空間問題的基本解法課件

1、小小 結(jié)結(jié)基本方程與邊界條件基本方程與邊界條件1平衡微分方程（平衡微分方程（3個(gè)）個(gè)）00fijij f, 2幾何方程（幾何方程（6個(gè)）個(gè)）)(21,ijjiijuu)( uu21應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：（由幾何方程導(dǎo)出，不作為基本（由幾何方程導(dǎo)出，不作為基本方程）方程）第七章第七章 空間問題的基本解法空間問題的基本解法3物理方程（物理方程（6個(gè)）個(gè)）ijijijG2IG2 0 共共15個(gè)方程，個(gè)方程，15個(gè)未知函數(shù)，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件個(gè)未知函數(shù)，在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下可求出下可求出iijiju,4邊界條件邊界條件1位移邊界條件位移邊界條件（第一類邊值問題）（第一類邊值問題）uSonuu 2應(yīng)力

2、邊界條件應(yīng)力邊界條件（第二類邊值問題）（第二類邊值問題）Sontn3混合邊界條件混合邊界條件（第三類邊值問題）（第三類邊值問題）邊界邊界SSSu iiuu ijijtn fiij平衡方程平衡方程ijit條件s本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系幾何方程幾何方程iuiu靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面幾何學(xué)方面幾何學(xué)方面條件us相應(yīng)的解法有：相應(yīng)的解法有：1按位移求解：按位移求解：表示用它量作為基本未知函數(shù)，其以iijijiuu, uuSSSS ,適用于：2按應(yīng)力求解：按應(yīng)力求解： ijij以作為基本未知函數(shù)，其它量用表示,適應(yīng)于：S3混合解法：混合解法：作為基本未知函數(shù)同時(shí)以ijiu, 7-1 7-1 空間問題的位移解法空間

3、問題的位移解法 物理方程物理方程)(II uuuGG2直角坐標(biāo)：直角坐標(biāo)：)(,ijjiijkkijuuGu 代入平衡方程代入平衡方程 0fijij ,0fuuGuiijjjjiijkjk )(,得：0fG)u(uGij,jii20GG2fuu)( 拉梅拉梅(Lam)方程方程 )(,ijjiijkkijuuGu 邊界條件邊界條件 uSonuu SonGt)uu(I )u(nSontuuGnuiijjiikk)(,在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：對(duì)于軸對(duì)稱問題，求解方程成為對(duì)于軸對(duì)稱問題，求解方程成為0)211()1 (20)211()1 (2222zrrrfwzEfruurE對(duì)于球?qū)ΨQ問題，求

4、解方程成為對(duì)于球?qū)ΨQ問題，求解方程成為 0)22()21)(1 ()1 (222rrrrfurdrdurdrudE7-2 7-2 位移勢函數(shù)位移勢函數(shù)當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，Lam方程成為方程成為 如何求解？如何求解？0G)u(uGj,jii2引入位移函數(shù)引入位移函數(shù), ,使方程變得簡單使方程變得簡單假設(shè)位移是有勢的假設(shè)位移是有勢的 ,ii2G1u 002GG2102GG21,i2,i2,i2,jji,i2從而有：從而有：為任意常數(shù)c,c20G)u(uGj,jii2特別的，取，則02 ,ijij 如果找到適當(dāng)?shù)恼{(diào)和函數(shù) ,使得能夠滿足邊界條件，就得到該問題的iiG21u， ijij,正確解

5、答。問題歸結(jié)為問題歸結(jié)為ijjiijijjiij2iiiiijijijG2121G21uu21G21G21uG2,)()(而此時(shí)軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題 rGur21zGw21代入無體力的平衡方程中，得到：代入無體力的平衡方程中，得到： 0z0r22c2 取, 應(yīng)為調(diào)和函數(shù),此時(shí)： rzzrrrrzzrzr22222,1,問題歸結(jié)為問題歸結(jié)為如果找到適當(dāng)?shù)恼{(diào)和函數(shù) ,使得 給出的能夠滿足邊界條件，就得到該問題的正確解答。等,rrwu應(yīng)當(dāng)指出：并不是所有問題中的位移都是有勢的， 如果位移勢函數(shù)存在，如果位移勢函數(shù)存在， 常數(shù)則 22G21c 表示體積應(yīng)變在整個(gè)彈性體是常量，這種表示體積應(yīng)變在整個(gè)彈性

6、體是常量，這種情況非常特殊，因而位移勢函數(shù)所能解決的問情況非常特殊，因而位移勢函數(shù)所能解決的問題極其有限。題極其有限。7-3 伽遼金位移函數(shù)伽遼金位移函數(shù) 來表示函數(shù)把位移矢量用一個(gè)矢量321eeek,kii2i)2(12G1u代入無體力的平衡方程中0uGuGjiji2,)(0i4運(yùn)算后得到：k,kijj,ii,j2k,k2ijij)()(1， 于是，對(duì)于一般的空間問題，只須找到于是，對(duì)于一般的空間問題，只須找到三個(gè)恰當(dāng)?shù)闹卣{(diào)和函數(shù)三個(gè)恰當(dāng)?shù)闹卣{(diào)和函數(shù) , 使得按上使得按上式給出的位移和應(yīng)力能夠滿足邊界條件，就式給出的位移和應(yīng)力能夠滿足邊界條件，就得到該問題的正確解答。得到該問題的正確解答。

7、特殊形式特殊形式 函數(shù)love00 ,在直角坐標(biāo)系可表示為在直角坐標(biāo)系可表示為)1 (221212122222zGwzyGvzxGu應(yīng)力分量表達(dá)式為應(yīng)力分量表達(dá)式為 )1()1()1()()(2222223222222222zyzxzyxzzyzxzzxyzxyzyx在圓柱坐標(biāo)系中的位移分量和應(yīng)力分量的在圓柱坐標(biāo)系中的位移分量和應(yīng)力分量的表達(dá)式為表達(dá)式為)1 (2211212122222zGwzrGurGur)1()1(1)()2()11()(22222232222222222zrzrrzrzzrrrzrzzrzrzr伽遼金位移函數(shù)不要求有勢，求解范圍廣。7-4 空間問題的應(yīng)力解法空間問題的應(yīng)

8、力解法 應(yīng)力解法以應(yīng)力張量，即以應(yīng)力解法以應(yīng)力張量，即以6個(gè)個(gè)應(yīng)力分應(yīng)力分量量為基本未知函數(shù)。除了滿足平衡微分方程為基本未知函數(shù)。除了滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件以外，為了保證位移唯一存和應(yīng)力邊界條件以外，為了保證位移唯一存在，應(yīng)力在，應(yīng)力(或應(yīng)變或應(yīng)變)必須滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。必須滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。 0ee0klqijpiljk ,0,2,2ijjiijijijff111對(duì)上式進(jìn)行縮并運(yùn)算對(duì)上式進(jìn)行縮并運(yùn)算 02,222iiiif131102,2iif1)2(1iif11,2將物理方程代入，并利用平衡微分方程簡化得到：將物理方程代入，并利用平衡微分方程簡化得到：代入：將0)f(ff111j,

9、ii,jijn,n,ijij2稱為密切爾（稱為密切爾（Michell）方程。）方程。 iif11,2在體力為常量的情況下，在體力為常量的情況下，簡化為簡化為拜爾特拉密拜爾特拉密(Beltrami)方程方程 0)(1,ijij202)(1不變性型式不變性型式7-5 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 按應(yīng)力求解：當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，應(yīng)力分量應(yīng)滿足：按應(yīng)力求解：當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，應(yīng)力分量應(yīng)滿足：0ij,j平衡微分方程0)(1,ijij2相容方程 仿照按位移求解引入位移函數(shù)的思路，仿照按位移求解引入位移函數(shù)的思路，引進(jìn)引進(jìn)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)，把應(yīng)力用，把應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)表示，并表示，并使得平衡方程能自動(dòng)滿足。使得平衡方程能

10、自動(dòng)滿足。 按應(yīng)力解法的彈性力學(xué)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟀磻?yīng)力解法的彈性力學(xué)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庖詰?yīng)力函數(shù)表示的相容方程。當(dāng)然，解得的解以應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程。當(dāng)然，解得的應(yīng)力還須滿足應(yīng)力邊界條件和多連域的位移單應(yīng)力還須滿足應(yīng)力邊界條件和多連域的位移單值條件。值條件。 1.麥克斯威爾麥克斯威爾(Maxwel）應(yīng)力函數(shù)）應(yīng)力函數(shù) 321，xzyxzyxzyxzyzxzyzyxyx222122221223221232222232,則平衡方程恒滿足，代入相容方程得到則平衡方程恒滿足，代入相容方程得到 0)(0)(0)(0)(0)(0)(2221223222221222222223221222222223221x

11、z1zy1yxz11yzy11xzx11zy2.莫勒莫勒(Morera)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 321，)(21,)(21,)(21,321323212232112zyxyyxzyxxxzzyxzzyzxzyzyxyx則平衡方程恒滿足，代入相容方程得到則平衡方程恒滿足，代入相容方程得到 0)(0)(0)(000232122321223212223222222222122yx11zyxzxz11zyxyzy11zyxxz11yxy11xzx11zy3.拜爾特拉密應(yīng)力函數(shù)（一般形式）拜爾特拉密應(yīng)力函數(shù)（一般形式） 自然滿足平衡方程 nqmpjpqimnijee,1 00000000nqmpjpqimni

12、jee,yxxy2xy22y22x,，000 xzyzz ,，應(yīng)力函數(shù)為平面問題的Airy特例特例2321000000nqmpjpqimnijee,2322nq3q13n13nq2q12n12nq1q11n11nqmppq1mn1xyzeeeeeeee ,Maxwell應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)3000121323zyx122)(321zyxxyzMorera應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) nqmpjpqimnijee,7-6 疊加原理疊加原理 同一彈性體同一彈性體一樣（同樣的約束）uS簡單荷載疊加復(fù)雜荷載作用2q1q)(21qq21 )(21qq21 1211uf )()( 11SVt2222 )()( ufSVt

13、21212121 )()( uuffSVtt則：如彈性體存在如彈性體存在齊次齊次約束條件約束條件證明證明 和 滿足如下方程和條件 1u 1)()(0)(0)(12SnSVGGu11111tufuu 和 滿足如下方程和條件 22u )()(0)(0)(22SnSVGGu22222tufuu將兩式相對(duì)應(yīng)的方程和條件相加，得將兩式相對(duì)應(yīng)的方程和條件相加，得 )()(n)(0)()(0)()()()(212SSVGGu2121212121ttuuffuuuu由上式可見，由上式可見， 和和 滿足在體力滿足在體力 和面力和面力 共同作用下的所有方程和條共同作用下的所有方程和條件，因此它們是兩組荷載共同作用下的解答。件，因此它們是兩組荷載共同作用下的解答。21uu 21 21ff 21tt 7-7 解答的唯一性解答的唯一性 彈性體處于平衡時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移時(shí)唯一的。反證反證 設(shè)在給定的荷載和位移邊界條件下，解答設(shè)在給定的荷載和位移邊界條件下，解答不唯一，即存在兩組解不唯一，即存在兩組解 222uu1 11考慮這兩組解的差考慮這兩組解的差21uuu