kalmlan濾波器簡(jiǎn)介

1、Kalman 濾波在學(xué)習(xí)卡爾曼濾波器之前，首先看看為什么叫“卡爾曼”。跟其他著名的理 論（例如傅立葉變換，泰勒級(jí)數(shù)等等）一樣，卡爾曼也是一個(gè)人的名字，而跟他 們不同的是，他是個(gè)現(xiàn)代人！卡爾曼全名Rudolf Emil Kalman ，匈牙利數(shù)學(xué)家，1930年出生于匈牙利首都布達(dá)佩斯。1953，1954年于麻省理工學(xué)院分別獲得電機(jī)工程學(xué)士及碩士學(xué) 位。1957年于哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位。我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)的卡爾曼濾波器，正是源于他的博士論文和 1960年發(fā)表的論文A New Approach to Lin earFilteri ng and Prediction Problems （線性濾波與預(yù)測(cè)

2、問題的新方法）。簡(jiǎn)單來說，卡爾曼濾波器是一個(gè)“optimal recursive data process ingalgorithm （最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。對(duì)于解決很大部分的問題，他是 最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。他的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過30年，包括機(jī)器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來更被應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖像處理，例如頭臉識(shí)別，圖像分割，圖像邊緣檢測(cè)等等。1 .卡爾曼濾波器的介紹（Introduction to the Kalman Filter）為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器，這里會(huì)應(yīng)用形象的描述方法來講解，而不是像大多數(shù)參考書那樣羅列一大

3、堆的數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)符號(hào)。但是，他的5條公式是其核心內(nèi)容。結(jié)合現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)，其實(shí)卡爾曼的程序相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單，只 要你理解了他的那5條公式。在介紹他的5條公式之前，先讓我們來根據(jù)下面的例子一步一步的探索。假設(shè)我們要研究的對(duì)象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)我們用一分鐘來做時(shí)間單位）。假設(shè)你對(duì)你的經(jīng)驗(yàn)不是100%的相信，可能會(huì)有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（ White Gaussian Noise ），也就是這些偏 差跟前后時(shí)間是沒有關(guān)系的而且符合高斯分配（ Gaussian Distributi on ）。另

4、 外，我們?cè)诜块g里放一個(gè)溫度計(jì)，但是這個(gè)溫度計(jì)也不準(zhǔn)確的，測(cè)量值會(huì)比實(shí)際 值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。好了，現(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)有關(guān)于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)值（系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值）和溫度計(jì)的值（測(cè)量值）。下面我們要用這兩個(gè)值結(jié)合 他們各自的噪聲來估算出房間的實(shí)際溫度值。假如我們要估算k時(shí)刻的是實(shí)際溫度值。首先你要根據(jù) k-1時(shí)刻的溫度值， 來預(yù)測(cè)k時(shí)刻的溫度。因?yàn)槟阆嘈艤囟仁呛愣ǖ模阅銜?huì)得到k時(shí)刻的溫度預(yù) 測(cè)值是跟k-1時(shí)刻一樣的，假設(shè)是23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度（5 是這樣得到的：如果k-1時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是 3,你對(duì)自己預(yù)測(cè)的 不確定度是

5、4度，他們平方相加再開方，就是5）。然后，你從溫度計(jì)那里得到 了 k時(shí)刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時(shí)該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23度和25度。 究竟實(shí)際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計(jì)呢？究竟相信誰(shuí)多一點(diǎn)，我們可以用他們的covarianee 來判斷。因?yàn)镵gA2=5A2/（5A2+4A2），所以Kg=0.78，我們可以估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是：23+0.78*（25-23）=24.56 度?？梢钥闯觯?yàn)闇囟扔?jì)的covarianee比較?。ū容^相信溫度計(jì)），所以估 算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就

6、是要進(jìn)入 k+1時(shí)刻， 進(jìn)行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對(duì)了，在進(jìn)入k+1時(shí)刻之前，我們還要算出k時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值(24.56度)的偏差。 算法如下：(1-Kg)*5A2)A0.5=2.35。這里的5就是上面的k時(shí)刻你預(yù)測(cè)的那個(gè)23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入k+1時(shí)刻以后k時(shí)刻估算出的最 優(yōu)溫度值的偏差(對(duì)應(yīng)于上面的 3 )。就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covarianee遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運(yùn)行的很快，而且它只保留了上一時(shí)刻的covarianee。上面的Kg，就是卡爾曼增益(Kalman Gain )。他可以隨不同的時(shí)刻而改變他自己的

7、值，是 不是很神奇！下面就要言歸正傳，討論真正工程系統(tǒng)上的卡爾曼。2 .卡爾曼濾波器算法(The Kalman Filter Algorithm )在這一部分，我們就來描述源于Dr Kalman的卡爾曼濾波器。下面的描述， 會(huì)涉及一些基本的概念知識(shí)，包括概率(Probability )，隨機(jī)變量(Random Variable )，高斯或正態(tài)分配(Gaussian Distributen )還有 State-space Model 等等。但對(duì)于卡爾曼濾波器的詳細(xì)證明，這里不能一一描述。首先，我們先要引入一個(gè)離散控制過程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個(gè)線性隨機(jī)微 分方程(Lin ear Stochasti

8、c Differe nee equati on)來描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系統(tǒng)的測(cè)量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上兩式子中，X(k)是k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k)是k時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)的控制量。A 和B是系統(tǒng)參數(shù)，對(duì)于多模型系統(tǒng)，他們?yōu)榫仃嚒(k)是k時(shí)刻的測(cè)量值，H是 測(cè)量系統(tǒng)的參數(shù)，對(duì)于多測(cè)量系統(tǒng)，H為矩陣。W(k)和V(k)分別表示過程和測(cè)量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪聲(White Gaussian Noise)，他們的covarianee 分別是Q，R (這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化)。對(duì)于滿足上面的條件(線性隨機(jī)微分系統(tǒng)，過程和測(cè)量都

9、是高斯白噪聲)，卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息處理器。下面我們來用他們結(jié)合他們的covaria nces來估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出(類似上一節(jié)那個(gè)溫度的例子)。首先我們要利用系統(tǒng)的過程模型，來預(yù)測(cè)下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng) 狀態(tài)是k，根據(jù)系統(tǒng)的模型，可以基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預(yù)測(cè)出現(xiàn)在狀態(tài)：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一狀態(tài)預(yù)測(cè)的結(jié)果，X(k-1|k-1)是上一狀態(tài)最優(yōu) 的結(jié)果，U(k)為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒有控制量，它可以為0。到現(xiàn)在為止，我們的系統(tǒng)結(jié)果已經(jīng)更新了，可是，對(duì)應(yīng)于X(k|k-1)的covarianee 還沒更新

10、。我們用 P表示covarianee :P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A ' +Q (2)式中，P(k|k-1)是 X(k|k-1)對(duì)應(yīng)的 covariance，P(k-1|k-1)是 X(k-1|k-1) 對(duì)應(yīng)的covariance ， A'表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過程的covariance。式 子1，2就是卡爾曼濾波器5個(gè)公式當(dāng)中的前兩個(gè)，也就是對(duì)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)?，F(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)測(cè)結(jié)果，然后我們?cè)偈占F(xiàn)在狀態(tài)的測(cè)量值。結(jié) 合預(yù)測(cè)值和測(cè)量值，我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)(k)的最優(yōu)化估算值X(k|k):X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H

11、X(k|k- 1) (3)其中Kg為卡爾曼增益(Kalman Gain):Kg(k)= P(k|k- 1) H ' /(H P(k|k1) H '+ R) (4)到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)得到了 k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k)。但是為了要使 卡爾曼濾波器不斷的運(yùn)行下去直到系統(tǒng)過程結(jié)束，我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k) 的 covarianee :P(k|k)= (l-Kg(k)H ) P(k|k- 1) (5)其中I為1的矩陣，對(duì)于單模型單測(cè)量，1=1。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入k+1狀態(tài)時(shí)，P(k|k) 就是式子的P(k-1|k-1)。這樣，算法就可以自回歸的運(yùn)算下去?？柭鼮V波器的原理基本描述

12、了，式子1，2，3，4和5就是他的5個(gè)基本公式。根據(jù)這5個(gè)公式，可以很容易的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)的程序。下面，我會(huì)用程序舉一個(gè)實(shí)際運(yùn)行的例子。3 .簡(jiǎn)單例子(A Simple Example )這里我們結(jié)合第二第三節(jié)，舉一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子來說明卡爾曼濾波器的工 作過程。所舉的例子是進(jìn)一步描述第二節(jié)的例子，而且還會(huì)配以程序模擬結(jié)果。 根據(jù)第二節(jié)的描述，把房間看成一個(gè)系統(tǒng)，然后對(duì)這個(gè)系統(tǒng)建模。當(dāng)然，我們見 的模型不需要非常地精確。我們所知道的這個(gè)房間的溫度是跟前一時(shí)刻的溫度相 同的，所以A=1 o沒有控制量，所以U(k)=0。因此得出：X(k|k-1)=X(k-1|k-1) (6)式子(2)可以改成：P(k

13、|k-1)=P(k-1|k-1)+Q (7)因?yàn)闇y(cè)量的值是溫度計(jì)的，跟溫度直接對(duì)應(yīng)，所以H=1 o式子3，4，5可以改成以下：(8)X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-X(k|k-1)Kg(k)= P(k|k-1)/(P(k|k-1)+R) (9)P(k|k)= (1-Kg(k) ) P(k|k- 1) (10)現(xiàn)在我們模擬一組測(cè)量值作為輸入。假設(shè)房間的真實(shí)溫度為25度，我模擬了 200個(gè)測(cè)量值，這些測(cè)量值的平均值為25度，但是加入了標(biāo)準(zhǔn)偏差為幾度的 咼斯白噪聲(在圖中為藍(lán)線)。為了令卡爾曼濾波器開始工作，我們需要告訴卡爾曼兩個(gè)零時(shí)刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。

14、他們的值不用太在意，隨便給一個(gè)就可以了，因?yàn)殡S著卡爾曼的工作，X會(huì)逐漸的收斂。但是對(duì)于P，一般不要取0，因?yàn)檫@樣可能會(huì)令卡 爾曼完全相信你給定的X(0|0)是系統(tǒng)最優(yōu)的，從而使算法不能收斂。我選了 X(0|0)=1 度，P(0|0)=10。該系統(tǒng)的真實(shí)溫度為25度，圖中用黑線表示。圖中紅線是卡爾曼濾波器輸出的最優(yōu)化結(jié)果(該結(jié)果在算法中設(shè)置了Q=1e-6，R=1e-1 )。?什么是kalman濾波器?kalman濾波器是一個(gè)最優(yōu)化遞歸處理算法（optimal recursive data process ing algorithm）。（1）最優(yōu)（optimal ）依賴于評(píng)價(jià)性能的判據(jù)。Kalma

15、n濾波器充分利用如 下信息估計(jì)感興趣變量當(dāng)前取值：a.系統(tǒng)和測(cè)量裝置的動(dòng)態(tài)特性；b.系統(tǒng)噪聲、 測(cè)量誤差和動(dòng)態(tài)模型的不確定性的統(tǒng)計(jì)描述；c.感興趣變量的初始條件的相關(guān)信 息。（2）遞歸（recursive ）是指kalman不需要保存先前的數(shù)據(jù)，當(dāng)進(jìn)行新的 測(cè)量時(shí)也不需要對(duì)原來數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。（3）filter （ DPA）實(shí)際上是數(shù)據(jù)處理算法，只不過是計(jì)算中處理的程序， 因此能處理離散時(shí)間測(cè)量樣本，而不是連續(xù)時(shí)間輸入。?基本假設(shè)采用線性模型是合理的；這是典型工程模型在某些主要點(diǎn)或軌跡是線性的， 線性模型比非線性模型更簡(jiǎn)單。因此用線性模型來近似。白噪聲意味著噪聲值和時(shí)間不相關(guān)；白噪聲指在整個(gè)頻率

16、上都有相同強(qiáng)度的 頻率特性的噪聲。實(shí)際應(yīng)用中將頻率設(shè)為常值，帶寬大大超過系統(tǒng)帶寬的噪聲稱 為白噪聲，用高斯白噪聲來模擬，可以大大簡(jiǎn)化模型。采用高斯密度函數(shù)在實(shí)踐上是可行的。因?yàn)椴捎酶咚购瘮?shù)在數(shù)學(xué)上容易處 理。當(dāng)缺少高階統(tǒng)計(jì)量時(shí)，除了假定高斯密度外，沒有更好的可以表示的函數(shù)形 式。用一階和二階統(tǒng)計(jì)量完全可以描述高斯白噪聲。kalman濾波程序：%卡爾曼濾波clearN=800;w(1)=0;w=ra ndn( 1,N) % 系統(tǒng)預(yù)測(cè)的隨機(jī)白噪聲x(1)=0;a=1;for k=2:N;x(k)=a*x(k-1)+w(k-1); % 系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值endV=ra ndn (1,N); % 測(cè)量值的隨機(jī)白噪聲q仁std(V);Rvv=q1.A2;q2=std(x);Rxx=q2.A2;q3=std(w);Rww=q342;c=0.2;Y=c*x+V; % 測(cè)量值p(1)=0;s(1)=0;for t=2:N;p1(t)=a.A2*p(t-1)+Rww; %前一時(shí)刻 X 的相關(guān)系數(shù)卡爾曼增益經(jīng)過濾波后的