它們分割后拼接成一請把它們分割后拼接成一個新的正方形要求：個新的正方形要求： 在圖在圖4中畫出分割線中畫出分割線, 并在圖并在圖5的正方形網(wǎng)格圖（圖中的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為每個小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形 說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過

22、程.例例11（2006 北京）北京）請閱讀下列材料請閱讀下列材料: 問題問題: 現(xiàn)有現(xiàn)有5個邊長為個邊長為1的正方形，排列形式如圖的正方形，排列形式如圖1, 請把它們分割后拼請把它們分割后拼接成一個新的正方形要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小接成一個新的正方形要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形 小東同學(xué)的做法是小東同學(xué)的做法是: 設(shè)新正方形的邊長為設(shè)新正方形的邊長為x（x 0）. 依題意，割補(bǔ)前后依題意，割補(bǔ)前后圖形面積相等，有圖形面積相等，有x2=5,解得解得 由此可知新正方形的

23、邊長等于兩個小正由此可知新正方形的邊長等于兩個小正方形組成的矩形對角線的長方形組成的矩形對角線的長. 于是，畫出如圖于是，畫出如圖2所示的分割線所示的分割線, 拼出如圖拼出如圖3所所示的新正方形示的新正方形5x圖3圖2圖1圖3圖2圖1請你參考小東同學(xué)的做法，解請你參考小東同學(xué)的做法，解決如下問題決如下問題:圖圖題型一：題型一：畫圖與拼圖畫圖與拼圖綜合綜合題型題型 操作與探究操作與探究2021-11-1037 小東同學(xué)的做法是：小東同學(xué)的做法是： 設(shè)新正方形的設(shè)新正方形的邊長為邊長為x(x0). 依題意，割補(bǔ)前后圖形的依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有面積相等，有x2=5,解得解得x= . 由此

24、可知由此可知新正方形的邊長等于兩個小正方形組成的矩新正方形的邊長等于兩個小正方形組成的矩形對角線的長形對角線的長. 于是，畫出如圖于是，畫出如圖2所示的分所示的分割線，如圖割線，如圖3所示的新正方形所示的新正方形.5再現(xiàn)操作情境再現(xiàn)操作情境2021-11-1038 小東同學(xué)的做法是：小東同學(xué)的做法是： 設(shè)新正方形的設(shè)新正方形的邊長為邊長為x(x0). 依題意，割補(bǔ)前后圖形的依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有面積相等，有x2=5, 解得解得x= . 由此由此可知新正方形的邊長等于兩個小正方形組成可知新正方形的邊長等于兩個小正方形組成的矩形對角線的長的矩形對角線的長. 于是，畫出如圖于是，畫出如圖

25、4所示所示的分割線，的分割線， 如圖如圖5所示的新正方形所示的新正方形.51010理清操作步驟理清操作步驟發(fā)現(xiàn)變化，發(fā)現(xiàn)變化，類比遷移類比遷移2021-11-1039 小東同學(xué)的做法是：小東同學(xué)的做法是： 設(shè)新正方形的設(shè)新正方形的邊長為邊長為x(x0). 依題意，割補(bǔ)前后圖形的依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有面積相等，有x2=5, 解得解得x= . 由此由此可知新正方形的邊長等于兩個小正方形組成可知新正方形的邊長等于兩個小正方形組成的矩形對角線的長的矩形對角線的長. 于是，畫出如圖于是，畫出如圖4所示所示的分割線，的分割線， 如圖如圖5所示的新正方形所示的新正方形.51010理清操作步驟理清

26、操作步驟發(fā)現(xiàn)變化，發(fā)現(xiàn)變化，類比遷移類比遷移析解：析解：本例是將矩形分割后拼成正方形，而試題又提供了拼接方法， 解決這類問題除要有平時的分割和拼接經(jīng)驗(yàn)外，還要密切關(guān)注 試題中的閱讀材料2021-11-1040題型二：題型二：折疊與變換折疊與變換例例1212（0808北京）北京） 已知等邊三角形紙片的邊長為已知等邊三角形紙片的邊長為8 8，d d為為abab邊邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)上的點(diǎn)，過點(diǎn)d d作作dgbcdgbc交交acac于點(diǎn)于點(diǎn)g gdebcdebc于點(diǎn)于點(diǎn)e e，過點(diǎn)，過點(diǎn)g g作作gfbcgfbc于于f f點(diǎn)，把三角形紙片點(diǎn)，把三角形紙片abcabc分別沿分別沿dg,de,gfdg,de,

27、gf按圖按圖1 1所示方所示方式折疊，點(diǎn)式折疊，點(diǎn)a,b,ca,b,c分別落在點(diǎn)分別落在點(diǎn)aa，bb，cc處若點(diǎn)處若點(diǎn)aa，bb，cc在矩形在矩形defgdefg內(nèi)或其邊上，且互不重合，此時內(nèi)或其邊上，且互不重合，此時我們稱我們稱abcabc（即圖中陰影部分）為（即圖中陰影部分）為“重疊三角形重疊三角形” 綜合綜合題型題型 折折疊疊軸軸對對稱稱實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)透過現(xiàn)象看本質(zhì): :2021-11-1041（1）若把三角形紙片abc放在等邊三角形網(wǎng)格中（圖 中每個小三角形都是邊長為1的等邊三角形），點(diǎn) a,b,c,d恰好落在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上如圖2所示， 請直接寫出此時重疊三角形abc的面積_

28、；題型二：題型二：折疊與變換折疊與變換觀察圖形可知:重疊三角形是邊長為2的等邊 三角形綜合綜合題型題型 2021-11-1042（2）實(shí)驗(yàn)探究：設(shè)ad的長為m，若重疊三角形abc存在 試用含m的代數(shù)式表示重疊三角形abc的面積，并寫 出m的取值范圍（直接寫出結(jié)果，備用圖供實(shí)驗(yàn)，探究用）題型二：題型二：折疊與變換折疊與變換綜合綜合題型題型 評析：本題設(shè)計精巧，頗具新意，是以學(xué)生喜聞樂見的“折紙”為背景，展示了數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵，材料鮮活、親切，表述簡明直觀。本題的另一巧 妙之處在于構(gòu)成網(wǎng)格的圖形是正三角形，令人耳目一新。第一問折疊是軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用，應(yīng)注意折疊中出現(xiàn)的不變量；第二問體現(xiàn)了由 特殊到一

29、般的認(rèn)知規(guī)律，在直觀操作的基礎(chǔ)上，將直覺與簡單推理相結(jié)合，考察了學(xué)生的建模能力mm8-m8-2m8-2m8-2m08823m2021-11-1043綜合綜合題型題型 題型二：題型二：折疊與變換折疊與變換例例1313（0808浙江）浙江）已知直角梯形紙片oabc在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為o(0，0)，a(10，0)，b(8， )，c(0， )，點(diǎn)t在線段oa上(不與線段端點(diǎn)重合)，將紙片折疊，使點(diǎn)a落在射線ab上(記為點(diǎn)a)，折痕經(jīng)過點(diǎn)t，折痕tp與射線ab交于點(diǎn)p，設(shè)點(diǎn)t的橫坐標(biāo)為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為s；(1)求oab的度數(shù)，并求當(dāng)點(diǎn)a在

30、線段ab上時，s關(guān)于t的 函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時，求t的取值范圍；(3)s存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值，并求此時t 的值；若不存在，請說明理由3232評析： 這是一道翻折實(shí)驗(yàn)題，可以讓學(xué)生在親手操作中學(xué)習(xí)知識，充分考查學(xué)生的作圖能力、空間想象能力和探索能力。 也可利用課件演示幾個關(guān)鍵點(diǎn)2021-11-1044解題策略解題策略2 2：重結(jié)果重結(jié)果“ “疊疊” ”心得：心得：先標(biāo)等量，再構(gòu)造方程。先標(biāo)等量，再構(gòu)造方程。 折疊問題中構(gòu)造方程的方法：折疊問題中構(gòu)造方程的方法：（2 2）尋找相似三角形，根據(jù)相似比得方程。）尋找相似三角形，根據(jù)相似比得方程。（1 1）把條

31、件集中到一）把條件集中到一rtrt中，根據(jù)勾股定理得方程。中，根據(jù)勾股定理得方程。2021-11-1045重結(jié)果重結(jié)果折疊問題折疊問題折折疊疊程過重程過重利用利用rt利用利用方程思想方程思想軸對稱軸對稱全等性全等性對稱性對稱性質(zhì)本質(zhì)本精髓精髓2021-11-1046例例1414（0606順義二模）把兩個全等的等腰直角板順義二模）把兩個全等的等腰直角板abcabc和和opqopq疊放在一起，疊放在一起， 如圖如圖1 1，且使三角板，且使三角板opqopq的直角頂點(diǎn)的直角頂點(diǎn)o o與三角板與三角板abcabc的斜邊中點(diǎn)重合的斜邊中點(diǎn)重合 現(xiàn)將三角板現(xiàn)將三角板opqopq繞點(diǎn)繞點(diǎn)o o按順時針方向旋

32、轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角 滿足條件滿足條件 ），四邊形），四邊形cdoecdoe是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部 分（如圖分（如圖2 2，圖，圖3 3所示），已知兩個三角板的直角邊長均為所示），已知兩個三角板的直角邊長均為4 4 探究：（探究：（1 1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，線段）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，線段odod與與oeoe之間有怎樣的數(shù)量關(guān)之間有怎樣的數(shù)量關(guān) 系系, ,以圖以圖2 2為例證明你的猜想為例證明你的猜想. .題型三：題型三：旋轉(zhuǎn)與探索旋轉(zhuǎn)與探索綜合綜合題型題型 圖3 圖2 圖1 q q e e d d o o a a b b q q e e d d o

33、 o a a b b q q o o a a b b c c c c c c p p p p p p實(shí)驗(yàn)與推理實(shí)驗(yàn)與推理0902021-11-1047實(shí)驗(yàn)與推理實(shí)驗(yàn)與推理題型三：題型三：旋轉(zhuǎn)與探索旋轉(zhuǎn)與探索2021-11-1048【點(diǎn)評】以上兩題都是通過三角板的旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造探索性問題，學(xué)生在探以上兩題都是通過三角板的旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造探索性問題，學(xué)生在探 索過程中，可以表現(xiàn)出自己在從事觀察、實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)表達(dá)、猜索過程中，可以表現(xiàn)出自己在從事觀察、實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)表達(dá)、猜 想、證明等數(shù)學(xué)活動方面的能力此題關(guān)注了學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)對想、證明等數(shù)學(xué)活動方面的能力此題關(guān)注了學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)對 象的過程與方法象的過程與方法 為了考

34、查和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，中考試題中也越來為了考查和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，中考試題中也越來 越多地引入了開放性問題，使學(xué)生通過對開放性試題的解答，越多地引入了開放性問題，使學(xué)生通過對開放性試題的解答， 親自經(jīng)歷做數(shù)學(xué)的過程，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識和理解親自經(jīng)歷做數(shù)學(xué)的過程，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識和理解 這也對我們今后的教學(xué)的方向性起著導(dǎo)向作用這也對我們今后的教學(xué)的方向性起著導(dǎo)向作用2021-11-1049例例16 （0808義烏）如圖義烏）如圖1 1，四邊形，四邊形abcdabcd是正方形，是正方形，g g是是cdcd邊上的一邊上的一個動點(diǎn)個動點(diǎn)( (點(diǎn)點(diǎn)g g與與c c、d d不重合

35、不重合) )，以，以cgcg為一邊在正方形為一邊在正方形abcdabcd外作正外作正方形方形cefgcefg，連結(jié)，連結(jié)bgbg，dede我們探究下列圖中線段我們探究下列圖中線段bgbg、線段、線段dede的的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： （1 1）猜想如圖猜想如圖1 1中線段中線段bgbg、線段、線段dede的長度關(guān)系及所在直線的的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；位置關(guān)系；將圖將圖1 1中的正方形中的正方形cefgcefg繞著點(diǎn)繞著點(diǎn)c c按順時針按順時針( (或逆時針或逆時針) )方向旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖任意角度，得到如圖2 2、如圖、如圖3 3情形

36、請你通過觀察、測量等方情形請你通過觀察、測量等方法判斷法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立中得到的結(jié)論是否仍然成立, ,并選取圖并選取圖2 2證明你的判證明你的判斷斷題型三：題型三：旋轉(zhuǎn)與探索旋轉(zhuǎn)與探索綜合綜合題型題型 實(shí)驗(yàn)與推理實(shí)驗(yàn)與推理2021-11-1050題型三：題型三：旋轉(zhuǎn)與探索旋轉(zhuǎn)與探索綜合綜合題型題型 （2）將原題中正方形改為矩形（如圖46），且ab=a，bc=b，ce=ka， cg=kb (ab，k0)，第(1)題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由（3）在第(2)題圖5中，連結(jié)dg、be，且a=3，b=2， k= ，求 的值1222bedg評析：本題考查

37、學(xué)生探索知識、發(fā)現(xiàn)知識、應(yīng)用知識的綜合創(chuàng)新能力。學(xué)生在探究時的猜想一般來說都是一些可預(yù)見的結(jié)果，如：大小關(guān)系一般是相等或和差相等，平面內(nèi)兩直線關(guān)系一般是平行、垂直等。因此，學(xué)生的猜想可有一個大方向。同時，此類題型由于條件的變化，其探索過程也由簡到難，可運(yùn)用類比的方法依次求出，從而使學(xué)生在身臨數(shù)學(xué)的情境中潛移默化，逐漸感悟到數(shù)學(xué)思維的力量。 實(shí)驗(yàn)與推理實(shí)驗(yàn)與推理2021-11-1051綜合綜合題型題型 【點(diǎn)評【點(diǎn)評】這些試題均體現(xiàn)新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“操作猜想探究證明”理念。每題在課本中均能找到落腳點(diǎn)，但改變了過去直接要求學(xué)生對命題證明的形式，而是按照：“給出特例猜想一般推理論證再次猜想”要求呈現(xiàn)，這

38、對考查學(xué)生的創(chuàng)新意識是十分有益的，對教學(xué)也起到了正確的引導(dǎo)作用題型三：題型三：旋轉(zhuǎn)與探索旋轉(zhuǎn)與探索2021-11-1052 存在性探索問題是指在某種題設(shè)條件下，判存在性探索問題是指在某種題設(shè)條件下，判斷具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象是否存在的一類問題斷具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象是否存在的一類問題這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng)，題意這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng)，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對學(xué)生分析問題構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中考的考的“熱點(diǎn)熱點(diǎn)”。 這類題目解法的一般思路是：假設(shè)存在推理論

39、證得出結(jié)論。若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷。2021-11-1053“存在性存在性”問題大體可分為兩類：問題大體可分為兩類： 1 1由數(shù)量關(guān)系確定的由數(shù)量關(guān)系確定的“存在性存在性”問題問題 （即要找的是滿足一個（即要找的是滿足一個“特殊特殊”數(shù)量方面的要求）數(shù)量方面的要求）2 2由位置關(guān)系確定的由位置關(guān)系確定的“存在性存在性”問題問題 （即要找的是滿足一個（即要找的是滿足一個“特殊特殊”位置方面的要求）位置方面的要求） 解 決 的 方 法主要是借助于構(gòu)造基本圖形 解決的方法主要是借助于構(gòu)造方程2021-11-1054 解決此類問題的關(guān)鍵是將運(yùn)動的幾何元素

40、當(dāng)作靜止來加以解答，即“化動為靜”的思路；并能從相對靜止的瞬間清晰地發(fā)現(xiàn)圖形變換前后各種量與量之間的關(guān)系，通過歸納得出規(guī)律和結(jié)論，并加以論證.2021-11-1055 例例1717： （06順義一模）已知，如圖，abc中，ab=6， ac=8，m為ab上一點(diǎn)（m不與點(diǎn)a、b重合），mnbc交 ac于點(diǎn)n.（1）當(dāng)amn的面積是四邊形mbcn面積的2倍時，求am的長；（2）若a=90，在bc上是否存在點(diǎn)p，使得mnp為等腰 直角三角形？若存在請求出mn的長；若不存在，請說 明理由. n b c a m2021-11-1056 例例1818：（08大興二模）已知,拋物線 過點(diǎn)a(-3,0),b(1

41、,0), ，此拋物線的頂點(diǎn)為d.（1）求此拋物線的解析式；（2）把a(bǔ)bc繞ab的中點(diǎn)m旋轉(zhuǎn)180，得到四邊形aebc. 求e點(diǎn)的坐標(biāo)； 試判斷四邊形aebc的形狀，并說明理由（3）試探求：在直線bc上是否存在一點(diǎn)p，使得pad的周長 最小，若存在，請求出點(diǎn)p的坐標(biāo)，若不存在，請說明理 由cbxaxy2)3, 0(c2021-11-1057 動態(tài)探究題能夠真實(shí)的考查學(xué)生的知識水動態(tài)探究題能夠真實(shí)的考查學(xué)生的知識水平、理解能力，有較好的區(qū)分度，具有較好的平、理解能力，有較好的區(qū)分度，具有較好的選拔功能；同時，依托圖形的變化（動點(diǎn)、動選拔功能；同時，依托圖形的變化（動點(diǎn)、動線段、動圖問題），能很好地

42、考查學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)線段、動圖問題），能很好地考查學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的探究能力和綜合素質(zhì)，體現(xiàn)開放性。學(xué)的探究能力和綜合素質(zhì)，體現(xiàn)開放性。 主要以中檔題與綜合題形式出現(xiàn)，有時也會主要以中檔題與綜合題形式出現(xiàn)，有時也會以選擇題形式出現(xiàn)。以選擇題形式出現(xiàn)。2021-11-1058題型一：題型一：點(diǎn)動型探索點(diǎn)動型探索綜合綜合題型題型 例例19 分析：前兩問利用相似三角形或者三角函數(shù)等知識可解決，分析：前兩問利用相似三角形或者三角函數(shù)等知識可解決，第（第（3）問是一個點(diǎn)在線上）問是一個點(diǎn)在線上運(yùn)動運(yùn)動問題，需要先探索點(diǎn)問題，需要先探索點(diǎn)p使使pqr為等腰三角形的可能性，這時應(yīng)為等腰三角形的可能性，這時應(yīng)分類討論分

43、類討論，抓住，抓住pq為為等腰三角形的腰或底分別求解，注意等腰三角形的腰或底分別求解，注意x的取值范圍的取值范圍解題策略解題策略1 1：化動為：化動為“ “靜靜” ”2021-11-1059題型一：題型一：點(diǎn)動型探索點(diǎn)動型探索綜合綜合題型題型 例例19 略解略解（1）由）由bc=10,bd=3,bhdbac 得到得到dh=2.42021-11-1060綜上所述，當(dāng)綜上所述，當(dāng)x為為3.6或或6或或7.5時，時，pqr為等腰三角形為等腰三角形題型一：題型一：點(diǎn)動型探索點(diǎn)動型探索綜合綜合題型題型 解題策略解題策略2 2：分類畫出圖形：分類畫出圖形2021-11-1061題型一：題型一：點(diǎn)動型探索點(diǎn)動型探索小結(jié)小結(jié) 一要注意在單點(diǎn)運(yùn)動變化的過程中，哪些圖形（如一要注意在單點(diǎn)運(yùn)動變化的過程中，哪些圖形（如線段、三角形等）隨之運(yùn)動變化，即確定整個單點(diǎn)運(yùn)動線段、三角形等）隨之運(yùn)動變化，即確定整個單點(diǎn)運(yùn)動變化過程中圖形中的變化過程中圖形中的變量和不變量變量和不變量如本題中線段如本題中線段pqpq和和pqrpqr是兩個不變量，線段是兩個不變量，線段bqbq、qrqr是兩個變量，以及是兩個變量，以及pqrpqr的形狀也在變化的形狀也在變化 三要結(jié)合具體問題，建立方程或函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，三要結(jié)合具體問題，建立方程或函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，達(dá)到解決問題的目的如本題中，假設(shè)達(dá)到解