傅里葉濾波器

1、第7章傅里葉變換鳥澆波器形狀中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)曾凡平http:/staffustcediLcn/billzengI第7章主耍內(nèi)容離散時間傅里葉變換確定濾波器的形狀以及它的特性， 本章訃論：1. 定義離散時間傅里葉變換2. 定義數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)3. 建立頻率響應(yīng)、傳輸函數(shù)、差分方程和脈沖響應(yīng)之間的 聯(lián)系4. 用離散時間傅里葉變換計算濾波器在正弦輸入時的輸出5. 確定數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)6. 建立模擬頻率和數(shù)字頻率的關(guān)系7說明極零點位置如何決定濾波器形狀8.研究一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)實例7.1傅里葉變換基礎(chǔ)濾波器的特性主要通過頻域的特性來描述。比如對濾 波器的分類，就是從濾波器對不同頻率輸

2、入信號的過 濾作用進行分類的。離散時間傅里葉變換(DTFT)是數(shù)字信號分析的一個工 具，相當(dāng)于模擬信號分析的傅里葉變換(本章未討 論)。 DTFT把信號或濾波器從時域變換到頻域，這主要是 為了研究信號或濾波器的頻率特性。像前面章節(jié)中介 紹的z變換一樣，用DTFT可使計算更容易。這一變換 主要用來分析濾波器形狀和信號頻譜。信號的頻譜及濾波器的頻率響應(yīng)對于信號而言，DTFT提供的信息隸島信號的 頻橋，頭于信號頻譜將在下一章中討論。對于敷g濾波器，DTFT得到的信息隸參濾波 器的頻卑枸拓(frequency response),它由兩 部分組成：幅庚響?zhàn)?magnitude response)和 相

3、侵響拓(phase response),這些將在7.3.2節(jié) 討論。幅£響?zhàn)耷⒊隽藶V波器的形狀，通過它 可以深入了解濾波器的工作情況。7.1.1務(wù)徽時間傅里葉變換DTFTDTFT的定義:X(Q)= xn-e-j,lQ 0:稱為數(shù)字頻率n=_s記為：X(Q)=Fxn相當(dāng)于Z變換式中的“嚴由于幺一丿"° = cos(7?Q) 一 j sin(wQ)故：X(Q)又可以寫成X(Q)=xn - (cos(z?Q) - j sin(nQ)逆離散時間傅里葉變換：由X(Q)計算x園的過程兀可二尸一1肚(0)=丄X(0)嚴dG2 7C 2 龍積分區(qū)間長度為2兀(積分上下限之差)數(shù)字

4、信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換打濾波器形狀71x(0的蠹丈從的定義知：同一數(shù) 字序列的龍0)的值取決于畫肓數(shù)字余弦cos仇0)或正 弦sin(n Q)"共振S也就是 逋，X何包含的正弦分量 頻率尊扌0龍0)取得最 ±lo見圖7.1 (P174) , 7.1 只考慮了龍0)的實數(shù)部 分。圖7.1(c)中較大的乘積，表明所 研究I劃詹號具有接近=0.1弧度 的數(shù)字頻率。數(shù)7信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變申咖叭111劇阪0255Cn(a)信號 j(n|-cas(/JX/9) cos(O.Il bm)換與濾波器形狀6換與濾波器形狀#'卿 |

5、1111時""""加4*>loos(0.05n/i)=0.2l 7 0n換與濾波器形狀#(b)與佰號K(O"nr)比牧滬呱l 2<|/rkos(0Jx/0-IS.4067(e)勺伯號cos(a2/m)比牧=RS】oXOQU咅 0)§換與濾波器形狀#換與濾波器形狀#圖7.1離散時間傅甲葉變換的信號“共ST換與濾波器形狀7DTFT的計算 DTFT看起來很恐怖，因為有無限項和要計算，但 工程實踐中的信號均為有限項，且一般借助計算機 來輔助分析，實際上并不可怕。 函數(shù)： Xomega =freqz(xnf 1, omega) O加

6、QgQ為頻率向量勸為所考察的信號數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換均濾波器形狀8DTFT舉例例7.1求圖7.2所示信號的 嗎 離散時間傅里葉變換。解：-只有4個非零采樣值 (n=0, 1, 2, 4)對變換 有貢獻，因而：00X(Q)二 Y二 2 e-yn71 二 一 8 一般情況下，DTFT是復(fù) 數(shù)值。數(shù)7信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換£j濾波器形狀87 12 DTFT的悄負1、線性性質(zhì)：滿足疊加原理2> 時延特性：尸命-() =幺一恥-Fh =X(Q)時域中加的延遲在頻域里引入一個復(fù)指數(shù)曠丿皿3、周期性由于-(。+2龍)X(Q + 2tt

7、)=X(O)所有的DTFT對于所有的0 每2兀重復(fù)一次，也 就是說，只需要考慮X( Q)在Q &0,2兀區(qū)間的特 性就行。7七瘢卑響盜及曳它形式數(shù)7信號處理某礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀11數(shù)7信號處理某礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀#NM£色嚴Y（o）= £加嚴xg） 左=0k=0濾波器的頻率響應(yīng):Hg =兔 + 答一皿b aNejNQ721頻率響應(yīng)和差分方程NM工似，£二® 恥幻七=0k=Q利用DTFT的時延特性得如何從差分方程 中別是咼通、 低通、帶通、帶 阻濾波？根據(jù)頻率響應(yīng)與 差分方程的關(guān) 系，

8、從幅度頻率 響應(yīng)圖判斷。數(shù)7信號處理某礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀#頻率響應(yīng)形式上和傳輸函數(shù) 相同。數(shù)7信號處理某礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀#例7.3濾波器的頻率響應(yīng)例7.3求如下差分方程所表示的濾波器的頻率響應(yīng)表達式：y n二- 085y n - 1 + 0.5% n 解：對每一項進行DTFT得：Y(Q) +O.85e" Y(Q) = O.5X(Q)提出公因式得：r(n)(l + O.85e -;n) = X(Q)(0.5)頻率響應(yīng)是：HZ - X(Q) - 1 +0.85e此式是復(fù)值。數(shù)7信號處理某礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變

9、換與濾波器形狀12例7.4濾波器的頻率響應(yīng)例7.4 求出與如下差分方程相對應(yīng)的頻率響應(yīng)：yn + 0.1yn 一 1 + 0.85y n -2 = xn - 0.3xn - 1解：容易確定系數(shù)為。0二1心=0.1,=0.85,60 = 13, = -0.3。由式(7.2),濾波器的頻率 響應(yīng)為：中小_ bo +山丁應(yīng)+以+際龍(C)a0 + a e + a2e "2n + + aNe "An丿吏_二 1+0. leTT0.85Z7J5S7.2.2頻率響應(yīng)旳和傳輸函數(shù)Hy(z)X(z)H(Q)二數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換丄J濾波器形狀14H(z)=H

10、(Q)二H»H°例7.5 求濾波器的頻率響應(yīng)，它的傳輸函數(shù)是:1 - 02z-21 + 05z" + 0.9z2解：頻率響應(yīng)為:1 - 02e-m _1 + 05e" + 09廠加數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換丄J濾波器形狀157.2.3頻率響應(yīng)旳與脈沖響應(yīng)力加丿CO由于H(z)二Z/2pi=工燦刃盲一"H-CQ00=>H(Q)=工燦刃占皿二尸燦刃H=00由此可見，差分方程、傳輸函數(shù)、脈沖響應(yīng)和頻率響 應(yīng)是可以互換的，它們包含了濾波器的相同的信息， 都可以用來完整地描述濾波器的特性。由于頻率響應(yīng) 可以從Z傳遞函數(shù)直接

11、導(dǎo)出，所以認為有三種主要的 模型。例7.6脈沖響應(yīng)與頻率響應(yīng)例7.6 數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)為：h n 二 53 0.23 n - 2 - 0.043幾一 3求濾波器的頻率響應(yīng)的表達式。解:_頻率響應(yīng)是脈沖響應(yīng)的DTFT,見式(7.3),因而得：H(Q) = 2 hne = 5 - e +02廠皿-0.04e7.3頻率響應(yīng)和濾波器形狀穩(wěn)定的濾波器的暫態(tài)響應(yīng)會收斂于零，穩(wěn)態(tài)分量是 和輸入具有相同運動特征的信號。當(dāng)輸入為正弦信 號，輸出也是同頻率的正弦信號。從傳函出發(fā)會更好理解，也更有普遍性。已知輸入為班“= /sin(“Qo)且H(z)穩(wěn)定 貝|： 穩(wěn)態(tài)輸出為同頻率的正弦信號證明過程如下： X(z

12、) = A ,山°。 X(z)的極點為于丿希-2cosQ0 z + 1輸出歹網(wǎng)=ZTH(z)X(z)二 Z-Az sin 00 (Z-嚴 )(Z Q”。)j由逆Z變換的留數(shù)方法，可以求出尹網(wǎng)的值yn =(H的極點決定的暫態(tài))+y兒閔:穩(wěn)態(tài)值 其中兒網(wǎng)取決于X(z)的極點/ H(z)sniQoz"4 H(z)sinQ0-zw+ z 嚴二=_丿。0_力曰(嚴仙00嚴“。0 _幺-丿。04H(Qa)sni0oQTg+幺-丿。0_Q丿。0A=二歸2曲0) 皿0 -H(ejn°) ejrn° 2j頻率響應(yīng)H(O) = H|一q =1H(嚴)丨2恥) e且有 |77

13、(-Q)| = |7/(Q)|0(Q) = 0(0)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換丄J濾波器形狀20令 Q = Qo貝I有日2皿)=H(Q°) =|H(嚴)=| H(G。) | Syssn = H(GJ | 臥蕩) ejnQ° - H(Q°) I -ejew -嚴 2j-丿(G(j +8(0°)1丿（加0+&（。0）=H-Ae zj=| H(Q0) | / sin(wQ0 + 6>(Q0)同理:xn = Acos(nQ0) => yssn = 7/(Q0) | -A-cos(wQ0 + 0(0°) =&

14、gt; xn = sin(nQ0 + Ox) yssn = H(G°) | -l-sin(nQ0 +(Q0) + )7.3頻率響應(yīng)和濾波器形狀（續(xù)）所以，濾波器對正弦信號的穩(wěn)態(tài)輸出為同頻率 的正弦信號，幅度和相位的變化取決于濾波器 （傳輸函數(shù)）對該頻率的頻率響應(yīng)。數(shù)7信號處理基礎(chǔ)（01114301）第7章傅里葉變換與濾波器形狀2273.1濾波器對正弦輸入的作用前提：假定濾波器是穩(wěn)定的3)帀廠gy(o)= H(0)x(Q)Jxn = 4 sin(刃0 + 仇)X(O)二 /Z伏=/ 嚴冷(0) =|刃(0) | 0心有時增益| 77(0) |用201og | H(G) |表示，單位為曲

15、yn = / | H(Q) | sin(0 + &(0) + 仇)可以證明，余弦信號 M"cosg°+a)的頻譜為禺。0)= 4兀昇見圖7.4 o在求逆傅里葉變換時，兀剛好消掉 T,所以為了簡便起見，兀因子被省掉。例7.7例7.8計算特定頻率的正弦輸入信號作用下，濾波器的輸出例7.7數(shù)字頻率為1.5弧度的余弦波通過濾波器，在此頻率下，濾波器增益為21 dB,相位 差為86。,如果輸入幅度為20,相位為12。，則輸出幅度和相位是多少？解：輸入簡式為20L12%這是余弦信號20cos(1.5“ + 12。)的縮寫。在1.5弧度處，濾波器增益 為-21 HB,但這個值不能

16、用于計算，必須用1(廠2冋二().089 1轉(zhuǎn)換成線性值。因為相位差 為86。,頻率響應(yīng)的簡式為0.089 1(86：o輸出是頻率響應(yīng)和輸入信號在傅里葉變換域的乘 積，即：*Q) = H(Q)X(Q) = (20 22)(0.089 1186) = 1.782,98°將簡式擴展，可得輸出信號為：yn = 1.782cos(1.5n + 98°)例7.8 對于二1()和72 = 20，求出上例輸出信號yn = 1.782cos( 1.5/1+ 98°)的值。 解：0轉(zhuǎn)換成弧度，等式變成：y n = 1.7X2cos( 1.5 + 0.544 4兀)可得 y10 =

17、-0.959 3 和 y20二 1.705 4°7.3.2幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)H(G) =|H(G)C)J/g)二| H(G) I或201og | H(G) I幅度響應(yīng)，幅頻特性 =相位特性，相頻特性表不在圖形上，稱為幅度、相頻特性圖。手工計算時，一般以兀/4為步長計算濾波器的 頻率響應(yīng)。見例7.9 (P181) next3ppt數(shù)7信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀25732幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)(續(xù)) H(Q)的特性：以2兀為周期 |H(-Q)|=|H(Q)|：偶函數(shù) 6 (-Q)=-0(Q)：奇函數(shù)只需繪制QWO,兀之間的特性，其它數(shù)字頻率的頻 率響應(yīng)可以推

18、斷岀來。另外，Q> 的頻率特性沒 有意義，因為采樣后的高頻信號會折返為0兀內(nèi) 的數(shù)字頻率(混鮎見彖)。用幅度的對數(shù)表示幅頻特性的優(yōu)點是可以表示很大 的增益范圍；有時數(shù)字頻率也用對數(shù)表示，可以表 示很寬的頻率范圍，尤其可以把低頻特性非常突出 的表現(xiàn)岀來(凸顯低額特僅)O數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀27例 7.10P1847)-50-60-70-800S訃o O-aEFOez§ 1508100500-50100-150(a)幅度響應(yīng)P2rt相位差：a2 radh3 rad解：a. 2 nd處的增益大約是-4dB,相位大約是- 70篤 準確值是-4

19、.4 dB和-66。3 rad處的增益大約是-43 dB,相位大約是8(匕 準確值是-42.9 dB和8巴：(b)相位響應(yīng)圖7.7例7.10的頻率響應(yīng)例7.11把數(shù)字信號%n=0.5cos（jn）加到數(shù)字濾波器上。濾波器的頻率響應(yīng)如圖7.8所 示，求其輸出信號。 ，解：輸入信號的頻率是7t/4 = 0.785 4 rad，在圖7.8中用一實線表示。在此頻率，濾波器增益 為17.4 dB或7.41。相位差為37.5%輸入兀5的簡式為0.5必，所以：r（n）= z/（n）x（n）=（7.4il37.5Q）（o.5l（r）= 3.7137.y做岀倍號為：EP)S=M竽-自3530252015/ /1

20、1 = 3.71cw十 37.5°jmku數(shù)字信號處理基礎(chǔ)（01114301）(a)（b）相位響應(yīng)IS 7.8例7.11的鍥率晌應(yīng)2910例 7.12P185例7.12 對例7.9中的系統(tǒng)，圖7.9分別畫出了增益、分貝增益對頻率的曲線，以及用弧度和 角度表示的相位差對頻率的曲線。根據(jù)上面的分析，對于數(shù)字頻率，只要考慮0兀的范圍。圖7.9(a)(i)是線性增益 與頻率的關(guān)系，它只是圖7.6(a)的重復(fù)，僅覆蓋了基本的頻率范圍。圖7.9(a)(ii)給 出了分貝增益與頻率的關(guān)系。圖7.9(b)(i)是相位差(弧度)與頻率的關(guān)系。圖7.9 (b)(ii)是相位差(度)與頻率的關(guān)系。增益曲線

21、比圖7.6(a)更清楚地表明，具有式 (7.6)所示頻率響應(yīng)的濾波器，相對來講，低頻信號較高頻信號更易通過。比較圖7.9(a)(i)與(ii)可以看出，變換到分貝對幅度響應(yīng)的形狀影響很大，但是從 弧度變換到角度，形狀并沒有變化，所以圖7.9(b)(1)與(ii)只是縱軸的單位不同。數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換打濾波器形狀30幅度響應(yīng)說明了濾波器的類型，如圖7.10 P187一CW 滋F(b) »j&圖7.10通用濾波器的頻率響應(yīng)例7.13 P186例7.13 畫出頻率響應(yīng)的曲線。H(Q)=1 - 0.3e-;n1 + 05宀解：表7.2給出了頻率響應(yīng)的

22、極坐標計算。頻率響應(yīng)曲線如圖7.11所示，表中的計算點在圖 上用三角表示，并用實線連接。準確的響應(yīng)用虛線表示，該幅度響應(yīng)表明濾波器為高通濾波器。H(SZ)I -0.3|0)+o3lo數(shù)字信號處理基礎(chǔ)（0買1/7(12)1創(chuàng)（弧度）20k«J/(n)HdB)0()(°)().466 70.001)0-6.61990.000 00.583 20.5185 4.683 I29.708 20.933 80.755 1-0.594843.264 31.67010.673 74.454 938.60172.60000.0000& 29950.0000表7.2例7.13的計算33

23、例7.14 P188例7.14濾波器的脈沖響應(yīng)為：hn = 81 n - 1.253n - 2(7.7)求該濾波器的頻率響應(yīng)并畫出曲線(線性增益、相位(度)。解：利用式(7.3),求得頻率響應(yīng)為：H(Q) = 1 - 1.25e"y2n計算的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)見表7.3,曲線如圖7.12所示。很明顯，式(7.7)所示脈沖響 應(yīng)的濾波器屬于帶通濾波器。數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換丄J濾波器形狀35例7.15 P189例7.15數(shù)字濾波器的差分方程為：nl = 1.5y n 一 1 - 0.85y n - 2 + n 求其頻率響應(yīng)并畫出曲線(分貝增益、相位(度)。

24、解：由式(7.2),頻率響應(yīng)的表達式為:H3)=0.857表7.4給出了幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)的結(jié)果。頻率響應(yīng)如圖7.13所示，對這個特殊濾波器，5 個點不足以獲得濾波器形狀的滿意曲線,準確曲線表明該濾波器僅能通過一狹窄的頻帶。(a)幅度響應(yīng)(b)相位響應(yīng)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀37數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀#圖7.13例7.15的頻率響應(yīng)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀#H(z)例7.16 P190梳狀濾波器，模擬回響作用例7.16 求下面遞歸濾波器的濾波器形狀，它的傳輸函數(shù)為：3939

25、解：根據(jù)7.2.2節(jié)傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻率響應(yīng)，得:H(O)= I -0.5e濾波器形狀(或幅度響應(yīng))如圖7. 14所示，根據(jù)其形狀稱該濾波器為梳狀濾波器(comb filter)0它具有模擬回響的作用，如圖7.15所示"圖7.15(a)中的脈沖通過梳狀濾波器 后，可產(chǎn)生圖7.15(b)所示的一系列脈沖。圖7.14例7.16的梳狀濾波器頻率響應(yīng)數(shù)字信號處理慕39單詞“hello'也可以通過與例7.16類似的梳狀濾 波器。結(jié)果是一系列逐漸弱化的該詞的重復(fù)， 輸入以及輸出信號的前兩個重復(fù)如圖7.16所 示。為了說明這種情況，可用傳輸函數(shù)：心=1 - 0.5Z-649 9來計算。數(shù)字信

26、號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換打濾波器形狀41例7.17 P191更好的梳狀濾波器，可以濾除周期信號的噪聲。例7.17 遞歸數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為：山、1.136 8 - 0.712 7z'102 = 1 一 0849 5z"°求它的濾波器形狀。解：1.136 8 - 0.712 7e濾波器形狀可由頻率響應(yīng)：H(Q)來計算。如圖7.17所示，該濾波器是梳狀濾波器的另一個例子。8.3節(jié)將介紹周期數(shù)字 信號的頻譜，它的頻譜是在固定間隔上的尖峰。尖峰所在的頻率稱為諧波(harmonic)o因7.3.3模擬頻率/與數(shù)字頻率Q-數(shù)字濾波器的形狀(|H(Q)|)

27、設(shè)計可以不依賴采樣頻 率，但所選的采樣頻率將影響濾波器輸入頻率的范 圍。當(dāng)采樣速率已知時，頻率軸可用模擬頻率f(Hz)代替 數(shù)字頻率。(弧度)，這樣將更容易了解濾波器的特 性。按式(3.6)進行變換，可得：“遵(7.8)頻率響應(yīng)曲線除了水平軸上的標記外，其他都沒有改 變，但采樣頻率的選擇對濾波器的作用有很大影響。 實際上，以數(shù)字頻率Q表示的數(shù)字濾波器特性，只有 當(dāng)采樣頻率選定后才能確定。例如，根據(jù)式(7.8),中心數(shù)字頻率為0.6pi弧度的窄帶帶通濾波器，當(dāng)采樣頻率為1kHz時，可通過300 Hz的信號，當(dāng)采樣頻率為4 kHz時，可通過1.2 kHz的信號。根據(jù)式(7.8),可以把0- “弧度

28、的數(shù)字頻率用0-fs/ 2也的模擬頻率代替。這樣，幅度響應(yīng)可表示為|H(f)卜f(當(dāng)增益為dB時,用20log|H(f)|-f)的曲線。相位響應(yīng)可表示為f與Q間的關(guān)系通過下例說明。數(shù)7信號處理某礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀46例 7.18P193 QTf例 7.18數(shù)7信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章數(shù)字濾波器的采樣頻率為12 kHz,它的頻率響應(yīng)如圖7.18所示c(0P)KCSW18OOZL1圖7.18例7.18的頻率響應(yīng)例7.19 P195求出Q例7.19幅度響應(yīng)如圖7.20所示，輸入模擬頻率是1 kHjz0當(dāng)采樣頻率為下列值時，求其增 益。a. . fs =4

29、 kHzb. fs = lO kHz解：圖7.20中，幅度響應(yīng)圖是Q = 0it弧度部分。當(dāng)采樣頻率選定后，響應(yīng)可重畫成從/=0 到f=fs/2 Hz的曲線。a. 圖7.21為= 4 kHz的幅度響應(yīng)曲線，此濾波器對頻率為1 kHz的輸入信號，增益為 0 dB或 lob. 圖7.22為fs = 10 kHz的幅度響應(yīng)曲線，此濾波器對頻率為1 kHz的輸入信號，增益約 為-63 dB或 7.079 5 x 10"此例中a和b的結(jié)果相差很大，進一步說明了采樣頻率對濾波器性能的影響。數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀48例7.20 P196注意角頻率和頻率之間

30、的關(guān)系例7.20 對模擬信號第(J =2cos(2x ltf r, + 15。)，以16 kH?進行采樣，然后數(shù)字化，試估算濾 波器對數(shù)字信號的増益°該濾波器的幅度響應(yīng)如圖7.23所示。解：有兩種計算方法求解，都要求用Hz表示輸入信號頻率，即：/ = =駕羅=3 183.1 Hz第一種方法，輸入信號的數(shù)字頻率可用下式計算:£2 = 2nJs2k3 183.120 00016000 二 T60001.25弧度圖7.23例7.20中對Q的幅度響應(yīng)圖724例7.20中對/的幅度響應(yīng)由圖7.23可看出，在此頻率下增益大約是-10 dBo準確值是- 10.3 dB或().305 5。

31、 第二種方法要求畫出yi = 16 klk的幅度響應(yīng)曲線，如圖7.24所示。從圖可以看出，對頻 率為3 183.1 M的信號，增益為-10.3 dB或0.305 5,結(jié)果同前°£p)KCJE_ooeXP)CM 一J0Z0 1 000 2 000 3 000 40005 000 6000 7000 8000圖7.23例7.20中對Q的幅度響應(yīng)圖724例7.20中對/的幅度響應(yīng)圖7.23例7.20中對Q的幅度響應(yīng)圖724例7.20中對/的幅度響應(yīng)數(shù)字信號處理基礎(chǔ)(011143圖7.23例7.20中對Q的幅度響應(yīng)圖724例7.20中對/的幅度響應(yīng)圖7.25濾波器形狀圖示734由極

32、點、零點判斷濾波器形狀在軟件工具的輔助下繪制精確的頻率響應(yīng)是常用 的方法，但也可以從極點和零點的分布推斷濾波器的大致形狀。例H(z) = 3P為極點z_p頻率響應(yīng)為H(O) = 1/("。- p) "。二1ZO:復(fù)平面中的單位圓 嚴一 p:從p指向"。的復(fù)向量當(dāng)占。和P的連線穿過原點時，復(fù)向量的長度取極值故濾波器的幅頻響應(yīng)為I H(Q) |=1從0應(yīng)到p的距離當(dāng)鮮和P以及原點位于同一直線上時，距離最短，此時a = Zp = p的相位(復(fù)角)：|H(Q)|有峰值當(dāng)P向單位圓靠近時變大推廣到多個零點和極點的情況到零點的距離的乘積到極點的距離的乘積靠近單位圓的極點和零點

33、導(dǎo)致| HQ) |在某個頻率上取非常 大和非常小的值，可以增強濾波器的選擇性數(shù)了信號處埋基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換與濾波器形狀53例7.22例7.22推斷濾波器的形狀，濾波器的差分方程為：y n=%| n - 1 + x n - 3解：濾波器的傳輸函數(shù)為：2U ( 1-3 Z + 1H(z) = Z + Z = 3-濾波器在z = 0處有三個極點，零點在z=j與-j處。極零點如圖7.28所示，并標出 了 e九的采樣點位置。因為極點都在原點，對所有的。值，極點到匕也的距離都相同，因 此，由式(7.10)可知，只有零點的位置影響濾波器的形狀,fl = Jc/2時，e掃到其中一個零點

34、的距離為零，則幅值為零。所以，這個濾波器具有帶阻特性，圖7.29所示的準確的濾波器 形狀可證實這一點。圖7.29例7.22的濾波器形狀數(shù)7信號處理基礎(chǔ)(01114301)第7章傅里葉變換打濾波器形狀55735階濾波器yn + ayn - 1 = xna > 0高通a < 0低通P200 例7.24例7.24求濾波器yn +0.5yn- 1=光e的頻率響應(yīng)。 解：頻率響應(yīng)為:H(Q)11 + 0.5e 孑如圖7.32所示。該濾波器有高通特性，但不是很好的高通濾波器。因為通帶與阻帶的增 益差小于10 clB,濾波器的極-零點圖、脈沖響應(yīng)與階躍響應(yīng)見圖6.17的左列。根據(jù)上一 節(jié)的討論，濾波器在2= -0.5處的單極點、就說明了為什么濾波器是高通的，但其選擇性例 7.25例7.25 寫出濾波器y n - O.5yf n - 1 = x n 的頻率響應(yīng)。 解：由式(7.2),可得頻率響應(yīng)為：H(Q)頻率響應(yīng)示于圖7.33,濾波器具有低通特性，圖6.17右列給出了該濾波器的極-零點圖、 脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)。改變系數(shù)().