級空間直角坐標(biāo)系、矢量、向量數(shù)量積、向量積課件

1、空間解析幾何與矢量代數(shù) 一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系二、向量的概念二、向量的概念三、向量的線性運(yùn)算三、向量的線性運(yùn)算 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 xyz由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點(diǎn) o ,o 坐標(biāo)面 卦限(八個)面xoy面yozzox面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念xyzo向徑 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn)點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo) :有序數(shù)組),(z

2、yx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)坐標(biāo))原點(diǎn) O(0,0,0) ;rrM坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzozyx0M點(diǎn)的對稱點(diǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn)關(guān)于關(guān)于xoy面面:(x,y,z) (x,y,-z)關(guān)于關(guān)于x軸軸:(x,y,z) (x,-y,-z)Q關(guān)于原點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn):(x,y,z) (-x,-y,-z)P(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)M(x,y,z)R.a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21MM記作

3、向量:(矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量稱為向量向徑 (矢徑):自由向量: 與起點(diǎn)無關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量: 模為 1 的向量,.a或記作 a零向量: 模為 0 的向量,.00或，記作有向線段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面

4、上 , 則稱此 k 個向量共面 .記作a ;1. 向量的加法向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律 : 交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas三角不等式ab)( ab有時特別當(dāng),ab aa)( aababaabababa0babaaa 是一個數(shù) ,.a規(guī)定 :時，0，同向與aa,0時,0時.0a;aa;1aa可見;1aa;aa 與 a 的乘積是一個新向量, 記作，反向與aa總之:運(yùn)算律 : 結(jié)合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba,

5、0a若a則有單位向量.1aa因此aaa 例例1. 設(shè) M 為MBACD解解:ABCD 對角線的交點(diǎn),ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD設(shè) a 為非零向量 , 則( 為唯一實(shí)數(shù))abab在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn) M , ),(zyxM則沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMO

6、NOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 則ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 時當(dāng)aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實(shí)數(shù)1. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式222zyx),(zyxr 設(shè)則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得兩點(diǎn)間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對兩點(diǎn)與, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAO

7、BBA)7, 1 ,4(A等距解解: 設(shè)該點(diǎn)為, ),0,0(zM,BMAM因?yàn)?2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點(diǎn)為及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考:如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程?離的點(diǎn) . 設(shè)動點(diǎn)為, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx且0zoyzx設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點(diǎn) O ,aOA作,bOBOAB稱 =AOB (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角 , , rr稱為其方向角方向角.cosrx222z

8、yxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記作),(baoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì):的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計(jì)算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM解解: 已知角依次為,43求點(diǎn) A 的坐標(biāo) . ,43則222coscos1cos41因點(diǎn) A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22

9、)21)3,23,3(故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 ,6AO且OAOAAO解解: 因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 設(shè),853kjim,742kjin求向量pnma34在 x 軸上的投影及在 y軸上的分向量.13xa在 y 軸上的分向量為jjay7故在 x 軸上的投影為jip 5,4k設(shè)求以向量行四邊形的對角線的長度 . 該平行四邊形的對角線的長度各為11, 3 對角線的長為解：解：為邊的平mnnm ,|,|nm|nm)1 , 1, 1(nm)1,3, 1(nm3|nm11|nm,2kjn, ji

10、m 三、向量的混合積三、向量的混合積 一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積數(shù)量積、向量積、混合積1M沿與力夾角為的直線移動,W1. 定義定義設(shè)向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積 (點(diǎn)積、內(nèi)積) .引例引例. 設(shè)一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s,0時當(dāng)a上的投影為在ab記作故,0,時當(dāng)同理babj rPb2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零向量, 則有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba則2),(ba0,0ba(1) 交換律(2) 結(jié)合

11、律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事實(shí)上, 當(dāng)0c時, 顯然成立 ;時當(dāng)0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac設(shè)則, 10zzyyxxbababa當(dāng)為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式 , 得)(

12、MB, )(MA BM, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故22343cos322)2(17例例2. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba定義向量方向 :(叉積、外積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinab稱c的與為向量babac思考思考: 右圖三角形面積abba21S為非零向量, 則，0sin或即0aa) 1 (0b

13、a,)2(0baba,0,0時當(dāng)baba0basinab03. 運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:)(kajaiazyx)(kbjbibzyx設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijkkjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(

14、jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三1. 定義定義 已知三向量稱數(shù)量混合積混合積 .幾何意義幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高h(yuǎn)故平行六面體體積為hAV coscba)(,cba的為cba,Abaccba,以則其cosbaccba)(bacbazyxzyxbbbaaaxcyczckji設(shè)xayazaxbybzbzxzxbbaayxyx

15、bbaaba, ),(zyxaaaa zyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczccba)(1) 三個非零向量共面的充要條件是0(2) 輪換對稱性 :cba,abccba)(, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .提示提示: 因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四點(diǎn)共面 .設(shè)1. 向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba2. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyy