2021版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理學(xué)案蘇教版必修4

1、231平面向量根本定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)丨1.理解平面向量根本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義.2.在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會(huì)用這組基底來表示其他向量 .3.會(huì)應(yīng)用平面向量根本定理解決有關(guān)平面向 量的綜合問題.ET問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一平面向量根本定理思考1如果ei, e2是兩個(gè)不共線確實(shí)定向量，那么與ei, e2在同一平面內(nèi)的任一向量 a能否用ei, e2表示？依據(jù)是什么？思考2如果ei, e2是共線向量，那么向量 a能否用ei, e2表示？為什么?梳理i平面向量根本定理： 如果ei, e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 向量，那么對于這一平面內(nèi)的 向量a, 實(shí)數(shù) 入i,入2,使a =入iei+入2氏.2基底

2、： 的向量ei, e2叫做表示這一平面內(nèi) 向量的一組基底.知識(shí)點(diǎn)二向量的正交分解思考一個(gè)放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G可分解為使物體沿斜面下滑的力Fi和使物體垂直作用于斜面的力F2.類比力的分解，平面內(nèi)任一向量能否用互相垂直的兩向量表示？梳理正交分解的含義當(dāng)ei,一個(gè)平面向量用一組基底ei, e2表示成a=的形式，我們稱它為向量a的e2所在直線互相時(shí)，這種分解也稱為向量 a的題型探究類型一對基底概念的理解例i如果ei, e2是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量， 那么以下說法中不正確的選項(xiàng)是 .填 序號(hào) 入ei+ 口 e2入，口 R可以表示平面a內(nèi)的所有向量; 對于平面 a內(nèi)任一向量a,使a=

3、X 8+ 口 e的實(shí)數(shù)對(入,口 )有無窮多個(gè)； 假設(shè)向量 X iei + 口 ©與 入2&+ 口於2共線，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)入，使得 入e + 口任=入(X 2ei+ 口 2e2)； 假設(shè)存在實(shí)數(shù) X , 口使得X ei + 口 e2= 0,貝U X= 口 = 0.反思與感悟 考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示出來.跟蹤訓(xùn)練1 ei,e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么以下各組向量中， 不能作為一組基底的序號(hào)是.1ei+ e2, ei e2； 3 ei 2e2,4e2

4、 6ei；ei + 2e2,e2+2ei；e2,ei+e2；2eie2,ei5i護(hù).類型二 用基底表示向量例2如下圖，在？ABCDKE F分別是BC DC邊上的中點(diǎn)，假設(shè) XB= a , AD= b,試以a ,b為基底表示DE BF引申探究假設(shè)本例中其他條件不變，設(shè) DE= a, BF= b,試以a, b為基底表示AB AD反思與感悟 將不共線的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一種是利用向量的線性 運(yùn)算及法那么對所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基 底表示向量的唯一性求解.跟蹤訓(xùn)練2 如下圖,在厶AO沖,OA= a , OB= b , M N分別是邊 OA

5、 0B±的點(diǎn)，且0M= ia , 0N= |b ,設(shè)AN與BM相交于點(diǎn)P,用基底a , b表示OP類型三平面向量根本定理的應(yīng)用例3 在梯形 ABCD中， AB/ CD AB= 2CD M N分別為 CD, BC的中點(diǎn)，假設(shè) 也 入MM-口 AN求入+ 口的值.反思與感悟 當(dāng)直接利用基底表示向量比擬困難時(shí)，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用條件及相關(guān)結(jié)論， 從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量 一般需 建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式 ，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)， 建立方程或方程組， 解方程或方 程組即得.跟蹤訓(xùn)練3向量ei, e2是平面a內(nèi)所有向量的一組基底，且 a= ei

6、+ e2, b= 3ei-2e2, c = 2ei+ 3e2，假設(shè) c =a+ 口 b入，口 R，試求 入，口 的值.當(dāng)堂訓(xùn)塚i .以下關(guān)于基底的說法中，正確的選項(xiàng)是 平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底； 基底中的向量可以是零向量； 平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的2. AD與 BE分別為 ABC的邊BC AC上的中線，且 AD= a, BE= b,那么BC=3.向量 ei,e2不共線，實(shí)數(shù) x,y滿足(2x 3y)ei+ (3x 4y)e= 6ei+ 3e2,那么 x =,y=.4如下圖，在正方形 ABCD中，設(shè) 辰a, Xt= b, BD=

7、c,那么當(dāng)以a, b為基底時(shí)，屁:可表示為，當(dāng)以a, c為基底時(shí)，AC可表示為.5.在梯形 ABCDh AB/ DC且 AB= 2CD E, F分別是 DC AB的中點(diǎn)，設(shè) AD= a, XB=b,試用a、b為基底表示DC, BC EF規(guī)律與方法-1 對基底的理解(1) 基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：基底是兩個(gè)不共線向量；基底的選擇是不唯一的平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件.(2) 零向量與任意向量共線,故不能作為基底.2 .準(zhǔn)確理解平面向量根本定理(1) 平面向量根本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形

8、式，且分解是唯一的.(2) 平面向量根本定理表達(dá)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決.合案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1 能.依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法那么.思考2不一定，當(dāng)a與ei共線時(shí)可以表示，否那么不能表示.梳理1不共線 任一 有且只有一對 2不共線 所有知識(shí)點(diǎn)二思考能，互相垂直的兩向量可以作為一組基底.梳理入iei +入2e2分解垂直正交分解題型探究例1跟蹤訓(xùn)練1例2解四邊形ABCD是平行四邊形，E, F分別是BC DC邊上的中點(diǎn), KD= BC= 2BE, BA= 2d= 2§ft 1 t 1t 1

9、 t1 t1- BE -AD -b, CF=二BA= ：AB=二a.22 222 Se=陥 XB+ Be=Be=b + a+ 2»= a qb,引申探究解取CF的中點(diǎn)G,連結(jié)EG E、G分別為BC CF的中點(diǎn), EG=2bf=尹 SG= Se+ Eg= a+2b.=一 a+3 t又 AD= BceJFt FC Bft 1dc Bft 2Kbf f 1 4224 AD= BO b+ 2(3a+ 3b) =3a+3b.跟蹤訓(xùn)練 2 解 0F= OMT MR OF=ONF NF? 設(shè)fR= miMlB fF= nlA 貝y fF=flT mM= 3oAf m( SB-SM1 1 1=

10、67;a+ m(b 3a)=尹m)a T nb,10P= ONT nlNAF 2血 n( 0 fN1 1 1=qb+ n( a，b)=尹n)b T na.1n= 5， a, b不共線,1 m = n,2m= 5.o 1 20F= 5aT 5b?例3解如下圖，連結(jié)MN并延長交AB的延長線于點(diǎn)T,由易得 ab= 4at,所以，4AT= AB=入 AMt 口 AN,即AT= 5 入0t5 口AN5544554因?yàn)門, M N二點(diǎn)共線，所以-XT (1 = 1,所以入T 口 =.445跟蹤訓(xùn)練 3 解 將 a= eT e2與 b= 3e1 2®代入 c=入 aT 1 b,得 c=入(eT e2)T i(3e2e2) = ( Xt 3 1)8+ (入一2 i) e2.因?yàn)?/p>