16.2.1向量的加法運算

1、6. 2平面向量的運算6. 2.1向量的加法運算考點學習目標核心素養(yǎng)平面向量加法的幾何意義理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義數(shù)學抽象、直觀想象平行四邊形法則和三角形法則掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會用它們解決實際問題數(shù)學抽象、直觀想象平面向量加法的運算律掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，會用它們進行計算數(shù)學抽象、數(shù)學運算預(yù)習案倉問題導學預(yù)習教材P7 P10的內(nèi)容，思考以下問題:1在求兩向量和的運算時，通常使用哪兩個法則?2. 向量加法的運算律有哪兩個？新知初探1.向量加法的定義及運算法則定義求兩個向量和的運算，叫做向量的加法法則三角形法則前提已知非零向量 a, b作法在平面內(nèi)任

2、取一點 A，作AB = a, BC = b,再作向量AC結(jié)論向量AC叫做a與b的和，記作a + b,即 a + b= AB + BC= AC圖形zi法則平行 四邊 形法 則前提已知不共線的兩個向量 a, b作法在平面內(nèi)任取一點 0,以同一點0為起點的兩個已知向量 a,b為鄰邊作？0ACB結(jié)論對角線0C就是a與b的和圖形規(guī)定對于零向量與任一向量a,我們規(guī)疋a + 0 _0+a a名師點撥(1) 兩個法則的使用條件不同.三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和.(2) 在使用三角形法則時，應(yīng)注意“首尾連接”；在使用平行四邊形法則時應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩

3、向量起點相同.位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.2. |a+ b|, |a|, |b|之間的關(guān)系一般地，|a + b|w|a|+|b|,當且僅當a, b方向相同時等號成立.3. 向量加法的運算律交換律a+ b b + a結(jié)合律(a+ b)+ c a + (b + c)自我檢測0判斷(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1) 任意兩個向量的和仍然是一個向量.()(2) 兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加.()(3) 任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線.()答案：(1)2(2) X (3) X® 已知非零向量 a,

4、 b, c,則向量(a + c) + b, b+ (a+ c), b + (c+ a), c+ (b + a), c+ (a + b)中，與向量a+ b + c相等的個數(shù)為()A . 2B. 3C. 4D. 5答案：D©如圖所示，在平行四邊形則 AC+ BA =(A. aC. 0答案：B即在正方形ABCD中，|AB|= 1則|AB+ AD|=答案：，；2講練互動探究點平面向量的加法及其幾何意義- 1如圖，已知向量a, b， c,求作和向量 a+ b+ c.【解】 法一：可先作a+ c,再作(a + c) + b,即a + b + c.如圖，首先在平面內(nèi)任取一點0,作向量OA= a,接

5、著作向量AB= c,則得向量OB = a+ c,然后作向量BC= b,則向量0C = a+ b+ c為所求.法二：三個向量不共線，用平行四邊形法則來作.如圖，(1)在平面內(nèi)任取一點 0,作0A =a, OB = b;(2) 作平行四邊形 AOBC，則OC = a + b;(3) 再作向量OD = c；作平行四邊形CODE ,則 OE= OC + c= a+ b+ c.OE 即為所求.(1) 應(yīng)用三角形法則求向量和的基本步驟 平移向量使之“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合； 以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量，即為兩個向量的 和.應(yīng)用平行四邊形法則求向

6、量和的基本步驟 平移兩個不共線的向量使之共起點； 以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形； 平行四邊形中，與兩向量共起點的對角線表示的向量為兩個向量的和.如圖，已知向量a, b,求作向量a + b.解：(1)作OA = a, AB= b，則 OB =a+ b,如圖(1).作OA = a, AB= b,則0B= a+ b,如圖 .作OA = a, Ab= b,則0B= a+ b,如圖 .探究點畫L平面向量的加法運算例ta化簡:（i）bc+Ab ； DB + CD + BC ；> > > > >(3)AB + DF + CD + BC + FA.【解】 BC + AB =

7、 AB + BC = AC.(2) DB + CD + BC=BC + CD + DB=(BC + CD) + DB=BD + DB = 0.(3) AB + DF + CD + BC+ FA=AB+ BC + CD + DF + FA=AC+ CD + DF + FA=AD + DF + FA=AF + FA= 0.向量加法運算中化簡的兩種方法(1) 代數(shù)法：借助向量加法的交換律和結(jié)合律，將向量轉(zhuǎn)化為首尾相接”，向量的和即為第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量.(2) 幾何法：通過作圖，根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則化簡.1. 下列等式不正確的是( a+ (b+ c) = (a+ c)

8、 + b; AB+ BA = o； AC= DC + AB + BD.A .c.B .D .解析：選b.由向量的加法運算律知 正確；因為AB+BA = o,故不正確；dc + Ab +BD = AB + BD + DC = AC成立，故 正確.2如圖，E, F, G, H分別是梯形 的中點，化簡下列各式：ABCD 的邊 AB, BC, CD, DADG + EA+ CB ;(2)EG+ CG+ DA + EB.解:(1)DG + EA + CB = GC + BE+ CB = GC + CB+ BE = GB + BE = GE.(2)EG+ CG+ DA + EB= EG+ GD + DA

9、+ AE= ED + DA + AE = EA + AE= 0.探究點向量加法的實際應(yīng)用儀.、 某人在靜水中游泳， 速度為4 .勺千米/小時，他在水流速度為4千米/小時的河中 游泳若他垂直游向河對岸，則他實際沿什么方向前進？實際前進的速度大小為多少?A.QPB.OQ應(yīng)用向量解決平面幾何和物理學問題的基本步驟(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題.運算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將相關(guān)向量進行運算，解答向量問題.(3) 還原：根據(jù)向量的運算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題.如圖所示，在某次抗震救災(zāi)中，一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行8

10、00 km到達B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800 km送往C地醫(yī)院，求這架飛機飛行的路程及 兩次位移的和.解：設(shè)AB，BC分別表示飛機從 A地按北偏東35°的方向飛行800 km，從B地按南偏東55°的方向飛行800 km，則飛機飛行的路程指的是AB汁 |BC|；【解】 如圖，設(shè)此人游泳的速度為 OB,水流的速度為O)A,以oA, oB為鄰邊作？OACB，則此人的實際速度為 0A+ OB = OC.由勾股定理知|oC| = 8,且在RtAACO中，/ COA = 60°,故此人沿與河岸成60°的夾角順著水流的方向前進，

11、速度大小為8千米/小時.C.CDD.DA兩次飛行的位移的和指的是 AB + BC= AC.依題意有 |AB |+ |BC|= 800 + 800 = 1 600(km)，又 a= 35°, 3= 55 °，ABC = 35°455°=90°，所以 |AC|= |AB|2+ |BC|22+ 8002=800.2(km)，其中/ BAC = 45 °所以方向為北偏東 35°M5°=80°從而飛機飛行的路程是1 600 km，兩次飛行的位移和的大小為800 .'2 km，方向為北偏東 80 °

12、C.SPD.SQ> > > > > >解析： 選 B.OP + PQ + PS+ SP= OQ + 0= OQ.2. 在四邊形 ABCD中，AC= AB + AD，則一定有（）A .四邊形ABCD是矩形B .四邊形ABCD是菱形C.四邊形ABCD是正方形D 四邊形ABCD是平行四邊形ABCD解析：選D.由AC= AB + AD得AD = BC，即卩AD = BC,且AD / BC,所以四邊形 的一組對邊平行且相等，故為平行四邊形.3. 已知非零向量a, b, |a|= 8, |b|= 5,則|a + b|的最大值為 解析：|a + b|w |a|+ |b|,

13、所以|a+ b|的最大值為13.答案：134已知?ABCD , 0是兩條對角線的交點，E是CD的一個三等分點（靠近殳£鳥D點），求作：AB（i）aO+ Ac; DE + BA.解：延長AC,在延長線上截取 CF = AO ,則向量AF為所求.1在AB上取點 G,使AG = 3AB,則向量BG為所求.A基礎(chǔ)達標B.BC1. 點0是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點，貝U A0+ 0C+ CB等于（）A. AB解析：選A.因為點0是平行四邊形 ABCD的兩條對角線的交點， 則AO + OC + CB = AC + CB = AB.故選 A.2. 如圖，四邊形ABCD是梯形，AD / B

14、C,對角線AC與BD相交于點O,則OA + BC +Ab + Do=（）A.CDC.DAD.DO解析：選 B.OA + BC + AB+ DO = DO + OA+ AB+ BC = DA + AB+ BC = DB + BC = DC.3. 若向量a表示"向東航行1 km ”，向量b表示"向北航行3 km ”，貝U向量a+ b表 示（）A .向東北方向航行 2 kmB .向北偏東30 °方向航行 2 kmC.向北偏東60°方向航行2 kmD .向東北方向航行（1 + 3）km130°.又 |a + b|解析：選B.如圖，易知tan a=，所以

15、a= 30°.故 a+ b的方向是北偏東=2 km，故選 B.4如圖所示，在正六邊形于（）A. 1C. 3ABCDEF 中，若> > >AB= 1，貝U |AB + FE + CD|等B. 2D. 2 .'3解析：選B.由正六邊形知FE = BC,所以 Ab+ fe + Cd = AB + BC + cd = Ad ,所以 |AB + FE + CD|= |AD|= 2故選 B.5. （2019云南曲靖一中檢測）已知向量a, b皆為非零向量，下列說法不正確的是（）A .若a與b反向，且|a|>|b|,貝U a + b與a同向B. 若a與b反向，且|a|

16、>|b|,貝U a + b與b同向C. 若a與b同向，貝U a + b與a同向D .若a與b同向，貝U a + b與b同向解析：選B.a與b反向，且|a|>|b|,貝U a + b與a同向，所以B錯；a與b同向，貝U a + b 與a同向，也與b同向.6. 化簡(AB + MB) + (BO + BC) + OM =.片 r之一一一一一一一一一一解析：原式=(AB+ BO)+ (OM + MB) + BC= AO+ OB + BC= AB+ BC = AC.答案：AC7. 在菱形 ABCD 中，/ DAB = 60°, |AB|= 1,則解析： 在菱形 ABCD 中，連接

17、 BD，因為/ DAB = 60°，所以 BAD為等邊三角形，又因為AB|= 1，所以|BD|= 1 ,所以 BC + Cd|= |Bd|= 1.答案：1&已知平行四邊形 ABCD，設(shè)AB+ CD + BC + Da = a,且b是一非零向量，給出下列 結(jié)論： a/ b; a + b= a; a+ b = b:|a + b|<|a|+ |b|.其中正確的是 解析：因為在平行四邊形 ABCD中，AB + CD = 0, BC + DA = 0,所以a為零向量，因 為零向量和任意向量都平行, 零向量和任意向量的和等于這個向量本身, 所以 正確, 錯誤答案： 9根據(jù)下列條件,

18、分別判斷四邊形ABCD 的形狀：（1）AD = BC; AB = DC 且 |AB|= |AD|.解：（1）因為 AD = BC，所以 AD / BC, AD = BC,所以四邊形ABCD是平行四邊形.因為AB = DC且|AB|=|AD|,所以四邊形 ABCD是有一組鄰邊相等的平行四邊形, 四邊形ABCD是菱形.10.已知 |OA|= |a|= 3, |OB|= |b|= 3,Z AOB = 60°，求 |a+ b|.解：如圖，因為|OA|=|OB|= 3,所以四邊形OACB為菱形,連接OC , AB,貝U OC丄AB,設(shè)垂足為D.因為 / AOB = 60°,所以 AB

19、 = |OA|= 3.所以在RtBDC中，CD =乎.所以 |0C|= |a+ b|= 323x 2 = 3 3.B能力提升11已知有向線段AB, CD不平行，則（|AB + CD|>|AB| |AB + CD|> |CD|>>>>C.|AB + CD|> |AB|+ |CD|>> >>|AB + CD|<|AB|+ |CD|解析：選D.由向量加法的幾何意義得|a|b|w|a + b|< ai+ |b|,等號當且僅當 a,線的時候取到，所以本題中，|AB + CD|<|AB|+ |CD|.12. 若 P ABC 的外心，且 PA + PB = PC,則/ ACB =解析：因為PA又P ABC的外心,所以 |PA|=|PB|=|PC|.因此 / ACB = 120° 答案：120 °13. 如圖，已知 ABC是直角三角形且/ A = 90°,則下列結(jié)論中正確的是 |Ab+ AC|= |bc|； |Ab+ CA|= |BC|； |AB|2+ |AC|2= |Bc|2解析：正確以 AB, AC為鄰邊作？ABDC，又/ A = 90°,所以?ABDC為矩形，所以 AD = BC,所以 |AB + AC|= |AD