第1章單自由度系統(tǒng)的自由振動題解

1、習題1-1 一單層房屋結構可簡化為題1-1圖所示的模型，房頂質(zhì)量為仍，視為一剛性桿；柱子高/7, 視為無質(zhì)量的彈性桿，其抗彎剛度為£7。求該房屋作水平方向振動時的固有頻率。解：由于兩根桿都是彈性的，等效彈簧系數(shù)為 貝1jmg - ks其屮為兩根桿的靜形變址則討以看作是兩根相同的彈簧的并聯(lián)巾材料力學易知s=mgh3 24 ejejttnrrejttnfrr題1-1圖24 ej沒靜平衡位置水平向右為正方向，則有mx = -kx所以固有頻率=1-2 一均質(zhì)等直桿，長為/,重量為iv,用兩根長a的相同的鉛垂線懸掛成水平位置，如題1-2 圖所示。試寫岀此桿繞通過重心的鉛垂軸作微擺動的振動微分方

2、程，并求fli振動固有周期。/z/zz7/y/r/7z/yhathzj11 z j22題1-2圖解：給桿一個微轉角沒3= ha22fcosrz= mg由動量矩記理:(1)(2)(3)e310 = m.0aa2=-rsmdz cos - -mg a - -mg a228/z其中sina - a cos « 1 2mr-e+mg.a-e1-3求題1-3閣屮系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點的剛度分別是h和,懸臂梁的質(zhì)量忽略不計解：懸臂梁可看成剛度分別為h和h的彈簧，因此，h與6串聯(lián) 設總剛度為f。k:與么并聯(lián)，設總剛度為f。f與串聯(lián),設總剛度為h即為k''=集，仏kk2k4 +

3、k2k3k4 + kk2k4 + k-,k +眾丨眾2 +眾1眾4 +眾2眾4題1-3圖2kk2k4 + k2k3k4 + k'k2k4m(k'k3 + k2k3 + kk2 + k'k4+ k2k4)1-4求題1-4圖所示的階梯軸一圓盤系統(tǒng)扭轉振動的固有頻率。其中人、j2和/3是三個軸段截面 的極慣性矩，/是圓盤的轉動慣量，各個軸段的轉動慣量不計，材料剪切彈性模量為g。解：k' =gj、ii'k2 = gj 2 / /2題1-4圖，3 =2 3 / (2 ,3 + 3 ,2 )(4)k3 = gj3 /z3由(2)知= g(j'j2l3 + j

4、'l2 + j2ji)/ ii'(j2l3 + j3l2)1-5如題1-5圖所示，質(zhì)量力/叱的均質(zhì)圓盤在水平面上可作無滑動的滾動，鼓輪繞軸的轉動慣量 為/,忽略繩子的彈性、質(zhì)量及個軸承間的摩擦力，求此系統(tǒng)的固有頻率。題1-5圖解：此系統(tǒng)是一個保守系統(tǒng)，能量守恒.如圖題中的廣義坐標x，設系統(tǒng)的振動方程為 x = asin(wt + a)則系統(tǒng)運動過程屮速度表達式為：i= ah，cos(uv + 60v*系統(tǒng)最大位移和速度分別為：.max_4max =系統(tǒng)在運動過程中，動能表達式為:=-/77,%2+-42+- 2 2 ' 2彈性勢能為:u=1+#2系統(tǒng)最人動能為：trma

5、x=nt(aw)2 +_m，(aw)2 + 2 2 '( 1aw最大彈性勢能為：un=-k由于系統(tǒng)機械能守恒，因此:1、21、，( 1, v aw v 1awl 1 丄 a 11771, (aw)2 +-|-zz22(aw)2 +2l2mr j +i7|xj+ -2a2由上式可解得系統(tǒng)的同有頻率為:所以，7l.、+/72,<1>2/?>2 + 去max3 im, + 2,7?2+f1-6如題1-6圖所示，剛性曲臂繞支點的轉動慣量為/q，求系統(tǒng)的固有頻率解：設曲臂順時針方向轉動的p角為廣義坐標，系統(tǒng)作簡 諧運動，其運動方程為p = osin(/v + 6z)。妒很小，系

6、統(tǒng)的動能為19191t = -io(p2+-ml(a(p)2-m2(l(p)(p = (pn cos(廠,，+ 6z)取系統(tǒng)平衡位置為勢能零點。設各彈簧在靜平衡位置伸長為<52，么，由em()(f)=0,kxsxa- ma ga + k3s3b- k2s2l = 0(a)由題意可知，系統(tǒng)勢能為v = i( + i)2 一5|2 +去3(種+ 么)2 逐32 + 2(# 么)2 -8l + mag(pci (b) 將(a)式代入(b)式，可得系統(tǒng)最大勢能為，vmax =去+ 去腳2 士20>2,2由，得 去/斤2久2+去去少去2+|2+去m>2/2所以，有2 kci“ +10

7、+ m21-7個有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，質(zhì)量為10 kg,彈簧靜伸長是lcm，(m巾振動2()個循環(huán)后,振幅從0.64 cm減至0.16cm，求阻尼系數(shù)c。解：振動袞減曲線得包絡方程為：x = ae-ziz振動20個循環(huán)后，振幅比為:0.640j6=e20ntd:.td =in 4 20代入得:in 42=io7720zt l00g-n2 c = 6.9 n s /m2a i mk 3pn =3kaml1-8 一長度為/、質(zhì)量為m的均質(zhì)剛性桿鉸接于o點并以彈簧和粘性阻尼器支承，如題2-8圖所 示。寫山運動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和固有頻率的表達式。fc解：圖（1）為系統(tǒng)的靜平衡位罝，pi受力

8、圖如（2）。由動量矩定理，列系統(tǒng)的運動微分方程為:iq(p + c(pl2 + k(pa2 =0.= ml2.3c . 3ka2 (p + 少 + - = 0m ml，ml3ka2 . 3c pn = 2n當時,cccc2mn _ 2pnm _ 2a mk丁- 3 rvt1-9如題1-9圖所示的系統(tǒng)中，剛桿質(zhì)量不計，試寫岀運動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)及固有頻率。解:i(p = -kb(pb - cacpa ml2(p = kb2(p-ccccp題1-9閣"kb2 ca2 .廣、kb2 p”2ml2ii1-10如題1-10圖所示，質(zhì)量為2000 kg的重物以3 cm/s的速度勻速運動

9、，與彈簧及阻尼器相撞后一起作自由振動。己知=48020 n/m，c =1960 ns/m, w重物在碰撞后多少時間達到最大振幅?最 大振幅是多少？解：以系統(tǒng)平衡位置為坐標原點，建立系統(tǒng)運動微分 方程為題1-10圖x + 2zir + px = 0戶斤以有x + x +x=o m m2+1960 r+48020=02000 2000r=-0.49±4.875i所以:x = cxe"a49,cos4.875t+c2 一49/sin4.875t其特征方程為：由于n. a，由己知條件，n =-1960 = o49 廠了 = a = 48020 = 24.01， xo=o， x0 =

10、 0.03 m/so 故通角軍為2m 2x2000m 2000x = ent (c, cos pdt + c2 sin pdt)其中，p, = 4.875 o代入初始條件，得x =sin pdt =0.006 e°a9tc, = x() = 0, c9 =似()+ a) _ o_ _ 0.006，得 pd pdsin4.875tx =0.006e1 (-0.49) sin4.875t+0.006x4.875cos4.875物體達到最人振幅吋，冇x - -nc2e,u sin pdt- c2ent pd cos pdt = 0既得f = 0.30 s時，物體最大振幅為x = 0.006e_()4