泛函分析習(xí)題答案第十章習(xí)題答案ppt課件

1、第十章第十章 全延續(xù)線性算子全延續(xù)線性算子.: . 1212121必必是是全全連連續(xù)續(xù)的的則則中中有有一一個(gè)個(gè)是是有有限限維維的的，、：如如果果為為有有界界線線性性算算子子，試試證證是是賦賦范范線線性性空空間間，、設(shè)設(shè)TEEEETEE.)(212是是全全連連續(xù)續(xù)的的緊緊集集，所所以以中中的的有有界界集集，從從而而是是列列是是有有界界，所所以以中中的的有有界界集集，因因?yàn)闉闉闉槭鞘怯杏邢尴蘧S維的的，設(shè)設(shè)TEMTTEME的的有有界界線線性性算算子子）可可看看作作（是是全全連連續(xù)續(xù)的的，由由前前段段所所證證，的的象象空空間間既既是是有有限限維維的的的的有有限限維維子子空空間間，是是是是線線性性算算子

2、子，故故是是有有限限維維的的，因因?yàn)闉楫?dāng)當(dāng))(.)(112211ETETTTEEETTE .:Banach . 2不不是是全全連連續(xù)續(xù)的的則則），為為恒恒同同算算子子，（即即空空間間，是是無無限限維維的的設(shè)設(shè)IExxIxEEIE .)(不不是是全全連連續(xù)續(xù)的的故故，不不是是列列緊緊集集，又又中中單單位位球球是是無無限限維維的的，故故因因?yàn)闉镮BBIBEE .:Banach. 3集集中中有有界界閉閉集集映映成成有有界界閉閉把把為為全全連連續(xù)續(xù)算算子子，試試證證：空空間間，為為設(shè)設(shè)EAIEEAE .)()(*lim)(lim*)( * )(*), 2 , 1( )( .)( )(是是閉閉集集，故故

3、所所以以，故故是是連連續(xù)續(xù)的的，現(xiàn)現(xiàn)在在為為閉閉集集，故故，因因?yàn)闉?，收收斂斂，記記知知：則則由由，設(shè)設(shè)有有收收斂斂子子列列為為有有界界點(diǎn)點(diǎn)列列，故故全全連連續(xù)續(xù)，因因?yàn)闉?，使使，取取，設(shè)設(shè)中中有有界界集集是是可可知知：由由中中有有界界集集，中中列列緊緊集集，從從而而是是為為全全連連續(xù)續(xù)，故故中中有有界界閉閉集集，為為設(shè)設(shè)MAIMAIyyyxAIxAIAIMxMMxxzyxzyAzyxzAxAxAxxAAxxAIyMxyynMAIyEMAIAxxAxxEEMAAEMkkkkkkkkknknknnnnnnnnnnnnnnn .:Banach . 4是是全全連連續(xù)續(xù)的的則則序序列列映映成成強(qiáng)強(qiáng)收收

4、斂斂序序列列，中中弱弱收收斂斂把把為為有有界界線線性性算算子子，且且空空間間，為為自自反反設(shè)設(shè)AEAEEAE. 是是全全連連續(xù)續(xù)的的都都有有收收斂斂子子列列，故故，有有界界點(diǎn)點(diǎn)列列中中任任一一中中收收斂斂，這這說說明明對(duì)對(duì)在在，依依條條件件都都有有弱弱收收斂斂子子列列中中任任一一有有界界點(diǎn)點(diǎn)列列是是局局部部弱弱列列緊緊的的，即即對(duì)對(duì)是是自自反反空空間間，因因?yàn)闉锳AxxEEAxxxEEEnnnnnkk. , 2 , 1 )()( . 5121,2是是全全連連續(xù)續(xù)的的證證明明，其其中中：設(shè)設(shè)AialxxAajjijiiijiij 2221222/11,221,2112121211222)()(,

5、 2 , 1 :)()(: 0 ,1 )()(lxAllAixllAnjninjianaAAxaaaAxAxylxinnnjjnijiiinnijijnijjiijjiijijjjijijjijiiii 是是全全連連續(xù)續(xù)算算子子，又又的的有有限限維維子子空空間間，故故是是則則然然后后定定義義，或或，；，令令現(xiàn)現(xiàn)在在，對(duì)對(duì)自自然然數(shù)數(shù)是是有有界界線線性性算算子子，且且所所以以，則則，設(shè)設(shè) . 5.)( 0 )()(2/111211221121122112112112211211211212112121211212222是是全全連連續(xù)續(xù)的的故故所所以以是是全全連連續(xù)續(xù)算算子子，又又的的有有限限維維

6、子子空空間間，故故是是則則AnaaAAxaaxaaaxaaaaaaxAAxlxAllAninjijijijnninjijijijnijijninjijnijijnijijinjijnijjjijninjjnjijnijjijninjjijninn .),1,21,()(: . 621222是是全全連連續(xù)續(xù)的的試試證證：，由由下下式式定定義義：AnAxlxllAni .)( 011 11), 0 , 0(11),21,11, 0 , 0()(:), 0 ,1,21,(),( :2121222212122是全連續(xù)的是全連續(xù)的所以所以所以所以又又續(xù)的，續(xù)的，是有限維的，故是全連是有限維的，故是全連則

7、則，：令令A(yù)nnAAxnnnnxAAxlxllAnllAnnnnnninnn .*5 . 7AA的的共共軛軛線線性性算算子子中中試試求求題題. ) () :*)()(1221111222確定確定（由由的共軛算子的共軛算子故故由由，的共軛空間是的共軛空間是因?yàn)橐驗(yàn)?ijijjijijijiijjijiiallAAaalyxll .),(),()( )(),()( ),(| ),(|Lebesgue),( . 822222上上的的全全連連續(xù)續(xù)線線性性算算子子是是否否問問：上上的的線線性性算算子子作作，可可積積函函數(shù)數(shù)，且且是是全全平平面面上上設(shè)設(shè) LALxfdyyfyxKxAfALMdxdyyxK

8、yxK.)(0| ),(),(| .),(),(),()()()(),()()(),()(),( )(),()( ),()( ),(),(:),(),(),( 0),(),(,2/12222222222上上的的特特征征函函數(shù)數(shù)）為為是是全全連連續(xù)續(xù)的的（故故又又的的線線性性算算子子是是全全連連續(xù)續(xù)的的作作為為所所以以的的，的的線線性性算算子子也也是是全全連連續(xù)續(xù)而而作作為為性性算算子子是是全全連連續(xù)續(xù)的的，從從上上的的線線作作為為上上的的平平方方可可積積函函數(shù)數(shù)，故故是是因因?yàn)闉?，所所定定義義的的線線性性算算子子考考慮慮，令令記記nnnnnnnnnnnnInnInnnnnnnnnnnIxxAy

9、xKyxKAALLALILILILAIIyxKdyyfyxyxKdyyfyxKdyyfyxKxfALxfLLAyxKIIyxIIyxyxKyxKnnInn ., 2 , 1 )01)(, 0 , 1 , 0 , 0(| . 92121,2上上的的全全連連續(xù)續(xù)線線性性算算子子是是證證明明上上的的線線性性算算子子，為為，其其余余為為個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)為為第第，記記設(shè)設(shè)lAkeaAelAneajjjkknjiij .5題題仿照第仿照第., 2 , 1 1 .102122上上的的全全連連續(xù)續(xù)線線性性算算子子是是證證明明上上的的線線性性算算子子，是是如如上上題題，中中取取在在lUkekUelUelkkk .6

10、題題仿照第仿照第.Banach .1121212121是是數(shù)數(shù)、也也是是全全連連續(xù)續(xù)的的，其其中中證證明明為為全全連連續(xù)續(xù)線線性性算算子子，：、空空間間，為為兩兩個(gè)個(gè)、設(shè)設(shè) TTEETTEE . 212122122111是是全全連連續(xù)續(xù)的的中中有有收收斂斂子子列列，故故中中收收斂斂列列，即即是是，于于是是收收斂斂子子列列中中也也有有，中中有有收收斂斂子子列列中中有有界界點(diǎn)點(diǎn)列列，則則為為設(shè)設(shè)TTxTxTExTxTxTxTxTxTExnnnnnnnnnjkjkjkkk .:Banach .12311221322211321也也是是全全連連續(xù)續(xù)的的則則中中有有一一個(gè)個(gè)是是全全連連續(xù)續(xù)的的，、：如如

11、果果為為有有界界線線性性算算子子，證證明明：，空空間間，是是、設(shè)設(shè)EETTTTEETEETEEE.12212211111是是全全連連續(xù)續(xù)的的，故故是是連連續(xù)續(xù)的的，故故，再再由由設(shè)設(shè)，有有收收斂斂子子列列，中中有有界界點(diǎn)點(diǎn)列列是是全全連連續(xù)續(xù)的的，則則對(duì)對(duì)于于設(shè)設(shè)TTyTxTTTyxTxTxTxETkkknnnnn. 12122112是是全全連連續(xù)續(xù)的的有有收收斂斂子子列列，所所以以故故中中有有界界點(diǎn)點(diǎn)列列，是是，中中有有界界點(diǎn)點(diǎn)列列是是全全連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，對(duì)對(duì)于于當(dāng)當(dāng)TTxTTExTxETnnn.)(: .1311是是無無界界的的，則則有有逆逆算算子子證證明明：如如果果為為全全連連續(xù)續(xù)線線性性

12、算算子子，間間，是是無無窮窮維維的的賦賦范范線線性性空空設(shè)設(shè) TEETTTEETE.:1111是是無無界界的的此此不不可可能能是是全全連連續(xù)續(xù)的的，因因是是無無窮窮維維的的，而而是是全全連連續(xù)續(xù)的的，但但有有界界，則則如如果果 TIEITTEETTT.|:.14可可少少的的是是全全連連續(xù)續(xù)的的假假定定是是必必不不的的有有限限維維子子空空間間”中中，是是為為全全連連續(xù)續(xù)算算子子，則則舉舉例例說說明明，在在命命題題“設(shè)設(shè)AExAxExNEEA .22不不是是有有限限維維的的，則則，取取lNIAlE .1 , 0)(1 , 0)()( .16沒沒有有特特征征值值，且且證證明明：界界的的，上上的的線線

13、性性算算子子，它它是是有有為為，設(shè)設(shè)AACAttxtAx .)1 , 0( 0)()(0)(0)()()()(沒沒有有特特征征值值，所所以以是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，故故，但但時(shí)時(shí)，恒恒有有，從從而而當(dāng)當(dāng)，故故，則則若若AttxtxtxttxttxttxxAx .)1()21, 0()()(max)()(max)()()(11 , 0)( 20)( ,1 , 0,)21, 0()1( )()( )()()()(1 , 01 , 01 , 0:)(1 , 0.1 , 01 , 0)(1011111的的譜譜點(diǎn)點(diǎn)是是矛矛盾盾，所所以以的的任任意意性性，即即知知上上式式與與由由，且且，則則當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)令令，即

14、即，的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)為為，記記任任取取從從而而有有：所所以以，是是非非零零的的有有界界線線性性算算子子的的正正則則值值，則則是是如如果果的的正正則則值值不不是是，先先證證下下證證AtxttxttxttxxIAxCtxItItababtabtxbaIbaIIxIAxIAxIAIAxIAIAxCxCCIAAAAbtat .1 , 0)( .1 , 0)1 , 0)( )()()()()(1 , 0)()(1)(1 , 0)(.1 , 01 , 0:1 , 0 AAIACCIAtxtyttyIACtytxttyCtxCCIAAA 結(jié)結(jié)合合上上述述的的結(jié)結(jié)果果即即知知：的的正正則則值值是是所所以以

15、存存在在有有界界逆逆，由由逆逆算算子子定定理理，所所以以，且且，則則，取取設(shè)設(shè)是是滿滿映映射射故故只只須須證證明明：的的特特征征值值，不不是是的的正正則則值值，因因?yàn)闉槭鞘菚r(shí)時(shí)，再再證證當(dāng)當(dāng).16.0)()(0)(0)()()()(.的的特特征征值值不不是是所所以以，連連續(xù)續(xù)，故故，因因?yàn)闉闀r(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)，于于是是：，則則若若沒沒有有特特征征值值首首先先證證明明AtxtxtxetxetxtxexAxAititit .112 , 0)()(1)(2 , 0)(12 , 0)(1的的正正則則值值是是有有有有界界逆逆，所所以以由由逆逆算算子子定定理理，映映射射，上上的的是是，所所以以且且，則則時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)

16、AIACIAtxtxeIACtxeCtxitit .1|)(0)(0max)()()( 0)(,1)(020)2 , 0(1000000000 AAIAxIAeetxeexIAtxtttxtxtteitittttititit的的譜譜點(diǎn)點(diǎn)，所所以以是是即即沒沒有有有有界界逆逆，由由此此可可知知，時(shí)時(shí)，所所以以當(dāng)當(dāng)于于是是，時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng)滿滿足足：，可可取取連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)此此，使使，任任取取時(shí)時(shí)，設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)1 |)()()( : 2 , 02 , 0 .17 AtxetAxCCAit證證明明：復(fù)復(fù)：復(fù)復(fù)設(shè)設(shè)).(),()(: .1832222AAxlxllAi ，試求，試求，：設(shè)設(shè) .1 |)

17、()(.1 1.), 1(),(), 1(10.00), 0 , 0 , 1(0323232 AAAAAxAxxAAxx是是閉閉集集，故故但但的的正正則則值值是是時(shí)時(shí)，故故當(dāng)當(dāng)，又又因因?yàn)闉榈牡奶靥卣髡髦抵凳鞘撬砸?，則則，取取當(dāng)當(dāng)?shù)牡淖V譜點(diǎn)點(diǎn)是是，所所以以，則則時(shí)時(shí)，取取當(dāng)當(dāng).)( )1(11|)(), 0(),(: .1911212212 IARRAAAxlxAl 其中其中時(shí)，時(shí)，且當(dāng)，且當(dāng)沒有特征值，沒有特征值，證明：證明：，中定義算子中定義算子在在.0), 2 , 1( 0),(), 0( ),(212121沒沒有有特特征征值值，所所以以，即即從從而而必必有有，則則滿滿足足若若Axi

18、xAxxi .1|)(1|)()()()1( 11)1(), 0 , 0 , 1()()()()(), 0 , 0 , 1( )1( )1( )()().(1)(11 21122211112 AAAAlixIAllIAxlIAxiIAAAAlxxAxiiiiiiiiiii，從從而而是是閉閉集集，故故又又因因?yàn)闉榈牡淖V譜點(diǎn)點(diǎn)，是是矛矛盾盾，因因此此，此此與與于于是是，得得：由由，使使，則則必必有有若若，下下面面證證明明，則則設(shè)設(shè)時(shí)時(shí)，下下面面證證明明，時(shí)時(shí)，從從而而，故故，因因?yàn)闉?)1(1 .191 R時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 171 |2)1()11( |2|1|2)11(|11|)( 1 , 1, 2

19、, 10 0, 2 , 1 1)( )7( 11 1. 1 )6( )( )5()4()5( )()( )()()()3()4( )()3( )()(inf)2( )()()()(11 122111221112122211212121222111111111121112 ）即即得得，再再由由（由由此此可可知知且且則則，；滿滿足足：取取，所所以以時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)下下證證得得、結(jié)結(jié)合合，即即：所所以以，我我們們有有：再再由由，則則有有：令令時(shí)時(shí)，我我們們有有，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)nnnnxIAxninininlxAxxxAxxlxIAIAxxIAxIAxIAIAIAlxxxIAxIAxIAIAxIAIAxxlxn

20、iiiiiiiiiiiiiiiiiix.Banach .20的的特特征征值值次次方方根根中中至至少少有有一一個(gè)個(gè)是是的的得得特特征征值值，證證明明：為為上上的的有有界界線線性性算算子子，空空間間為為復(fù)復(fù)設(shè)設(shè)AnAEAn .00000, 2 , 1 )()(0)()( 0)( ,000011011211的的特特征征元元次次方方根根中中有有一一個(gè)個(gè)是是的的因因此此的的特特征征元元，的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是，于于是是，而而，使使故故必必有有某某個(gè)個(gè)，則則因因的的特特征征元元；如如果果是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于，則則得得若若，令令，即即則則的的特特征征元元，的的一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于為為次次方方根根，個(gè)個(gè)的的為為設(shè)設(shè)

21、AnAxxxixxxxnixIAIAIAxxIAIAIAxIAAExnniiiinnnniiinnnn .0 )( Banach .2100的的正正則則值值也也是是，大大的的的的正正則則值值，那那么么對(duì)對(duì)充充分分是是證證明明：若若，上上的的有有界界線線性性算算子子，空空間間為為設(shè)設(shè)nnnAnAAAEAEA .)()()(1)( )()(00001010101000的的正正則則值值是是充充分分大大時(shí)時(shí)，了了當(dāng)當(dāng)也也有有有有界界逆逆，這這就就證證明明有有有有界界逆逆，從從而而于于是是充充分分大大時(shí)時(shí)，由由條條件件，當(dāng)當(dāng)，上上的的有有界界逆逆有有一一定定在在的的正正則則值值，故故是是nnnnnnAn

22、IAIAAAIAIIAAAIIAAAIAAAnIAEIAA .)()()()(Banach .221 ITRRRRRTETE ，其其中中證證明明、，設(shè)設(shè)空空間間，為為設(shè)設(shè) RRITITITITITITITIITITITITRR)()()()()()()()()()()()(11111111 ).()()()()()()()2 , 1( )(Banach.23212112211221TRTRTTTRTRTTTTTTiETEi ，證證明明設(shè)設(shè)，且且空空間間，為為設(shè)設(shè) )()()()()()()(1)()()()()1( )()()()()()()()()()(2121121121122112212

23、1112112112112111212TRTRTTITITTTTRTRTRTRTRTTRTTTITTTITITITITITITITTRTR ）可可寫寫成成從從而而（皆皆可可交交換換，與與，與與，與與可可交交換換，故故與與因因?yàn)闉?112121121)()()()( )(Banach .24 IAIAIAIAEAE 的正則值，證明：的正則值，證明：是是，空間，空間，是是設(shè)設(shè)111212112112)()()()( )()( IAIAIAIAIAIAIAIA 即即得得：由由.)(, 2 , 1), 2 , 1( :Banach .251的的正正則則值值也也是是，則則有有，使使對(duì)對(duì)所所有有，試試證證：如如果果存存在在正正數(shù)數(shù)一一列列正正則則值值，且且的的是是為為有有界界線線性性算算子子，空空間間，是是設(shè)設(shè)AMIAnMAnEEAEnnn .)()()()()()( )()(1), 2 , 1( )( 01111111111的的正正則則值值是是即即于于是是上上的的有有界界逆逆