全國高中物理競賽難題

1、四、（20分）某些非電磁量的測(cè)量是可以通過一些相應(yīng)的裝置轉(zhuǎn)化為電磁量來測(cè)量的。一平板電容器的兩個(gè)極扳豎直放置在光滑的水平平臺(tái)上，極板的面積為，極板間的距離為。極板1固定不動(dòng)，與周圍絕緣；極板2接地，且可在水平平臺(tái)上滑動(dòng)并始終與極板1保持平行。極板2的兩個(gè)側(cè)邊與勁度系數(shù)為、自然長度為的兩個(gè)完全相同的彈簧相連，兩彈簧的另一端固定圖預(yù)17-4-1是這一裝置的俯視圖先將電容器充電至電壓后即與電源斷開，再在極板2的右側(cè)的整個(gè)表面上施以均勻的向左的待測(cè)壓強(qiáng)；使兩極板之間的距離發(fā)生微小的變化，如圖預(yù)17-4-2所示。測(cè)得此時(shí)電容器的電壓改變量為。設(shè)作用在電容器極板2上的靜電作用力不致引起彈簧的可測(cè)量到的形變

2、，試求待測(cè)壓強(qiáng)。五、（20分）如圖預(yù)17-5-1所示，在正方形導(dǎo)線回路所圍的區(qū)域內(nèi)分布有方向垂直于回路平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間以恒定的變化率增大，回路中的感應(yīng)電流為已知、兩邊的電阻皆為零；邊的電阻，邊的電阻。 1試求兩點(diǎn)間的電壓、兩點(diǎn)間的電壓、兩點(diǎn)間的電壓、兩點(diǎn)間的電壓。 2若一內(nèi)阻可視為無限大的電壓表V位于正方形導(dǎo)線回路所在的平面內(nèi)，其正負(fù)端與連線位置分別如圖預(yù)17-5-2、圖預(yù)17-5-3和圖預(yù)17-5-4所示，求三種情況下電壓表的讀數(shù)、。 六、（20分）絕熱容器經(jīng)一閥門與另一容積比的容積大得很多的絕熱容器相連。開始時(shí)閥門關(guān)閉，兩容器中盛有同種理想氣體，溫度均為30，中氣體的壓

3、強(qiáng)為中的2倍?，F(xiàn)將閥門緩慢打開，直至壓強(qiáng)相等時(shí)關(guān)閉。問此時(shí)容器中氣體的溫度為多少？假設(shè)在打開到關(guān)閉閥門的過程中處在中的氣體與處在中的氣體之間無熱交換已知每摩爾該氣體的內(nèi)能為，式中為普適氣體恒量，是熱力學(xué)溫度七、（20分）當(dāng)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)距離個(gè)質(zhì)量為、半徑為的質(zhì)量均勻分布的致密天體中心的距離為() 時(shí)，其引力勢(shì)能為，其中為萬有引力常量設(shè)致密天體是中子星，其半徑，質(zhì)量（，為太陽的質(zhì)量) 11Kg的物質(zhì)從無限遠(yuǎn)處被吸引到中子星的表面時(shí)所釋放的引力勢(shì)能為多少? 2在氫核聚變反應(yīng)中，若參加核反應(yīng)的原料的質(zhì)量為，則反應(yīng)中的質(zhì)量虧損為0.0072 ，問1kg的原料通過核聚變提供的能量與第1問中所釋放的引力勢(shì)能

4、之比是多少?3天文學(xué)家認(rèn)為：脈沖星是旋轉(zhuǎn)的中子星，中子星的電磁輻射是連續(xù)的，沿其磁軸方向最強(qiáng)，磁軸與中子星的自轉(zhuǎn)軸方向有一夾角（如圖預(yù)17-7所示），在地球上的接收器所接收到的一連串周期出現(xiàn)的脈沖是脈沖星的電磁輻射。試由上述看法估算地球上接收到的兩個(gè)脈沖之間的時(shí)間間隔的下限八、（20分）如圖預(yù)17-8所示，在水平桌面上放有長木板，上右端是固定擋板，在上左端和中點(diǎn)處各放有小物塊和，、的尺寸以及的厚度皆可忽略不計(jì)，、之間和、之間的距離皆為。設(shè)木板與桌面之間無摩擦，、之間和、之間的靜摩擦因數(shù)及滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為；、（連同擋板）的質(zhì)量相同開始時(shí)，和靜止，以某一初速度向右運(yùn)動(dòng)試問下列情況是否能發(fā)生？要求定

5、量求出能發(fā)生這些情況時(shí)物塊的初速度應(yīng)滿足的條件，或定量說明不能發(fā)生的理由（1）物塊與發(fā)生碰撞；（2）物塊與發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與擋板發(fā)生碰撞；（3）物塊與擋板發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與在木板上再發(fā)生碰撞；（4）物塊從木板上掉下來；（5）物塊從木板上掉下來第十七屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題參考解答一、參考解答四、參考解答因電容器充電后與電源斷開，極板上的電量保持不變，故兩板之間的電壓應(yīng)與其電容成反比；而平板電容器的電容又與極板間的距離成反比；故平板電容器的兩板之間的電壓與距離成正比，即 （1）式中為比例系數(shù)。極板2受壓強(qiáng)作用而向左移動(dòng)，并使彈簧變形。設(shè)達(dá)到平衡時(shí)，極板2 向左移

6、動(dòng)的距離為，電容器的電壓減少了，則有 （2）由（1）與（2）式得 （3）極板2移動(dòng)后，連接極板2的彈簧偏離其原來位置角，彈簧伸長了，如圖預(yù)解17-4所示，彈簧的彈力在垂直于極板的方向上的分量與加在極板2上的壓力平衡，即有 （4）因?yàn)槭切〗?，由幾何關(guān)系知 （5）解（3）、（4）、（5）式得 （6）五、參考解答1. 設(shè)回路中的總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，根據(jù)楞次定律可知，電路中的電流沿逆時(shí)針方向，按歐姆定律有 （1）由對(duì)稱性可知，正方形回路每條邊上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相等，設(shè)為，等效電路如圖預(yù)解17-5-1所示。有 （2）根據(jù)含源電路歐姆定律，并代入數(shù)值得 （3） （4） （5） （6）2. 三種情況下的等效電路分別

7、如圖預(yù)解17-5-2、17-5-3、17-5-4。對(duì)圖預(yù)解17-5-2中的回路，因磁通量變化率為零，回路中的總電動(dòng)勢(shì)為零，這表明連接兩端的電壓表支路亦為含源電路，電壓表的讀數(shù)等于由正端（）到負(fù)端（一）流過電壓表的電流乘以電壓表的內(nèi)阻，因阻值為無限大，趨近于零（但為有限值），故得 解得 （7）同理，如圖預(yù)解17-5-3所示，回路的總電動(dòng)勢(shì)為，故有 （8）解得 （9）代入數(shù)據(jù)得 （10）如圖預(yù)解17-5-4所示，回路的總電動(dòng)勢(shì)為零，而邊中的電阻又為零，故有 （11）六、參考解答設(shè)氣體的摩爾質(zhì)量為，容器的體積為，閥門打開前，其中氣體的質(zhì)量為。壓強(qiáng)為，溫度為。由 得 （1）因?yàn)槿萜骱艽螅栽陬}中所述

8、的過程中，容器中氣體的壓強(qiáng)和溫度皆可視為不變。根據(jù)題意，打開閥門又關(guān)閉后，中氣體的壓強(qiáng)變?yōu)?，若其溫度為，質(zhì)量為，則有 （2）進(jìn)入容器中的氣體的質(zhì)量為 （3）設(shè)這些氣體處在容器中時(shí)所占的體積為，則 （4）因?yàn)橹袣怏w的壓強(qiáng)和溫度皆可視為不變，為把這些氣體壓入容器，容器中其他氣體對(duì)這些氣體做的功為 （5）由（3）、（4）、（5）式得 （6）容器中氣體內(nèi)能的變化為 （7）因?yàn)榕c外界沒有熱交換，根據(jù)熱力學(xué)第一定律有 （8）由（2）、（6）、（7）和（8）式得 （9）結(jié)果為 七、參考解答1. 根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)量為的物質(zhì)從無限遠(yuǎn)處被吸引到中子星的表面時(shí)所釋放的引力勢(shì)能應(yīng)等于對(duì)應(yīng)始末位置的引力勢(shì)能的改變，

9、故有 （1）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 （2）2. 在氫核聚變反應(yīng)中，每千克質(zhì)量的核反應(yīng)原料提供的能量為 （3）所求能量比為 （4）3根據(jù)題意，可知接收到的兩個(gè)脈沖之間的時(shí)間間隔即為中子星的自轉(zhuǎn)周期，中子星做高速自轉(zhuǎn)時(shí)，位于赤道處質(zhì)量為的中子星質(zhì)元所需的向心力不能超過對(duì)應(yīng)的萬有引力，否則將會(huì)因不能保持勻速圓周運(yùn)動(dòng)而使中子星破裂，因此有 （5）式中 （6）為中子星的自轉(zhuǎn)角速度，為中子星的自轉(zhuǎn)周期由（5）、（6）式得到 （7）代入數(shù)據(jù)得 （8）故時(shí)間間隔的下限為八、參考解答1. 以表示物塊、和木板的質(zhì)量，當(dāng)物塊以初速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊受到木板施加的大小為的滑動(dòng)摩擦力而減速，木板則受到物塊施加的大小為的滑動(dòng)摩擦力

10、和物塊施加的大小為的摩擦力而做加速運(yùn)動(dòng)，物塊則因受木板施加的摩擦力作用而加速，設(shè)、三者的加速度分別為、和，則由牛頓第二定律，有 事實(shí)上在此題中，即、之間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由上式可得 （1）它小于最大靜摩擦力可見靜摩擦力使物塊、木板之間不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。若物塊剛好與物塊不發(fā)生碰撞，則物塊運(yùn)動(dòng)到物塊所在處時(shí)，與的速度大小相等因?yàn)槲飰K與木板的速度相等，所以此時(shí)三者的速度均相同，設(shè)為，由動(dòng)量守恒定律得 （2）在此過程中，設(shè)木板運(yùn)動(dòng)的路程為，則物塊運(yùn)動(dòng)的路程為，如圖預(yù)解17-8所示由動(dòng)能定理有 （3） （4）或者說，在此過程中整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變等于系統(tǒng)內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和（3）與（4

11、）式等號(hào)兩邊相加），即 （5）式中就是物塊相對(duì)木板運(yùn)動(dòng)的路程解（2）、（5）式，得 （6）即物塊的初速度時(shí)，剛好不與發(fā)生碰撞，若，則將與發(fā)生碰撞，故與發(fā)生碰撞的條件是 （7）2. 當(dāng)物塊的初速度滿足（7）式時(shí)，與將發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞的瞬間，、三者的速度分別為、和，則有 （8）在物塊、發(fā)生碰撞的極短時(shí)間內(nèi)，木板對(duì)它們的摩擦力的沖量非常小，可忽略不計(jì)。故在碰撞過程中，與構(gòu)成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，而木板的速度保持不變因?yàn)槲飰K、間的碰撞是彈性的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，又因?yàn)橘|(zhì)量相等，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可以證明（證明從略），碰撞前后、交換速度，若碰撞剛結(jié)束時(shí)，、三者的速度分別為、和，則有 由（8）、（9）式可

12、知，物塊與木板速度相等，保持相對(duì)靜止，而相對(duì)于、向右運(yùn)動(dòng)，以后發(fā)生的過程相當(dāng)于第1問中所進(jìn)行的延續(xù)，由物塊替換繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)。若物塊剛好與擋板不發(fā)生碰撞，則物塊以速度從板板的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到擋板所在處時(shí)，與的速度相等因與的速度大小是相等的，故、三者的速度相等，設(shè)此時(shí)三者的速度為根據(jù)動(dòng)量守恒定律有 （10）以初速度開始運(yùn)動(dòng)，接著與發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后物塊相對(duì)木板靜止，到達(dá)所在處這一整個(gè)過程中，先是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程為，接著是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程為，整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變，類似于上面第1問解答中（5）式的說法等于系統(tǒng)內(nèi)部相互問的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即 （11）解（10）、（11）兩式得 （12）即物塊的初速度時(shí)

13、，與碰撞，但與剛好不發(fā)生碰撞，若，就能使與發(fā)生碰撞，故與碰撞后，物塊與擋板發(fā)生碰撞的條件是 （13）3. 若物塊的初速度滿足條件（13）式，則在、發(fā)生碰撞后，將與擋板發(fā)生碰撞，設(shè)在碰撞前瞬間，、三者的速度分別為、和，則有 （14）與碰撞后的瞬間，、三者的速度分別為、和，則仍類似于第2問解答中（9）的道理，有 （15）由（14）、（15）式可知與剛碰撞后，物塊與的速度相等，都小于木板的速度，即 （16）在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，木板以較大的加速度向右做減速運(yùn)動(dòng)，而物塊和以相同的較小的加速度向右做加速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小分別為 （17）加速過程將持續(xù)到或者和與的速度相同，三者以相同速度向右做勻速運(yùn)動(dòng)，或者

14、木塊從木板上掉了下來。因此物塊與在木板上不可能再發(fā)生碰撞。4. 若恰好沒從木板上掉下來，即到達(dá)的左端時(shí)的速度變?yōu)榕c相同，這時(shí)三者的速度皆相同，以表示，由動(dòng)量守恒有 （18）從以初速度在木板的左端開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過與相碰，直到剛沒從木板的左端掉下來，這一整個(gè)過程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是相對(duì)的路程為；接著相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也是；與碰后直到剛沒從木板上掉下來，與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也皆為整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變應(yīng)等于內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即 （19）由（18）、（19）兩式，得 （20）即當(dāng)物塊的初速度時(shí)，剛好不會(huì)從木板上掉下若，則將從木板上掉下，故從上掉下的條件是 （21）5. 若物塊的初速度滿足條件（21）式，則將從木板上掉下來，設(shè)剛要從木板上掉下來時(shí)，、三者的速度分別為、和，