7-5-1組合的基本應(yīng)用（一）教師版

1、1. 使學(xué)生正確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2. 了解組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的組合；3. 掌握組合的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4. 會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力； 通過本講的學(xué)習(xí)，對(duì)組合的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點(diǎn)掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等.一、組合問題日常生活中有很多“分組"問題.如在體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個(gè)組，從全班同學(xué)中選岀幾人參加某 項(xiàng)活動(dòng)等等.這種“分組''問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多

2、少種分組方法的 問題.一般地，從刃個(gè)不同元素中取出加個(gè)(m < h )元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從個(gè)不同元 素中取出加個(gè)元素的一個(gè)組合.從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān).如果兩個(gè)組合中的元素完 全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的 組合.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素(m<n)的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出加個(gè)不同元素的 組合數(shù).記作c；,.一般地，求從舁個(gè)不同元素中取出的加個(gè)元素的排列數(shù)匕可分成以下兩步：第一步：從個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素組成一組，共有c；種方法;第

3、二步：將每一個(gè)組合中的加個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有梯”種排法.根據(jù)乘法原理，得到斗；=c:弋：因此,組人數(shù)cn,=空=m(一 d(n-2)(并一加+ d ' ""p1： 加(加d(加一2)-3-2-1這個(gè)公式就是組合數(shù)公式.二、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：c;： = c：ss)這個(gè)公式的直觀意義是：c：表示從n個(gè)元素中取岀加個(gè)元素組成一組的所有分組方法.c：；""表示從n個(gè) 元素中取出(n-m)個(gè)元素組成一組的所有分組方法.顯然，從n個(gè)元素中選出加個(gè)元素的分組方法恰是從個(gè) 元素中選加個(gè)元素剩下的(n-m)個(gè)元素的分組方法.例如，從

4、5人中選3人開會(huì)的方法和從5人中選出2人不去開會(huì)的方法是一樣多的，即c； = c；. 規(guī)定 c；：=l , q = i.模塊一、組合之計(jì)算問題【例1】計(jì)算：(1) c：, c：；c；, c；.【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答= 15, c：=寫= 6x5x4x3=15 2x1馬4 4x3x2xl用一用用一廳= - / 7 1 27x6=21 ,7x6x5x4x35x4x3x2xl=21【小結(jié)】注意到上面的結(jié)果中，有c； = c：, c； = c；.【答案】c：=15, c：=15(2) c； =21, c, =21【例21計(jì)算：c；幣喙醞-2%【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【

5、題型】解答【解析】(1)g©叫血手二弩罟19900；cuca晉= 56； c-2ci, = cit0-2xl = -2 = -2 = 4948.【答案】19900564948 .【鞏固】計(jì)算：(1) g；尬；p-cl【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【解析(1) ca2xllxl() = 2201-3x2x1雄= 499500x x 7(3)用空=8x7 = 56 28 = 28.8*2x1【答案】cf2 = 220(2) cx =499500(3) 圧一&=28 【題型】解答模塊二、組合之體育比賽中的數(shù)學(xué)【例3】某校舉行排球單循環(huán)賽，有12個(gè)隊(duì)參加.問：共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽

6、？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答【解析】因?yàn)楸荣愂菃窝h(huán)制的，所以，12個(gè)隊(duì)中的每兩個(gè)隊(duì)都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，并且比賽的場(chǎng)次只與兩個(gè) 隊(duì)的選取有關(guān)而與兩個(gè)隊(duì)選出的順序無關(guān).所以，這是一個(gè)在12個(gè)隊(duì)中取2個(gè)隊(duì)的組合問題. 由組合數(shù)公式知，共需進(jìn)行空1 = 66(場(chǎng))比賽.2x1【答案】c$=66【鞏固】芳草地小學(xué)舉行足球單循環(huán)賽，有24個(gè)隊(duì)參加.問：共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答74x【解析】由組合數(shù)公式知，共需進(jìn)行/嚴(yán)蘭一仝= 276（場(chǎng)）比賽.2x1【答案】c：=276【例4】六個(gè)人傳球，每兩人之間至多傳一次，那么最多共進(jìn)行次傳球.【考點(diǎn)】組

7、合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級(jí)，初賽，7題【解析】本題是一道比賽場(chǎng)數(shù)計(jì)數(shù)問題，“每兩個(gè)人之間至多傳一次”，讓6個(gè)人最多次地傳球，則是5+4+3 +2+1 = 15 （次）.但要看是否可以傳回去，在傳遞過程中兩人是否重復(fù)5條線，代表傳球15次， 根據(jù)一筆畫問題，行不通，應(yīng)減少奇數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，共有6個(gè)奇數(shù)點(diǎn)，應(yīng)該去掉兩條直線，也就是去 掉4個(gè)奇數(shù)點(diǎn)，還剩下2個(gè)奇數(shù)點(diǎn)，就可以傳遞回來了.所以答案為5+4+3+2+1-2=13 （次）.【答案】13次【例5 一批象棋棋手進(jìn)行循環(huán)賽，每人都與其他所有的人賽一場(chǎng)，根據(jù)積分決出冠軍，循環(huán)賽共要進(jìn)行 78場(chǎng)，那么共有多少人參加循環(huán)賽

8、？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答【解析】從若干人中選出2人比賽，與選出的先后順序無關(guān)，這是一個(gè)組合問題.依題意，假設(shè)有個(gè)人參 加循環(huán)賽，應(yīng)該有c； = i5_d =78,所以 （/? d=78x2 = 13xl2,所以;? = 13,即一共有13人 2x1參加循環(huán)賽.【答案】n = l3【例6某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個(gè) 小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成4個(gè)小 組，每組4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個(gè)小組產(chǎn)生的4個(gè)第1名進(jìn)行2場(chǎng)半決賽和2場(chǎng) 決賽，確定1至4名的名次

9、.問：整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答【解析】第一階段中，每個(gè)小組內(nèi)部的6個(gè)人每2人要賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽c= = 15場(chǎng)，共8個(gè)小組，有 2x115x8 = 120 場(chǎng)；4x3第二階段中，每個(gè)小組內(nèi)部4人中每2人賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽c；= = 6場(chǎng)，共4個(gè)小組，有6x4 = 24 2x1場(chǎng)；第三階段賽2 + 2 = 4場(chǎng).根據(jù)加法原理，整個(gè)賽程一共有120 + 24 + 4 = 148場(chǎng)比賽.【答案】148【例7】有8個(gè)隊(duì)參加比賽，采用如下圖所示的淘汰制方式.問在比賽前抽簽時(shí)，可以得到多少種實(shí)質(zhì)不 同的比賽安排表？再考慮組合的方法.【答案】c；=10(2)

10、p = 20【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【解析】（法1）先選4人,8選4有c：=70種組合，其中實(shí)質(zhì)不同的有一半，即70-2 = 35種;對(duì)每一邊的4個(gè)人，共有實(shí)質(zhì)性不同的c：+2 = 3種， 所以，可以得到35x3x3 = 315種實(shí)質(zhì)不同的比賽安排表.12345678一二三四ab（法2）先考慮所有情況，再考慮重復(fù)情況首先是8! = 8x7x6x5x4x3x2xl考慮到實(shí)質(zhì)相同：1、2; 3、4； 5、6; 7、8; 一、二；三、四；a、b, 以上7組均可交換，即每一種實(shí)際上重復(fù)計(jì)算了 2?次，答案為：8x27=315.【答案】315模塊三、組合之?dāng)?shù)字問題【例8】從分別寫有1、3、5、7、9的五張

11、卡片中任取兩張，做成一道兩個(gè)一位數(shù)的乘法題，問：（1）有多少個(gè)不同的乘積？（2）有多少個(gè)不同的乘法算式？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】（1）要考慮有多少個(gè)不同乘積.由于只要從5張卡片中取兩張，就可以得到一個(gè)乘積，所以，有多少 個(gè)乘積只與所取的卡片有關(guān)，而與卡片取出的順序無關(guān)，所以這是一個(gè)組合問題.由組合數(shù)公式，共有=與二5x4=10（個(gè)）不同的乘積.2x1 要考慮有多少個(gè)不同的乘法算式，它不僅與兩張卡片上的數(shù)字有關(guān)，而且與取到兩張卡片的順序有關(guān)，所以這是一個(gè)排列問題.由排列數(shù)公式，共有用=5x4 = 20（種）不同的乘法算式.【鞏固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、

12、0這1（）個(gè)數(shù)字中劃去7個(gè)數(shù)字，一共有多少種方法？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答【解析】相當(dāng)于在10個(gè)數(shù)字選出7個(gè)劃去，一共有10x9x8x7x6x5x44- （7x6x5x4x3x2xl） =10x9x8- （3x2x1） = 120 種.【答案】120【鞏固】從分別寫有1、2、3. 4、5、6、7、8的八張卡片中任取兩張，做成一道兩個(gè)一位數(shù)的加法題, 有多少種不同的和？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答【解析】心=纟=也= 28（種）.pf 2x1【答案】cl =28【例9有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的卡片各5張，且每種顏色的卡片上分別標(biāo)有1, 2, 3, 4, 5

13、,從這些 卡片中取出5張，要求1、2、3、4、5各一張，但四種顏色都要有，求共有種取法？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第14題【解析】四種顏色都有，則有兩個(gè)數(shù)是同一種顏邑即可，其它三個(gè)數(shù)字和三種顏色對(duì)應(yīng)。cxcjx3! = 240 種【答案】240種 【例10在1 100中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】兩個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)，通過前面剛剛學(xué)過的奇偶分析法，這兩個(gè)數(shù)必然同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，而取出 的兩個(gè)數(shù)與順序無關(guān)，所以是組合問題.50x49從50個(gè)偶數(shù)中取出2個(gè)，有c：=

14、=1225（椚取法；2x150x49從50個(gè)奇數(shù)中取出2個(gè)，也有cf0= =1225（種）取法.2x1根據(jù)加法原理，一共有1225 + 1225 = 2450 （種）不同的取法.【小結(jié)】在本題中，對(duì)兩個(gè)數(shù)的和限定了條件.不妨對(duì)這個(gè)條件進(jìn)行分類，如把和為偶數(shù)分成兩奇數(shù)相加或 兩偶數(shù)相加.這樣可以把問題簡化.【答案】2450【鞏固】從19、20 93、94這76個(gè)數(shù)中，選取兩個(gè)不同的數(shù)，使其和為偶數(shù)的選法總數(shù)是多少？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】19、20、.、93、94中有38個(gè)奇數(shù)，38個(gè)偶數(shù)，從38個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)的方法有： c：=t = 703（種），所以選法總數(shù)有

15、：703x2 = 1406（種）.2x1【答案】1406【例11 一個(gè)盒子裝有10個(gè)編號(hào)依次為1, 2, 3, 10的球，從中摸出6個(gè)球，使它們的編號(hào)之和為奇數(shù)，則不同的摸法種數(shù)是多少？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】10個(gè)編號(hào)中5奇5偶，要使6個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù)，有以下三種情形：（1）5奇1偶，這時(shí)對(duì)奇數(shù)只有1種選擇，對(duì)偶數(shù)有5種選擇.由乘法原理，有l(wèi)x5 = 5（種）選擇：（2）3奇3偶，這時(shí)對(duì)奇數(shù)有c； = 'x4x3 = 0（種）選擇，對(duì)偶數(shù)也有c3 = 5x4x3 = |（）（種）選擇.由乘3x2x13x2x1法原理，有10x10 = 100（種）選擇

16、；（3）1奇5偶，這時(shí)對(duì)奇數(shù)有5種選擇，對(duì)偶數(shù)只有1種選擇.由乘法原理，有5xl=5（種）選擇.由加法原理，不同的摸法有5 + 100 + 5 = 110（種）.【答案】（1）5（2）100（3）110【例12】用2個(gè)1, 2個(gè)2, 2個(gè)3可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)？用2個(gè)0, 2個(gè)1, 2個(gè)2可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答6x5【解析】先考慮在6個(gè)數(shù)位上選2個(gè)數(shù)位放1,這兩個(gè)1的順序無所謂，故是組合問題，有c：= 15（種） 2x14x3選法；再從剩下的4個(gè)數(shù)位上選2個(gè)放2,有 =6（種）選法；剩下的2個(gè)數(shù)位放3,只有1種 2x1選法.由乘

17、法原理，這樣的六位數(shù)有15x6x1 = 90（個(gè)）.在前一問的情況下組成的90個(gè)六位數(shù)中，首位是1、2、3的各30個(gè).如果將3全部換成0,這30個(gè) 首位是0的數(shù)將不是六位數(shù)，所以可以組成互不相同的六位數(shù)90-30 = 60（個(gè)）.【答案】60【例13】從1, 3, 5 , 7, 9中任取三個(gè)數(shù)字，從2, 4, 6, 8中任取兩個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五 位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)數(shù)？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】整個(gè)過程可以分三步完成：第一步，從1, 3, 5 , 7 , 9中任取三個(gè)數(shù)字，這是一個(gè)組合問題，有 種方法；第二步，從2, 4, 6 , 8中任取兩個(gè)數(shù)字，也

18、是一個(gè)組合問題，有c：種方法；第三步， 用取出的5個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，有尺種方法.所以總的個(gè)數(shù)為：cxc；x/f=7200 （個(gè)）【答案】7200【例14】從（）、（）、1、2、3、4、5這七個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？ （這里每個(gè)數(shù)字只允許用1次，比如100、210就是可以組成的，而211就是不可以組成的）.【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答【關(guān)鍵詞】陳省身杯，五年級(jí)【解析】若三位數(shù)不含有0,有5x4x3 = 60 （個(gè)），若含有一個(gè)（），有5x4x2 = 40 （個(gè)），若含有兩個(gè)0 ,有 5 （個(gè)），所以共有60 + 40 + 5 = 105 （個(gè)）.【答案】105【例15】用2個(gè)1, 2個(gè)2, 2個(gè)3可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)？用2個(gè)0, 2個(gè)1, 2個(gè)2可以組成多 少個(gè)互不相同的六位數(shù)？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】先考慮在6個(gè)數(shù)位上選2個(gè)數(shù)位放1,這兩個(gè)1的順序無所謂，故是組合問題有=15種選法；再 從剩下的4個(gè)數(shù)位上選2個(gè)放2,有c：=6種選法；剩下的2個(gè)數(shù)位放3,只有1種選法.由乘法原 理，