初中數(shù)學(xué)校本教材 (1)

1、初中數(shù)學(xué)校本教材 校本課程序言一、把握數(shù)學(xué)的生活性“使教學(xué)有生活味” 數(shù)學(xué)課程標準中指出：“數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對現(xiàn)代社會中大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇和判斷，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值”。這說明數(shù)學(xué)來源于社會，同時也反作用于社會，社會生活與數(shù)學(xué)關(guān)系密切，它已經(jīng)滲透到生活的每個方面，我們的衣食住行都離不開它。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)論認為：數(shù)學(xué)源于生活，又運用于生活，生活中充滿數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育寓于生活實際。有意識地引導(dǎo)學(xué)生溝通生活中的具體問題與有關(guān)數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系，借助學(xué)生熟悉的生活實際中的具體事例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲，幫助學(xué)生更好的理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，并運用學(xué)到的數(shù)

2、學(xué)知識去解決實際生活中的數(shù)學(xué)問題。二、把握數(shù)學(xué)的美育性“使教學(xué)有韻味”數(shù)學(xué)家克萊因認為：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！?美作為現(xiàn)實的事物和現(xiàn)象，物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品、藝術(shù)作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產(chǎn)品的數(shù)學(xué)就具有上述美的特點。簡練、精確是數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)的基本定理說法簡約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡便卻又印象深刻。數(shù)學(xué)語言是如此慎重的、有意的而且經(jīng)常是精心設(shè)計的，憑借數(shù)學(xué)語言的嚴密性和簡潔性，我們就可以

3、表達和研究數(shù)學(xué)思想，這種簡潔性有助于思維的效率。數(shù)學(xué)很講究它的邏輯美。數(shù)學(xué)的應(yīng)用是被人們廣泛認同的，可學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還能訓(xùn)練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后呼應(yīng)，抽象的數(shù)學(xué)也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學(xué)生留有了思索和創(chuàng)新的空間。抽象的數(shù)學(xué)不正展示它的魅力嗎？數(shù)學(xué)上有很多知識是和對稱有關(guān)的。對稱給人協(xié)調(diào)，平穩(wěn)的感覺，象圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優(yōu)美。正是由于幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。中學(xué)數(shù)學(xué)的美育性，除了上述一些方面，還有

4、其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)蘊涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學(xué)生感受美的同時既提高教學(xué)質(zhì)量，又使教學(xué)韻味深厚。 第一章 興趣數(shù)學(xué)第一節(jié)七橋問題（一筆畫問題）18世紀時，歐洲有一個風(fēng)景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結(jié)，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結(jié)。當(dāng)時哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個問題。七橋問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉（17071783）的關(guān)注。他把具體七橋布局化歸

5、為圖所示的簡單圖形，于是，七橋問題就變成一個一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點出發(fā)，一筆畫出這個簡單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線只畫一次不準重復(fù)），并且最后返回起點？歐拉經(jīng)過研究得出的結(jié)論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個結(jié)論是如何產(chǎn)生呢？如果我們從某點出發(fā)，一筆畫出了某個圖形，到某一點終止，那么除起點和終點外，畫筆每經(jīng)過一個點一次，總有畫進該點的一條線和畫出該點的一條線，因此就有兩條線與該點相連結(jié)。如果畫筆經(jīng)過一個n次，那么就有2n條線與該點相連結(jié)。因此，這個圖形中除起點與終點外的各點，都與偶數(shù)條線相連。如果起點和終點重合，那

6、么這個點也與偶數(shù)條線相連；如果起點和終點是不同的兩個點，那么這兩個點部是與奇數(shù)條線相連的點。綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點或者都是與偶數(shù)條線相連的點，或者其中只有兩個點與奇數(shù)條線相連。圖2中的A點與5條線相連結(jié)，B、C、D各點各與3條線相連結(jié)，圖中有4個與奇數(shù)條線相連的點，所以不論是否要求起點與終點重合，都不能一筆畫出這個圖形。歐拉定理 ：  如果一個圖是連通的并且奇頂點的個數(shù)等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。練習(xí)：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個圖形嗎？試試看。（不走重復(fù)線路）圖例1圖例2圖例3圖例42四色問題人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區(qū)

7、圖，至少需要幾種顏色，才能把相鄰的政區(qū)或區(qū)域通過不同的顏色區(qū)分開來，就未必是一個簡單的問題了。 這個地圖著色問題，是一個著名的數(shù)學(xué)難題。大家不妨用一張中國政區(qū)圖來試一試，無論從哪里開始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所有省份都區(qū)別開來。所以，很早的時候就有數(shù)學(xué)家猜想：“任何地圖的著色，只需四種顏色就足夠了?！边@就是“四色問題”這個名稱的由來。 四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。 四色問題的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色?！庇脭?shù)學(xué)語言表示，即“將平面任意地細分為不相重迭的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個數(shù)字之一來標記，而不會

8、使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字?！保ㄓ覉D）這里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區(qū)域只相遇于一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。數(shù)學(xué)史上正式提出“四色問題”的時間是在1852年。當(dāng)時倫敦的大學(xué)的一名學(xué)生法朗西斯向他的老師、著名數(shù)學(xué)家、倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授莫根提出了這個問題，可是莫根無法解答，求助于其它數(shù)學(xué)家，也沒有得到答案。于是從那時起，這個問題便成為數(shù)學(xué)界的一個“懸案”。一直到二十年前的1976年9月，美國數(shù)學(xué)會通告正式宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界的消息：美國伊利諾斯大學(xué)的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了“四色問題”這個猜想是完全正確的！他

9、們將普通地圖的四色問題轉(zhuǎn)化為2000個特殊圖的四色問題，然后在電子計算機上計算了足足1200個小時，作了100億判斷，最后成功地證明了四色問題,轟動了世界。這是一百多年來吸引許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的大事，當(dāng)兩位數(shù)學(xué)家將他們的研究成果發(fā)表的時候，當(dāng)?shù)氐泥]局在當(dāng)天發(fā)出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。2 麥比烏斯帶每一張紙均有兩個面和封閉曲線狀的棱(edge)，如果有一張紙它有一條棱而且只有一個面，使得一只螞蟻能夠不越過棱就可從紙上的任何一點到達其他任何一點，這有可能嗎?事實上是可能的只要把一條紙帶半扭轉(zhuǎn)，再把兩頭貼上就行了。這是德國數(shù)學(xué)家麥比烏斯(Mö

10、bius.A.F 1790-1868)在1858年發(fā)現(xiàn)的，自此以後那種帶就以他的名字命名，稱為麥比烏斯帶。有了這種玩具使得一支數(shù)學(xué)的分支拓樸學(xué)得以蓬勃發(fā)展。 3分割圖形分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強觀察能力的一種有趣的游戲。我們先來看一個簡單的分割圖形的題目分割正方形。在正方形內(nèi)用4條線段作“井”字形分割，可以把正方形分成大小相等的9塊，這種圖形我們常稱為九宮格。 用4條線段還可以把一個正方形分成10塊，只是和九宮格不同的是，每塊的大小不一定都相等。那么，怎樣才能用4條線段把正方形分成10塊呢？請你先動腦筋想想，在動腦的同時還要動手畫一畫其實，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割

11、方法。練習(xí)：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應(yīng)該怎樣分？5數(shù)學(xué)故事（1）奇特的墓志銘在大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個有趣的幾 何圖形：一個圓球鑲嵌在一個圓柱內(nèi)。相傳，它是阿基米 德生前最為欣賞的一個定理。 在數(shù)學(xué)家魯?shù)婪虻哪贡希瑒t鐫刻著圓周率的35位 數(shù)值。這個數(shù)值被叫做?！濒?shù)婪驍?shù)”。它是魯?shù)婪虍吷难?的結(jié)晶。大數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)表示，在他去世以后，希望人們在他 的墓碑上刻上一個正17邊形。因為他是在完成了正17邊形 的尺規(guī)作圖后，才決定獻身于數(shù)學(xué)研究的 不過，最奇特的墓志銘，卻是屬于古希臘數(shù)學(xué)家丟番 圖的。他的墓碑上刻著一道謎語般的數(shù)學(xué)題： “過路人，這座石墓里安葬著丟番圖

12、。他生命的16 是幸福的童年，生命的112是青少年時期。又過了生命 的 1 7他才結(jié)婚。婚后 5年有了一個孩子，孩子活到他 父親一半的年紀便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲 哀中又活了4年，也結(jié)束了塵世生涯。過路人，你知道丟 番圖的年紀嗎？” 丟番圖的年紀究竟有多大呢？ 設(shè)他活了X歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀，只要解出這個方程就行了。這段墓志銘寫得太妙了。誰想知道丟番圖的年紀，誰 就得解一個一元一次方程；而這又正好提醒前來瞻仰的人 們，不要忘記了丟番圖獻身的事業(yè)。在丟番圖之前，古希臘數(shù)學(xué)家習(xí)慣用幾何的觀點看待 遇到的所有數(shù)學(xué)問題，而丟番圖則不然，他是古希臘第一 個大代數(shù)學(xué)家

13、，喜歡用代數(shù)的方法來解決問題?，F(xiàn)代解方程的基本步驟，如移項、合并同類項、，方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其擅長解答不定方 程，發(fā)明了許多巧妙的方法，被西方數(shù)學(xué)家譽為這門數(shù)學(xué) 分支的開山鼻祖。丟番圖也是古希臘最后一個大數(shù)學(xué)家。遺憾的是，關(guān) 于他的生平。后人幾乎一無所知，既不知道他生于何地， 也不知道他卒于何時。幸虧有了這段奇特的墓志銘，才知 道他曾享有84歲的高齡。 （2）希臘十字架問題圖上那只巨大的復(fù)活節(jié)彩蛋上有一個希臘十字架，從它引發(fā)出許多切割問題，下面是其中的三個。(a)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個正方形; 有無限多種辦法把一個希臘十字架分成四塊，再把它們拼成一個

14、正方形，下圖給出了其中的一個解法。 奇妙的是，任何兩條切割直線，只要與圖上的直線分別平行，也可取得同樣的結(jié)果，分成的四塊東西總是能拼出一個正方形。 (b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個菱形;(c)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個矩形，要求其 長是寬的兩倍。 第二章 最完美的數(shù)完美數(shù)又稱為完全數(shù),最初是由畢達哥拉斯(Pythagoras)的信徒發(fā)現(xiàn)的,他們注意到:數(shù)6有一個特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3,下一個具有同樣性質(zhì)的數(shù)是28, 28=1+2+4+7+14 接著是496和8128.他們稱這類數(shù)為完美數(shù).歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了:

15、若2n-1是素數(shù),則數(shù)2n-12n-1 (1) 是完全數(shù).兩千年后,歐拉證明每個偶完全數(shù)都具有這種形式.這就在完全數(shù)與梅森數(shù)(形式為的素數(shù))之間建立了緊密的聯(lián)系,到1999年6月1日為止,共發(fā)現(xiàn)了38個梅森素數(shù),這就是說已發(fā)現(xiàn)了38個完全數(shù). 1：完全數(shù)是非常奇特的數(shù),它們有一些特殊性質(zhì),例如每個完全數(shù)都是三角形數(shù),即都能寫成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/228=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2 496=1+2+3+4+.+31=31*32/2. 2n-1(2n-1)=1+2+3+.+(2n-1)=(2n-1)2n/22：把它們(6除外)的各位數(shù)字相加,直到變成一位數(shù),那么這

16、個一位數(shù)一定是1;它們都是連續(xù)奇數(shù)的立方和(6除外),22(23-1)=28=13+33 24(25-1)=496=13+33+53+73 26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153 . 2n-1(2n-1)=13+33+53+.+(2(n+1)/2-1)33：除了因子1之外,每個完全數(shù)的所有因子(包括自身)的倒數(shù)和等于1,比如:1/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 .4：完全數(shù)都是以6或8結(jié)尾的,如果以8結(jié)尾,那么就肯定是以28結(jié)尾.注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù),至今仍然不知道有沒有奇完全數(shù),如果真的存在奇完全數(shù)

17、.第三章 有理數(shù)的巧算有理數(shù)運算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運算的基礎(chǔ)它要求同學(xué)們在理解有理數(shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性1括號的使用 在代數(shù)運算中，可以根據(jù)運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復(fù)雜的問題變得較簡單例1 計算：分析 中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負數(shù)的引入，符號“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質(zhì)符號因此進行有理數(shù)運算時，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則，尤其是要注

18、意去括號時符號的變化注意 在本例中的乘除運算中，常常把小數(shù)變成分數(shù)，把帶分數(shù)變成假分數(shù)，這樣便于計算例2 計算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445分析 直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結(jié)合起來計算解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789

19、=1000×(211+789) =1 000 000說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧例3 在數(shù)1，2，3，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數(shù)是多少？分析與解 因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，所以在1，2，3，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性在1，2，3，1998中有1998÷2個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負數(shù)不小于1現(xiàn)考慮在自然數(shù)n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然n-(n+1)-(n

20、+2)+(n+3)=0這啟發(fā)我們將1，2，3，1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非負數(shù)是1說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化2用字母表示數(shù)我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變?yōu)?a+b)(a-b)

21、=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(a-b)=a2-b2， 這個公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個公式計算時，不必重復(fù)公式的證明過程，可直接利用該公式計算例4 計算 3001×2999的值解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999例5 計算 103×97×10 009的值解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919例6 計算：分析與解 直接計算繁仔細觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整

22、數(shù)：12 345，12 346，12 347可設(shè)字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-(n-1)(n+1)應(yīng)用平方差公式化簡得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690例7 計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析 式子中2，22，24，每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續(xù)遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

23、=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)= =(232-1)(232+1) =264-1例8 計算：分析 在前面的例題中，應(yīng)用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2這個公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)本題就是一個例子 通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計算帶來很大的益處下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化例9計算：我們用一個字母表示它以簡化計算 1 觀察算式找規(guī)律例10 某班20名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績?nèi)缦?，請計算他們?/p>

24、總分與平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析與解 若直接把20個數(shù)加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90的數(shù)取“負”，考察這20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運算所以總分為90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=89.95例11 計算1+3+5+7+19

25、97+1999的值 分析 觀察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再將S各項倒過來寫為S=1999+1997+1995+3+1 將，兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(1000個2000)=2000×1000從而有 S=1000 000說明 一般地，一列數(shù)，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-

26、5=1999-1997，都等于2)，那么，這列數(shù)的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決例13 計算 1+5+52+53+599+5100的值分析 觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算解 設(shè)S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得4S=5101-1，說明 如果一列數(shù)，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決例14 計算：分析 一般情況下，分數(shù)計算是先通分本題通

27、分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關(guān)系式來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法 解 由于所以說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用練習(xí)1計算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636； (6)1+4+7+244； 2某小組20名同

28、學(xué)的數(shù)學(xué)測驗成績?nèi)缦?，試計算他們的平均?1，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85第四章 歸納與發(fā)現(xiàn)歸納的方法是認識事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗歸納，也就是在求解數(shù)學(xué)問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經(jīng)驗結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗作基礎(chǔ)，分析概括這些經(jīng)驗的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法下面舉幾個例題，以見一般 例1 如圖2-99，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩

29、個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊有三個點，這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？分析與解 我們來觀察點陣中各層點數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點陣共有的點數(shù) 第一層有點數(shù)：1；第二層有點數(shù)：1×6；第三層有點數(shù)：2×6；第四層有點數(shù)：3×6；第n層有點數(shù)：(n-1)×6.因此，這個點陣的第n層有點(n-1)×6個n層共有點數(shù)為例2 在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區(qū)域？(2)這n個圓共有多少個交點？分析

30、與解 (1)在圖2-100中，設(shè)以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個？為此，我們列出表181由表181易知S2-S1=2，S3-S23，S4-S34，S5-S45，由此，不難推測Sn-Sn-1n把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到Sn-S1234n，因為S1=2，所以下面對Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1n的正確性略作說明因為Sn-1為n-1個圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個圓，即當(dāng)n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1n

31、(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決為此，可列出表182由表182容易發(fā)現(xiàn)a11，a2-a11，a3-a22，a4-a33，a5-a44，an-1-an-2n-2，an-an-1n-1n個式子相加注意 請讀者說明an=an-1(n-1)的正確性例3 設(shè)a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數(shù)，其中abc，如果 b=n(n是自然數(shù))，試問這樣的三角形有多少個？分析與解 我們先來研究一些特殊情況：(1)設(shè)b=n=1，這時b=1，因為abc，所以a=1，c可取1，2，3，若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c2，由于ab=2，那么ab不大于第三邊c，這時不可能由a，b

32、，c構(gòu)成三角形，可見，當(dāng)b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個(2)設(shè)b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表183這時滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3(3)設(shè)b=n=3，類似地可得表184這時滿足條件的三角形總數(shù)為：123=6通過上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：這個猜想是正確的因為當(dāng)b=n時，a可取n個值(1，2，3，n)，對應(yīng)于a的每個值，不妨設(shè)a=k(1kn)由于bcab，即ncnk，所以c可能取的值恰好有k個(n，n1，n2，nk-1)所以，當(dāng)b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：例4 設(shè)1×2×3××n縮寫為n！(稱作n的

33、階乘)，試化簡：1！×12！×23！×3n！×n. 分析與解 先觀察特殊情況：(1)當(dāng)n=1時，原式=1=(11)！-1；(2)當(dāng)n=2時，原式=5=(21)！-1；(3)當(dāng)n=3時，原式=23=(31)！-1；(4)當(dāng)n=4時，原式=119=(41)！-1由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1. 下面我們證明這個猜想的正確性1+原式=1+(1！×12！×23！×3+n！×n)=1！×22！×23！×3+n！×n=2！+2！×23！×3+n！

34、5;n=2！×3+3！×3+n！×n=3！+3！×3+n！×n=n！+n！×n=(n1)！，所以原式=(n+1)！-1. 例5 設(shè)x0，試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大小分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設(shè)x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路為此，設(shè)x=0，顯然有x3x2+x+2設(shè)x=10，則有x3=1000，x2+x2=112，所以x3x2+x+2設(shè)x=100，則有x3x2+x+2觀察、比較，兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x值較小時，x3x2+x+2；當(dāng)x值較大時，x3x2+x+2那

35、么自然會想到：當(dāng)x=？時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”為此，設(shè)x3=x2x2，則x3-x2-x-20，(x3-x2-2x)(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0因為x0，所以x2+x+10，所以x-2=0，所以x=2這樣(1)當(dāng)x=2時，x3=x2+x+2；(2)當(dāng)0x2時，因為x-20，x2+x+20，所以 (x-2)(x2x+2)0，即x3-(x2x+2)0，所以 x3x2x2. (3)當(dāng)x2時，因為x-20，x2+x+20，所以 (x-2)(x2+x+2)0，即x3-(x2x2)0，所以 x3x2x2綜合歸納(1)，(2)，(3)，就

36、得到本題的解答練習(xí)七1試證明例7中：2平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點試求：(1)這n條直線共有多少個交點？(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？然后做出證明.)3求適合x5=656356768的整數(shù)x(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505656356768605，所以502x602)第五章 生活中的數(shù)學(xué)（儲蓄、保險與納稅）儲蓄、保險、納稅是最常見的有關(guān)理財方面的數(shù)學(xué)問題，幾乎人人都會遇到，因此，我們在這一講舉例介紹有關(guān)這方面的知識，以增強理財?shù)淖晕冶Ｗo意識和處理簡單財務(wù)問題的數(shù)學(xué)能力 1儲蓄銀行

37、對存款人付給利息，這叫儲蓄存入的錢叫本金一定存期(年、月或日)內(nèi)的利息對本金的比叫利率本金加上利息叫本利和利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率經(jīng)×存期)如果用p，r，n，i，s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有i=prn，s=p(1+rn)例1 設(shè)年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少元？本利和為多少元？解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)答 某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元以

38、上計算利息的方法叫單利法，單利法的特點是無論存款多少年，利息都不加入本金相對地，如果存款年限較長，約定在每年的某月把利息加入本金，這就是復(fù)利法，即利息再生利息目前我國銀行存款多數(shù)實行的是單利法不過規(guī)定存款的年限越長利率也越高例如，1998年3月我國銀行公布的定期儲蓄人民幣的年利率如表221所示用復(fù)利法計算本利和，如果設(shè)本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分別是s1，s2,，sn，則s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，sn=p(1+r)n例2 小李有20000元

39、，想存入銀行儲蓄5年，可有幾種儲蓄方案，哪種方案獲利最多？解 按表221的利率計算(1)連續(xù)存五個1年期，則5年期滿的本利和為20000(1+0.0522)525794(元)(2)先存一個2年期，再連續(xù)存三個1年期，則5年后本利和為20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)325898(元)(3)先連續(xù)存二個2年期，再存一個1年期，則5年后本利和為20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)26003(元)(4)先存一個3年期，再轉(zhuǎn)存一個2年期，則5年后的本利和為20000(10.0621×3)·(1+0.

40、0558×2)26374(元)(5)先存一個3年期，然后再連續(xù)存二個1年期，則5年后本利和為20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)226268(元)(6)存一個5年期，則到期后本利和為20000(1+0.0666×5)26660(元)顯然，第六種方案，獲利最多，可見國家所規(guī)定的年利率已經(jīng)充分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的2保險保險是現(xiàn)代社會必不可少的一種生活、生命和財產(chǎn)保護的金融事業(yè)例如，火災(zāi)保險就是由于火災(zāi)所引起損失的保險，人壽保險是由于人身意外傷害或養(yǎng)老的保險，等等下面舉兩個簡單的實例例3 假設(shè)一個小城鎮(zhèn)過去10年中，發(fā)生

41、火災(zāi)情況如表222所示試問：(1)設(shè)想平均每年在1000家中燒掉幾家？(2)如果保戶投保30萬元的火災(zāi)保險，最低限度要交多少保險費保險公司才不虧本？解 (1)因為1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440445=4096(家)11÷40960.0026(2)300000×0.0026=780(元)答(1)每年在1000家中，大約燒掉2.6家(2)投保30萬元的保險費，至少需交780元的保險費例4 財產(chǎn)保險是常見的保險假定A種財產(chǎn)保險是每投保1000元財產(chǎn)，要交3元保險費，保險期為1年，期滿后不退

42、保險費，續(xù)保需重新交費B種財產(chǎn)保險是按儲蓄方式，每1000元財產(chǎn)保險交儲蓄金25元，保險一年期滿后不論是否得到賠款均全額退還儲蓄金，以利息作為保險費今有兄弟二人，哥哥投保8萬元A種保險一年，弟弟投保8萬元B種保險一年試問兄弟二人誰投的保險更合算些？(假定定期存款1年期利率為5.22)解 哥哥投保8萬元A種財產(chǎn)保險，需交保險費80000÷1000×3=80×3=240(元)弟弟投保8萬元B種財產(chǎn)保險，按每1000元交25元保險儲蓄金算，共交80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息為2000×0.0522=104

43、.4(元)兄弟二人相比較，弟弟少花了保險費約240-104.4=135.60(元)因此，弟弟投的保險更合算些3納稅納稅是每個公民的義務(wù)，對于每個工作人員來說，除了工資部分按國家規(guī)定納稅外，個人勞務(wù)增收也應(yīng)納稅現(xiàn)行勞務(wù)報酬納稅辦法有三種：(1)每次取得勞務(wù)報酬不超過1000元的(包括1000元)，預(yù)扣率為3，全額計稅(2)每次取得勞務(wù)報酬1000元以上、4000元以下，減除費用800元后的余額，依照20的比例稅率，計算應(yīng)納稅額(3)每次取得勞務(wù)報酬4000元以上的，減除20的費用后，依照20的比例稅率，計算應(yīng)納稅額每次取得勞務(wù)報酬超過20000元的(暫略)由(1)，(2)，(3)的規(guī)定，我們?nèi)绻?/p>

44、設(shè)個人每次勞務(wù)報酬為x元，y為相應(yīng)的納稅金額(元)，那么，我們可以寫出關(guān)于勞務(wù)報酬納稅的分段函數(shù)：例5 小王和小張兩人一次共取得勞務(wù)報酬10000元，已知小王的報酬是小張的2倍多，兩人共繳納個人所得稅1560元，問小王和小張各得勞務(wù)報酬多少元？解 根據(jù)勞務(wù)報酬所得稅計算方法(見函數(shù))，從已知條件分析可知小王的收入超過4000元，而小張的收入在10004000之間，如果設(shè)小王的收入為x元，小張的收入為y元，則有方程組：由得y=10000-x，將之代入得x(1-20)20+(10000-x-800)20=1560，化簡、整理得0.16x-0.2x+1840=1560，所以0.04x=280，x=7

45、000(元)則 y=10000-7000=3000(元)所以答 小王收入7000元，小張收入3000元例6 如果對寫文章、出版圖書所獲稿費的納稅計算方法是其中y(x)表示稿費為x元應(yīng)繳納的稅額那么若小紅的爸爸取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到6216元，問這筆稿費是多少元？解 設(shè)這筆稿費為x元，由于x4000，所以，根據(jù)相應(yīng)的納稅規(guī)定，有方程x(1-20)· 20×(1-30)=x-6216，化簡、整理得0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)答 這筆稿費是7000元練習(xí)八1按下列三種方法，將100元存入銀行，10年后的本利和各是

46、多少？(設(shè)1年期、3年期、5年期的年利率分別為5.22，6.21，6.66保持不變)(1)定期1年，每存滿1年，將本利和自動轉(zhuǎn)存下一年，共續(xù)存10年；(2)先連續(xù)存三個3年期，9年后將本利和轉(zhuǎn)存1年期，合計共存10年；(3)連續(xù)存二個5年期2李光購買了25000元某公司5年期的債券，5年后得到本利和為40000元，問這種債券的年利率是多少？3王芳取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到2580元，問這筆稿費是多少元？4把本金5000元存入銀行，年利率為0.0522，幾年后本利和為6566元(單利法)？第六章 中外著名數(shù)學(xué)家1、韋達（1540-1603），法國數(shù)學(xué)家。 年青時學(xué)習(xí)法律當(dāng)過律師，后從事

47、政治活動，當(dāng)過議會議員，在西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的多種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與分數(shù)的關(guān)系，韋達在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”。1579年，韋達出版應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律2、帕斯卡（16231662年）是法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家16歲的時候就發(fā)現(xiàn)了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內(nèi)接六邊形的三組對邊的交點共線”，對射影幾何學(xué)作出了重要貢獻19歲時，發(fā)明了一種能做加法和減法運算的計算器，這是世界上第一臺機械式的計算機他對連續(xù)不可分量、微分三角形、面積和重

48、心等問題的深入研究，對微積分學(xué)的建立起到了積極的作用帕斯卡對數(shù)學(xué)的最大貢獻是創(chuàng)立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問題，帕斯卡廣泛應(yīng)用了算術(shù)三角形（即二項式定理系數(shù)表，西方稱帕斯卡三角，我國稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項展開式的系數(shù)規(guī)律以及這個三角形的構(gòu)造及其許多有趣的性質(zhì)。帕斯卡在物理學(xué)方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著思想錄和致鄉(xiāng)人書對法國散文的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響。3、在數(shù)學(xué)史上，很難再找到如此年輕而如此有創(chuàng)見的數(shù)學(xué)家。他就是出生在法國的伽羅華（18111832）伽羅華才華橫溢，思維敏捷，十七歲時就寫了一篇關(guān)于五次方程代數(shù)解法這個世界數(shù)學(xué)難題的論文，最先提出了近代數(shù)學(xué)的

49、一個基本概念“群”?？墒沁@篇論文被法國科學(xué)院一位目空一切的數(shù)學(xué)家丟失了。次年，他又寫了幾篇數(shù)學(xué)論文送交法國科學(xué)院，不料主審人因車禍去世，論文也不知所蹤。再過兩年，他被近把自己的研究再次寫成簡述，寄往法國科學(xué)，他去信尖銳地提醒權(quán)威們：“第一，不要因為我叫伽羅化，第二，不要因為我是大學(xué)生，”而“預(yù)先決定我對這個問題無能為力?！痹谶@封咄咄逼人的書信面前，有兩位數(shù)學(xué)家不得不宣讀了他的研究簡述，但隨即又以“完全不能理解”予以否定，其實，他們并沒有讀懂伽羅華的論文。伽羅華二十一歲那年死于決斗。臨死前他對守在旁邊的弟弟說：“不要忘了我，因為命運不讓我活到祖國知道我的名字的時候?！痹跊Q斗前夜，他給友人寫了著名

50、的“科學(xué)遺囑”，其中充滿自信地說：“我一行中不只一次敢于提出我沒有把握的命題，我期待著將來總會有人認識到：解開這個謎對雅可比和高斯是有好處的。”他的預(yù)言成為現(xiàn)實，那是在三十八年他的六十頁厚的論文終于出版的時候，從此，他被認為“群論”的奠基 人。4、劉徽 劉徽（生于公元250年左右），是中國數(shù)學(xué)史上一個非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位他的杰作九章算術(shù)注和海島算經(jīng)，是我國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)九章算術(shù)約成書于東漢之初，共有246個問題的解法在許多方面：如解聯(lián)立方程，分數(shù)四則運算，正負數(shù)運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作

51、了補充證明在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻他是世界上最早提出十進小數(shù)概念的人，并用十進小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根在代數(shù)方面，他正確地提出了正負數(shù)的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法在幾何方面，提出了"割圓術(shù)"，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率=3.14的結(jié)果劉徽在割圓術(shù)中提出的"割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作海島算經(jīng)一書中， 劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時為西方所矚目

52、劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生他雖然地位低下，但人格高尚他不是沽名釣譽的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富5、賈憲賈憲，中國古代北宋時期杰出的數(shù)學(xué)家。曾撰寫的黃帝九章算法細草（九卷）和算法斆古集（二卷）（斆xiào，意：數(shù)導(dǎo)）均已失傳。他的主要貢獻是創(chuàng)造了"賈憲三角"和增乘開方法，增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學(xué)數(shù)學(xué)中的混合除法，其原理和程序均與此相仿，增乘開方法比傳統(tǒng)的方法整齊簡捷、又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優(yōu)越性，這

53、個方法的提出要比歐洲數(shù)學(xué)家霍納的結(jié)論早七百多年。 6、秦九韶秦九韶（約1202-1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家。早年在杭州“訪習(xí)于太史，又嘗從隱君子受數(shù)學(xué)”，1247年寫成著名的數(shù)書九章。數(shù)書九章全書凡18卷，81題，分為九大類。其最重要的數(shù)學(xué)成就-“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余組解法）與“正負開方術(shù)"(高次方程數(shù)值解法），使這部宋代算經(jīng)在中世紀世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。 7、李冶李冶(1192-1279)，原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今

54、河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學(xué)，被元世祖忽必烈聘為翰林學(xué)士，僅一年，便辭官回鄉(xiāng)。1248年撰成測圓海鏡，其主要目的是說明用天元術(shù)列方程的方法?！疤煸g(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某“，可以說是符號代數(shù)的嘗試。李冶還有另一步數(shù)學(xué)著作益古演段（1259）也是講解天元術(shù)的。 8、朱世杰朱世杰（1300前后），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”，“踵門而學(xué)者云集”(莫若、祖頤：四元玉鑒后序）。朱世杰數(shù)學(xué)代表作有算學(xué)啟蒙（1299）和四元玉鑒（1303）。算術(shù)啟蒙是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展。四元玉鑒則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個標志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造有“四元術(shù)”（多元高次方程列