概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章大數(shù)定律及中心極限定理(1)ppt課件

1、 前面我們引見了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，前面我們引見了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它表達(dá)了隨機(jī)變量取值的平均，是隨機(jī)變它表達(dá)了隨機(jī)變量取值的平均，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征量的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 但是在一些場(chǎng)所，僅僅知道隨機(jī)變量但是在一些場(chǎng)所，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均是不夠的取值的平均是不夠的.4.3 隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的方差 例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各丈量乙兩臺(tái)儀器各丈量10次，將丈量結(jié)果次，將丈量結(jié)果X用坐用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖： 假設(shè)讓他就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的假設(shè)讓他就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)優(yōu) 劣，他以為

2、哪臺(tái)儀器好一些呢？劣，他以為哪臺(tái)儀器好一些呢？乙儀器丈量結(jié)果乙儀器丈量結(jié)果a a甲儀器丈量結(jié)果甲儀器丈量結(jié)果較好較好丈量結(jié)果的丈量結(jié)果的均值都是均值都是 a由于乙儀器的丈量結(jié)果集中在均值附近由于乙儀器的丈量結(jié)果集中在均值附近例如例如, ,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目的射擊甲、乙兩門炮同時(shí)向一目的射擊1010發(fā)發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目的的位置如圖：炮彈，其落點(diǎn)距目的的位置如圖：他以為哪門炮射擊效果好一些呢他以為哪門炮射擊效果好一些呢? ?甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮乙炮由于乙炮的彈著點(diǎn)較集中在中心附近，由于乙炮的彈著點(diǎn)較集中在中心附近，所以乙炮的射擊效果好所以乙炮的射擊效果好. .

3、中心中心中心中心 為此需求引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征，用它為此需求引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征，用它來度量隨機(jī)變量取值相對(duì)于其中心的離來度量隨機(jī)變量取值相對(duì)于其中心的離散程度散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是下面要引見的這個(gè)數(shù)字特征就是下面要引見的方方 差差 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為E(X), 假假設(shè)設(shè)E(X-E(X)2存在存在, 那么稱它為那么稱它為X的方的方差差(此時(shí)，也稱此時(shí)，也稱X的方差存在的方差存在)，記為，記為Var(X) 或或D(X) , 即即定義定義稱稱Var(X) 的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根 為為X的規(guī)范差或均方差，記為的規(guī)范差或均方差，記為 (X). 方差的概念Var (X)=E(

4、X-E(X)2)ar(XV留意：留意： 1) Var(X)0，即方差是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。，即方差是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。2當(dāng)當(dāng)X 服從某分布時(shí)，我們也稱某分布服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差為的方差為Var(X)。方差描寫了隨機(jī)變量的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)方差描寫了隨機(jī)變量的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望即均值的離散程度。期望即均值的離散程度。假設(shè)假設(shè)X X的取值比較分散，那么方差較的取值比較分散，那么方差較大大 . .假設(shè)假設(shè)X X的取值比較集中，那么方差較??；的取值比較集中，那么方差較??；方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式 (1) 假設(shè)假設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 pk= P(X=xk)

5、, k=1, 2, . , 且且Var(X)存在，那么存在，那么 21()()kkkVar XxE Xp 由定義可知，方差是隨機(jī)變量由定義可知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù) g(X)=X-E(X)2的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 .2假設(shè)假設(shè)X為延續(xù)型隨機(jī)變量，其概率為延續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為密度為f(x)，且，且Var(X)存在，那么存在，那么 3假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量X的方差的方差Var(X)存在，存在，那么那么 2()( - ()( ) Var Xx E Xf x dx22()() ()Var XE XE X 證明：證明： Var(X)=E(X2)-E(X)2 展開展開證：證：Var(X)=

6、EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性質(zhì)性質(zhì) 常見隨機(jī)變量的方差 (1) 參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布 分布列為： 前面曾經(jīng)計(jì)算過：E(X)=p，又.1)0(,) 1(pXPpXP 所以.) 0(0) 1(1)(222pXPXPXE222()() .Var XE XEXpppq 分布列為： 已計(jì)算過：E(X)=np，又., 1, 0,)(nkqpCkXPknkkn 所以2() (1)E XE X XEX22()() .Var XE XEXnpq (2)二項(xiàng)分布B(n, p)0(1)nkkn knkk kC p q

7、np2 22 (2)2(1)(2)!(2)!()!nknkkn nnpqnpknk 22222 (2)222 0(1)(1)nkknknkn npCpqnpn npnp 分布列為： 已計(jì)算過：E(X)=，又., 2, 1, 0,!)(kekkXPk 所以2()(1)E XE X XEX22()() .Var XE XEX (3)泊松分布P()0(1)!kkk kek222(2)!knkek220.!kkek 概率密度為： 已計(jì)算過：E(X)=(a+b)/2，又.,0,1)(其其它它bxaabxf 所以bababadxabxdxxfxXE31)()(22222222()()() .12baVar

8、 XE XEX (4)區(qū)間a,b上的均勻分布Ua,b 概率密度為： 已計(jì)算過：E(X)=1/，又. 0,0; 0,)(xxexfx 所以2220()( )xE Xx f x dxxedx2221()() .Var XE XEX (5) 指數(shù)分布E()200()|2 ()xxxexedx02xxedx2022.xxedx 概率密度為： 已計(jì)算過：E(X)= ，所以222)(21)(xexf222212xyyyedy (6) 正態(tài)分布N(, 2)22()2221() ()2()xVarE XEXxedxX 22222211()()|22yyyeedy222212yedy闡明闡明 正態(tài)分布的概率密度

9、中的兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分布的概率密度中的兩個(gè)參數(shù) 分別就是該分布的數(shù)學(xué)期望和方差，分別就是該分布的數(shù)學(xué)期望和方差，2, 因此，正態(tài)分布完全可由它的數(shù)學(xué)期望因此，正態(tài)分布完全可由它的數(shù)學(xué)期望和方差所確定和方差所確定例例1 1甲甲、乙乙兩兩人人射射擊擊，他他們們的的射射擊擊水水平平由由下下表表給給出出：X：甲甲擊擊中中的的環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)；Y：乙乙擊擊中中的的環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)；試試問問哪哪一一個(gè)個(gè)人人的的射射擊擊水水平平較較高高？例例1 1續(xù)續(xù)解：比比較較兩兩個(gè)個(gè)人人的的平平均均環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)甲甲的的平平均均環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)為為8 0.39 0.210 0.5EX 9.2 環(huán)環(huán)8 0.29 0.410 0.4EY 9.2 環(huán)環(huán)從從平

10、平均均環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)上上看看，甲甲乙乙兩兩人人的的射射擊擊水水平平是是一一樣樣的的，但但兩兩個(gè)個(gè)人人射射擊擊環(huán)環(huán)數(shù)數(shù)的的方方差差分分別別為為乙的平均環(huán)數(shù)為乙的平均環(huán)數(shù)為例例1 1續(xù)續(xù) 2228 9.20.39 9.20.210 9.20.5DX 0.76 2228 9.20.29 9.20.410 9.20.4DY 0.624 DYDX 由由于于，這闡明乙的射擊程度比甲穩(wěn)定這闡明乙的射擊程度比甲穩(wěn)定例例2. 設(shè)設(shè)0, 0, 0,ln)(,21,21XXXXgYUX求求 E (Y ), D(Y ).解解:dxxfxgYEX)()()(21211)(dxxg2101lndxx2121ln21212ln2

11、1dxxfxgYEX)()()(2221021lndxx2ln12ln2121ln121ln2122)()()(22YEYEYD22212ln212ln12ln21432ln212ln412例例3. 知知X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其它, 0, 10,)(2xBxAxxf其中其中 A A，B B 是常數(shù)，且是常數(shù)，且 E(X) = 0.5. E(X) = 0.5. 求求 A，B.(2)設(shè)設(shè) Y=X2, 求求 E(Y) , D(Y).解解: (1)1)()(102dxBxAxdxxf21)()(102dxBxAxxdxxxf2134123BABA6, 6BA(2)103)66()()()(1022

12、22dxxxxdxxfxXEYE71)66()()()(1024442dxxxxdxxfxXEYE70037)()()(22YEYEYD性質(zhì)性質(zhì)1: 假設(shè)假設(shè)X=C，C為常數(shù)，那為常數(shù)，那么么 Var(X)=0 . 方差的性質(zhì)假設(shè)假設(shè)b為常數(shù)為常數(shù),隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的方差存的方差存在，那么在，那么bX的方差存在，且的方差存在，且 Var(bX) = b2Var(X)性質(zhì)性質(zhì)2:Var (aX + b ) = a2 Var(X)結(jié)合性質(zhì)結(jié)合性質(zhì)1與性質(zhì)與性質(zhì)2就有就有假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn的方差都存在，的方差都存在，那么那么X1+X2+.+Xn的方差存在，且的方差存在，且 假

13、設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立，那么相互獨(dú)立，那么性質(zhì)性質(zhì)4:n2時(shí)就有時(shí)就有性質(zhì)性質(zhì)3:ninjjijiniiEXEXXXEXVar111)()()()()(11nnXVarXVarXXVarVar(XY)= Var(X) +Var(Y) 2E(X-EX)(Y-EY)Var(XY)= VarX +VarY假設(shè)假設(shè)X, Y獨(dú)立，獨(dú)立，普通地普通地證：證： 22( )( ) 2aVar XbVar YabE XEXYEY 假設(shè)假設(shè) X,Y X,Y 獨(dú)立，那么獨(dú)立，那么E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)=0 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-E

14、Y)=0 故故22()( )a Var XbVar Y ()Var aXbY 22( )( ) 2aVar XbVar YabE XEXYEY 性質(zhì)性質(zhì)6: 性質(zhì)性質(zhì)6闡明除了以概率闡明除了以概率1等于常數(shù)的隨機(jī)等于常數(shù)的隨機(jī)變量外，任何隨機(jī)變量的方差都大于變量外，任何隨機(jī)變量的方差都大于0. 性質(zhì)性質(zhì)5: 對(duì)恣意常數(shù)對(duì)恣意常數(shù)C, Var(X ) C, Var(X ) E(X C)2 , E(X C)2 ,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X ).C = E(X ).Var(X ) = 0 P (X = E(X)=1稱為稱為X X 依概率依概率 1 1 等于常數(shù)等于常數(shù)E(X).E

15、(X). 性質(zhì)性質(zhì)5闡明隨機(jī)變量闡明隨機(jī)變量X在均方誤差的意義在均方誤差的意義下間隔均值下間隔均值E(X)最近最近. 注：以后假設(shè)無特殊闡明，都以為隨機(jī)變量的注：以后假設(shè)無特殊闡明，都以為隨機(jī)變量的方差大于方差大于0。解：設(shè)解：設(shè)XB(n,p), 那么那么X表示表示n重貝努里實(shí)重貝努里實(shí)驗(yàn)中事件驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù) ，且在每次實(shí)驗(yàn)，且在每次實(shí)驗(yàn)中中A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p. 引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量 11,2, .kAkXknAk， 在第 次試驗(yàn)發(fā)生，0， 在第 次試驗(yàn)不發(fā)生，那么那么 是事件是事件A A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)1nkkXX例例4 設(shè)設(shè)X B(n, p)，求，求

16、Var(X)由于由于Xk只依賴于第只依賴于第k次實(shí)驗(yàn)，而各次實(shí)驗(yàn)次實(shí)驗(yàn)，而各次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，于是相互獨(dú)立，于是 X1，X2，Xn 相互獨(dú)立，而且相互獨(dú)立，而且都都 服從兩點(diǎn)分布，故服從兩點(diǎn)分布，故 Var(Xk)= p(1- p) k=1,2,n.因此因此1()()nkkVarXVar X1(1)().nkkVanrpXp那么那么11()niiEXn例例5. 5. 設(shè)設(shè)X1, X2, , XnX1, X2, , Xn相互獨(dú)立，有共同的期望相互獨(dú)立，有共同的期望 和方差和方差 ，2.1)1(,)1(211nXnVarXnEniinii證明證明:211()niiVarXn11()niiEXn11(

17、)niiE Xn211()niiVarXn211()niiVar Xn21.n例例6.6.知隨機(jī)變量知隨機(jī)變量X1,X2,XnX1,X2,Xn相互獨(dú)立，且每個(gè)相互獨(dú)立，且每個(gè)XiXi的期望都是的期望都是0 0，方差都是，方差都是1 1， 令令Y= X1+X2+Xn .Y= X1+X2+Xn .求求 E(Y2). E(Y2).解：由知，那么有解：由知，那么有( )E Y2()E Y因此，因此，( )D Y12( )()()nE YE YE Y012( )()()nD YD YD Yn2( )( )D YE Y. n例例7.7.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X和和Y Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且 X XN

18、(1,2),N(1,2), Y YN(0,1), N(0,1), 試求試求 Z=2X-Y+3 Z=2X-Y+3 的期望和方差的期望和方差。 由知，有由知，有E(X)=1, D(X)=2,E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=0, D(Y)=1, E(Y)=0, D(Y)=1, 且且X X和和Y Y獨(dú)立。因此，獨(dú)立。因此，D(Z)= 4D(X)+D(Y) = 8+1=9.E(Z)= 2E(X) E(Y)+3 = 2+3=5, 解解: :注：由此可知注：由此可知 Z ZN N5,95,9。則且相互獨(dú)立，若, 2 , 1),(2niNXiii.,12212211niiiniiinnCCCNCXC

19、XCXC的常數(shù)。是不全為這里，0C,C,Cn21結(jié)論：結(jié)論：規(guī)范化隨機(jī)變量規(guī)范化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望的期望E(X )、方差、方差D(X )都存在都存在,且且D(X ) 0, 那么稱那么稱)()(XDXEXX為為 X 的規(guī)范化隨機(jī)變量的規(guī)范化隨機(jī)變量. 顯然，顯然，1)(, 0)(XDXE解：解：1()()E XE XVar XE X22()() ()ED XXE X1 ()(0()E XE XVar X2()()XE XEVar X21( )( )E XE XVar X()1(Var XVar X()().XE XXVarXXX即的數(shù)學(xué)期望為0，方差為1.稱為的標(biāo)準(zhǔn)化變量C

20、. 兩個(gè)不等式兩個(gè)不等式 定理定理3.2 (馬爾可夫馬爾可夫(Markov)不等式不等式)：對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量X 和恣意的和恣意的 0，有，有.0,|1|XEXP證明證明: : 設(shè)為延續(xù)型設(shè)為延續(xù)型, , 密度函數(shù)為密度函數(shù)為f(x), f(x), 那么那么|E X| |( )xf xdx| |( )| |( )xf x dxxf x dx( )( )f x dxf x dx()()P XP X (|)P X上式常稱為切比雪夫上式常稱為切比雪夫Chebyshev不等式不等式 |( )|P XE X在馬爾可夫不等式中取在馬爾可夫不等式中取=2, X為為X-EX 得得是概率論中的一個(gè)根本不等式是

21、概率論中的一個(gè)根本不等式. 221|( )|E XE X2( )Var X當(dāng)方差知時(shí)，切比雪夫不等式給出了隨機(jī)當(dāng)方差知時(shí)，切比雪夫不等式給出了隨機(jī)變量變量 X與它的期望的偏向小于與它的期望的偏向小于 的概率的的概率的下限的估計(jì)式下限的估計(jì)式 . 如取如取 322|()| 3 10.88899PXE X 可見，對(duì)任給的分布，只需期望和方差可見，對(duì)任給的分布，只需期望和方差 存在，那么存在，那么 r.v X取值偏離取值偏離E(X)小于小于 3 的的 概率不小于概率不小于0.8889 .2 例例8.8.知某種股票每股價(jià)錢知某種股票每股價(jià)錢X X 的平均值為的平均值為1 1元，元，規(guī)范差為規(guī)范差為0.

22、10.1元，求元，求a a，使股價(jià)超越，使股價(jià)超越1+a1+a元或低元或低于于1-a1-a元的概率小于元的概率小于10%10%。解：由切比雪夫不等式解：由切比雪夫不等式201. 0)| 1(|aaXP令令1 . 001. 02a1 . 02 a32. 0 a 例例9. 9. 在每次實(shí)驗(yàn)中，事件在每次實(shí)驗(yàn)中，事件A A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 0.75, 0.75, 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n n需求多么大需求多么大時(shí)，才干使得在時(shí)，才干使得在n n次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中次獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)中, , 事件事件A A出出現(xiàn)的頻率在現(xiàn)的頻率在0.740.760.740.76之間的概率至少為之間的概率至少為0.90?0.90?解：設(shè)解