羅爾中值定理及其應(yīng)用課件

1、定理定理3.2 (羅爾定理羅爾定理) (1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù);(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo);(3)()(bfaf ,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在開開區(qū)區(qū)間間ba使得使得. 0)( f3.2 羅爾中值定理及其應(yīng)用羅爾中值定理及其應(yīng)用ab1 2 xyo)(xfy C證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在因因baxf若函數(shù)若函數(shù) f (x) 滿足滿足:必有最大值必有最大值Mm.,)1(mM 若若,)(,Mxfbax 則則),(ba . 0)( f有有),(),(bafM 設(shè)設(shè). 0)( f,),(,)2(內(nèi)內(nèi)取取得得在在則則最最大大、最最小小值值有有一一

2、個(gè)個(gè)若若bamM ),()(, fxfbax 則則由由費(fèi)爾馬引理費(fèi)爾馬引理 推論推論: 可微函數(shù)可微函數(shù) 的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有 的一個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)零點(diǎn))(xf)(xf (1) (1) 定理?xiàng)l件不全具備定理?xiàng)l件不全具備, , )()(10 xxxf1 ,1, |)( xxxf結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立. . 羅爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf;,上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間ba(1)(1)(2)(2);),(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在開開區(qū)區(qū)間間ba(3)(3),()(bfaf ,),( 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在開區(qū)間則在開區(qū)間ba使得使得. 0)( f1x

3、yO(1),(2)(1),(2)滿足滿足(3)不滿足不滿足結(jié)論不成立結(jié)論不成立. . (1),(3)(1),(3)滿足滿足(2)不滿足不滿足結(jié)論不成立結(jié)論不成立. . (1),(2)(1),(2)滿足滿足(3)不滿足不滿足結(jié)論成立結(jié)論成立. . ,)(113 xxxf1 yxO1yxO1 1注：注：例例1 1. .3, 132)( 2 在在區(qū)區(qū)間間驗(yàn)驗(yàn)證證函函數(shù)數(shù)xxxf解解: :32)( 2 xxxf又又因因?yàn)闉?,)(13 xx, 0)3()1( ff所所以以,3 , 1)( 上連續(xù)上連續(xù)在在因?yàn)橐驗(yàn)?xf,)3 , 1(上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在 所以滿足羅爾定理?xiàng)l件所以滿足羅爾定理?xiàng)l件. .0)

4、( xf方程方程, 11 x.)(0 f即即., 并求出一個(gè)并求出一個(gè)上滿足羅爾定理?xiàng)l件上滿足羅爾定理?xiàng)l件(1)(1)驗(yàn)證定理的假設(shè)條件滿足驗(yàn)證定理的假設(shè)條件滿足(2)(2) 結(jié)論正確結(jié)論正確,)()(012 xxf即即有實(shí)根有實(shí)根1 取取),(31 .符符合合要要求求例例2 設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù) 滿足滿足:01210 ncccn試證方程試證方程010 nnxcxcc分析：分析：注意到注意到 121012nnxncxcxcnnxcxcc 10)(xf在在(0, 1)內(nèi)內(nèi)至少至少存在一個(gè)實(shí)根存在一個(gè)實(shí)根.nccc,10證證 設(shè)設(shè),12)(1210 nnxncxcxcxf,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在x

5、f, 0)1()0( ff且且 由由羅爾定理羅爾定理,)1 , 0( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在, 0)( f使使得得即即, 010 nnccc .為為所所求求實(shí)實(shí)根根即即 x在在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),例例3.3.10155的正實(shí)根的正實(shí)根有且僅有一個(gè)小于有且僅有一個(gè)小于證明方程證明方程 xx證證: :, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf, 1)0( f且且 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理),1 , 0(0 x即方程有小于即方程有小于1 1的正實(shí)根的正實(shí)根. .(1)(1)存在性存在性. 3)1( f. 0)(0 xf使使,),1 , 0(011xxx 假假

6、設(shè)設(shè)另另有有. 0)(1 xf使使(2)(2)唯一性唯一性爾定理爾定理為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足羅為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足羅以以在在10,)(xxxf例例3.3.10155的正實(shí)根的正實(shí)根有且僅有一個(gè)小于有且僅有一個(gè)小于證明方程證明方程 xx證證: :,),1 , 0(011xxx 假假設(shè)設(shè)另另有有. 0)(1 xf使使(2)(2)唯一性唯一性爾定理爾定理為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足羅為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足羅以以在在10,)(xxxf 至至少少存存在在一一個(gè)個(gè). 0)( f)1(5)(4 xxf但但, 0 .有有唯唯一一實(shí)實(shí)根根使得使得)1 , 0( x矛盾矛盾, ,),(10之之間間介介于于xx故假設(shè)不真！故假設(shè)不真！

7、在在0, 1上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo), 且且)(xf, 0)1()0( ff則在則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn), ),()(xxfxF ),1,0(1 例例4 若若證證)1 ,0(使得使得. 0)( F使得使得. 0)(1 F),()()(xfxxfxF 0)()0(1 FF上使用上使用羅爾定理羅爾定理, 0)(1 在在對(duì)對(duì)xF ),1,0(), 0(1 使得使得. 0)( F上上在在對(duì)對(duì) 1 , 0)()(xxfxF 使用使用羅爾定理羅爾定理,兩種常用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法：兩種常用的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法： 1. 常數(shù)常數(shù)k 法構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造函數(shù) 基本思路是令待證等式中的常數(shù)為基本思路是令待證等

8、式中的常數(shù)為k， 通過(guò)通過(guò)恒等變形將含有的式子寫成恒等變形將含有的式子寫成 的形式，的形式， )()(bFaF 然后用羅爾定理然后用羅爾定理則則 就是需要的輔助函數(shù)就是需要的輔助函數(shù),)(xF進(jìn)行證明進(jìn)行證明.例例5 設(shè)設(shè)證證明明內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在,),(,)(babaxf分析分析證證，設(shè)設(shè)kxxxfxF )()(令令上使用上使用在在對(duì)對(duì),)(baxF羅爾定理羅爾定理,)()()()( ffabaafbbf ,)()(kabaafbbf 整理得整理得,)()(kaaafkbbbf ),(ba 使得使得. 0)( F故故).()()()( ffabaafbbf ，0)()( kff

9、 即即使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在,),( ba2. 通過(guò)對(duì)待證等式的恒等變形尋找輔助函數(shù)通過(guò)對(duì)待證等式的恒等變形尋找輔助函數(shù) 然后再觀察所得函數(shù)是哪個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這個(gè)函數(shù)然后再觀察所得函數(shù)是哪個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是我們需要的輔助函數(shù)就是我們需要的輔助函數(shù). 因?yàn)榈仁街谐霈F(xiàn)的中值因?yàn)榈仁街谐霈F(xiàn)的中值 一定是對(duì)某個(gè)函數(shù)一定是對(duì)某個(gè)函數(shù)使用中值定理得到的使用中值定理得到的, 因此因此, 可以首先把可以首先把 還原為還原為 x， 如果待證等式出現(xiàn)如果待證等式出現(xiàn) 的形式，的形式， )()()()(xvxfxuxf 則可以考慮形如則可以考慮形如 的輔助函數(shù)的輔助函數(shù).)()()(xgxfxF )(2)(ff 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)),()(2xfxxF )(xF在在0, 1上用上用羅爾定理羅爾定理, )1