三角形中的三角問題的核心突破

1、1三角形中的三角問題的核心突破三角形中的三角問題的核心突破考點透視考點透視：三角形中的三角函數(shù)問題三角形中的三角函數(shù)問題 已成為高考命題的熱點已成為高考命題的熱點，以應用正余弦定理以應用正余弦定理、面積公面積公式以及三角公式為手段，考查化歸能力，判斷求解能力，以及應用知識分析解決實際問題式以及三角公式為手段，考查化歸能力，判斷求解能力，以及應用知識分析解決實際問題能力。主要題型有：能力。主要題型有：1.求一般三角形中的某些元素問題；求一般三角形中的某些元素問題；2、求給定圖形中的三角形中的某、求給定圖形中的三角形中的某些元素；些元素；3、計算三角形的面積或相關問題；、計算三角形的面積或相關問題

2、；4、判斷三角形的形狀。這些考點以選擇填空、判斷三角形的形狀。這些考點以選擇填空為主，部分出現(xiàn)在解答題的某一問。為主，部分出現(xiàn)在解答題的某一問。題型一：求一般三角形中的某些元素問題題型一：求一般三角形中的某些元素問題例：例：2014安徽卷 設ABC 的內角 A，B，C 所對邊的長分別是 a，b，c，且 b3，c1，ABC 的面積為 2.求 cos A 與 a 的值解： 由三角形面積公式，得1231sin A 2，故 sin A223.因為 sin2Acos2A1，所以 cos A 1sin2A18913.當 cos A13時，由余弦定理得 a2b2c22bccos A3212213138，所以

3、 a22.當 cos A13時，由余弦定理得 a2b2c22bccos A321221313 12，所以 a23.訓練：訓練：1.1. 2014福建卷 在ABC 中，A60，AC2，BC 3，則 AB 等于_解析 由BCsin AACsin B，得 sin B2sin 6031，即 B90，所以ABC 為以 AB，BC 為直角邊的直角三角形，則 AB AC2BC2 22（ 3）21，即 AB 等于 1.2.2. 2014湖北卷 在ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知 A6，a1，b 3，則 B_解 由正弦定理得asin Absin B， 即1sin63sin B， 得

4、sin B32.又因為 ba， 所以 B3或23.3. 2014江蘇卷 若ABC 的內角滿足 sin A 2sin B2sin C， 則 cos C 的最小值是_解 設ABC 的內角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c，則由正弦定理得 a 2b2c.故cos Ca2b2c22aba2b2a 2b222ab34a212b222ab2ab34a212b22ab24234a212b22ab246 24，當且僅當 3a22b2，即ab23時等號成立4. 在ABC 中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，則 A 的取值范圍是()A.0，6B.6，C.0，3D.3，【解析】根據(jù)正弦定理有

5、a2b2c2bc，由余弦定理可知 a2b2c22bccosA，所以 b2c22bccosAb2c2bc，即有 cosA12，所以角 A 的取值范圍為0，3 ，選 C.25.在ABC中，角CBA、所對的邊為cba、，且滿足212cosB（）求角B的值； （）若3b且ab ，求a的取值范圍【知識點】二倍角的余弦公式；正弦定理；三角形大邊對大角.解：（）由已知212cosB得211 2sin2B-= -，得3sin2B =，故3B或23.（）由正弦定理2sinsinabAB=，得2sinaA=，因為ba，所以3B，則233A，所以2sinaA=3,2.【思路點撥】（）利用二倍角的余弦公式把已知條件變

6、形，解之即可； （）先由正弦定理得到2sinaA=，再由ba判斷出B的值，最后求出a的取值范圍6.已知ABC的內角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c， 若CCabbac則,2cos2222的可能取值為A65B2C3D6【知識點】 余弦定理;一元二次不等式的解法;二倍角的余弦函數(shù)公式;余弦函數(shù)的圖象與性質.解：根據(jù)余弦定理得：2222cosCcabab=+-，已知不等式化為：22222cosC2cos2Cabababab+-+-，整理得：cos2C+cosC0，即22cos CcosC 10+- ，因式分解得：(2cosC 1)(cosC 1)0-+，解得：1cosC2或cosC-

7、1（舍去），1cosC2，由C為三角形的內角，則C的取值范圍是0,3故選 D.【思路點撥】根據(jù)余弦定理表示出2c，代入已知的不等式中，移項合并后，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為關于cosC的一元二次不等式，求出不等式的解集得到cosC的范圍，由C為三角形的內角，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質即可得到角C的范圍7.ABC中，,2,60ax bB，則當ABC有兩個解時，x的取值范圍是（A）4 33x （B）4 323xx或（C）2x （D）4 323x【知識點】解三角形解：若三角形有兩個解，則以 C 為圓心，以 2 為半徑的圓與射線 BA 有兩個交點，因為與BA 相切時 xsin60=2，經過點 B 時

8、，x=2，所以若有兩個交點，則 xsin602x，得34 323x，所以選 D.【思路點撥】判斷三角形解的個數(shù)問題，可結合圖形進行分析，找出 x 的臨界位置，列出滿足的不等式條件，求解即可.8. 銳角三角形 ABC 中，內角, ,A B C的對邊分別為, ,a b c，若2BA，則ba的取值范圍是（）A(1,2)B( 2, 3)C(1, 3)D( 3,2 2)【知識點】正弦定理.解：銳角ABC 中，由于 A=2B，02B90，且 2B+B90，30B45，由正弦定理可得 =2cosB，2cosB，故選 B【思路點撥】由條件求得 30B45，再利用正弦定理可得=2cosB，從而求得 的范圍9.在

9、ABC 中，內角CBA,的對邊分別為cba,，若18 a，24 b， 45A,則這樣的三角形有（）A.0 個B. 兩個C. 一個D. 至多一個【知識點】正弦定理；三角形解得情況.解：02sin452412 22b,12 21824,即0sin45bab，可知這樣的三角形有兩個，故選B.【思路點撥】由已知可得0sin45bab，利用三角形解得情況可得結果.10.2014遼寧卷 在ABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 ac.已知BABC2，cos B13，b3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值解：(1)由BABC2，得 cacos B2，又 cos B13

10、，所以 ac6.由余弦定理，得 a2c2b22accos B，又 b3，所以 a2c292213.聯(lián)立ac6，a2c213，得a2，c3或a3，c2.因為 ac，所以 a3，c2.(2)在ABC 中，sin B 1cos2B11322 23.由正弦定理，得 sin Ccbsin B232 234 29.4因為 abc，所以 C 為銳角，因此 cos C 1sin2C14 29279.于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C13792234292327.11.11. 在ABC中，角CBA,所對的邊分別為cba,，已知CcAasincos3，（）求A的大??； （）若6a，求cb

11、的取值范圍.【知識點】正弦定理;余弦定理.解：（）由已知條件結合正弦定理有：AaCcAasinsincos3，從而：3tan,sincos3AAA，3,0AA（）由正弦定理得：34sinsinsinAaCcBb，CcBbsin34,sin34)6sin(12)3sin(sin34sin34sin34BBBCBcb12)6sin(126,6566BB，即：12, 6cb【思路點撥】（）由條件結合正弦定理得，AaCcAasinsincos3，求得 tanA3，可得 A 的值（）由正弦定理得：4 3sin,4 3sinbB cC=,從而得到b c+的解析式，然后求出其取值范圍12. 設ABC 的內角

12、 A，B，C 的對邊分別為a，b，c，accbacba)(（1）求 B； （2）若ABC 的面積 S34，a4，求邊b的長度.【知識點】正弦、余弦定理;三角形面積公式.解：(1)因為(abc)(abc)ac，所以 a2c2b2ac.由余弦定理得 cos Ba2c2b22ac12，因此 B120.6 分(2)由 S12ac sin B12ac3234ac43，得 ac16，又 a4，知 c4. 8 分所以 A=C=300, 由正弦定理得 b=sinsinaBA43. 12 分【思路點撥】 （1）利用余弦定理表示出cosB，已知等式整理后代入求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)； （2）利用三角形

13、面積公式列出關系式，將sinB與a的值代入5求出c的值，再利用等邊對等角確定出A=C，由正弦定理即可求出b的值8. 在ABC 中，角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c,已知2cos(A)cosCabCc() 求角 C 的大小;() 若 c=2，求使ABC 面積最大時，a, b 的值.【知識點】正弦定理；余弦定理；三角形面積公式.解：（1）cos(A C)cos(B)cosB ,由題意及正弦定理2sinsincossincosCABBC即2sincosC(sinBcosC cosBsinC)sin(B C)sinAA (0, )Asin0A從而1cos2C 又(0, )C23C6 分（2）

14、由余弦定理2222coscababC22142()2abab 即224abab,22423ababababab4433abab，(當且僅當ab時成立)13sinC24ABCSababab當時ABC 面積最大為33，此時2 3=3ab故當2 3=3ab時，ABC 的面積最大為33.【思路點撥】（1）利用誘導公式和正弦定理以及兩角和的正弦公式可求得結果； （2）根據(jù)余弦定理可判斷出當ab=，ABC 面積最大，再求出最大值即可.題型二：求給定圖形中的三角形中的某些元素題型二：求給定圖形中的三角形中的某些元素例：例：2014全國新課標卷 如圖 1-3，為測量山高 MN，選擇 A 和另一座山的山頂 C

15、為測量觀測點從 A 點測得 M 點的仰角MAN60，C 點的仰角CAB45，以及MAC75，從 C 點測得MCA60.已知山高 BC100 m，則山高 MN_m.圖 1-3解 在 RtABC 中 BC100，CAB45，故 AC100 2.在MAC 中MAC75，MCA60，所以AMC45，由正弦定理有AMsinMCAACsinAMC，即 AMsin 60sin 451002100 3，于是在 RtAMN 中，有 MNsin 60100 3150 .訓練：訓練：1.1. 2014湖南卷 如圖 1-4 所示，在平面四邊形 ABCD 中，DAAB，DE1，EC 7，6EA2，ADC23，BEC3.

16、(1)求 sinCED 的值；(2)求 BE 的長圖 1-4解：設CED.(1)在CDE 中，由余弦定理，得 EC2CD2DE22CDDEcosEDC，于是由題設知，7CD21CD，即 CD2CD60，解得 CD2(CD3 舍去)在CDE 中，由正弦定理，得ECsinEDCCDsin.于是，sinCDsin23EC2327217，即 sinCED217.(2)由題設知，03，于是由(1)知，cos 1sin2121492 77.而AEB23，所以cosAEBcos23cos23cossin23sin12cos32sin122 7732217714.在 RtEAB 中，cosAEBEABE2BE

17、，故 BE2cosAEB27144 7.2.在ABC中，D 為邊 BC 上一點，BD=12DC,ADB=120，AD=2，若ADC的面積為33，則BAC=.【命題立意】本題主要考查了余弦定理及其推論的綜合應用.【思路點撥】利用三角形中的余弦定理極其推論。列出邊與角滿足的關系式求解.解：設BDx，則2CDx，由ADC的面積為33可知1sin60332CD AD，可得31x ，由余弦定理可知2222cosABADBDAD BDADB6，所以6AB 2222cosACADDCAD DCADC24 12 3，所以6( 31)AC 由222cos2ABACBCBACAB AC，及6,6( 31),3(

18、31)ABACBC7可求得60BAC【方法技巧】熟練三角形中隱含的角的關系，利用余弦定理或正弦定理找邊與角的關系，列出等式求解.3. 2013新課標全國卷 如圖 14 所示，在ABC 中，ABC90，AB 3，BC1，P 為ABC 內一點，BPC90.(1)若 PB12，求 PA；(2)若APB150，求 tan PBA.圖 14解：(1)由已知得， PBC60，所以PBA30.在PBA 中，由余弦定理得 PA23142 312cos 3074.故 PA72.(2)設PBA，由已知得 PBsin .在PBA 中，由正弦定理得3sin 150sin sin（30），化簡得3cos 4sin .所

19、以 tan 34，即 tan PBA34.4.2013福建卷 如圖 14 所示，在ABC 中，已知點 D 在 BC 邊上，ADAC，sinBAC223，AB3 2，AD3，則 BD 的長為_圖 14解析 設BAD，則BAC2，sin2232，所以 cos 232，ABD 中，由余弦定理得 BD AB2AD22ABADcos 3.5. 銳角三角形 ABC 中，若 C2B，則ABAC的范圍是()A(0,2)B( 2，2)C( 2， 3)D( 3，2)解析設ABC 三內角 A、B、C 所對的邊長分別為 a、b、c，則有ABACcbsin Csin Bsin 2Bsin B2cos B.又C2B2，B

20、4.又 A(BC)3B6，即6B4，22cos B32， 22cos B 3.點評點評：解題時盡量放在三角形中解決。6. 如圖，某市新體育公園的中心廣場平面圖如圖所示，在 y 軸左側的觀光道曲線段是函數(shù)sin()(0,0,0)yAxA， 4,0 x 時的圖象且最高點 B（-1，4） ，在y 軸右側的曲線段是以 CO 為直徑的半圓弧試確定 A，和的值；8現(xiàn)要在右側的半圓中修建一條步行道 CDO（單位：米） ，在點 C 與半圓弧上的一點 D之間設計為直線段（造價為 2 萬元/米） ，從 D 到點 O 之間設計為沿半圓弧的弧形（造價為 1萬元/米） 設DCO(弧度)，試用來表示修建步行道的造價預算，

21、并求造價預算的最大值？（注：只考慮步行道的長度，不考慮步行道的寬度）【知識點】由 y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式解：因為最高點 B（-1，4） ，所以 A=4；又( 4,0)E ，所以1 ( 4)3124TT ， 因為2126T 5 分代入點 B（-1，4） ，44sin( 1)sin()166 ，又203；8 分由可知：24sin(), 4,063yxx ，得點 C(0,2 3)即2 3CO ，取 CO 中點 F，連結 DF，因為弧 CD 為半圓弧，所以2 ,90DFOCDO，即232 3DO，則圓弧段DO造價預算為2 3萬元，Rt CDO中，2 3cosCD，則直線段 CD 造

22、價預算為4 3cos萬元，所以步行道造價預算( )4 3cos2 3g，(0,)213 分由( )4 3( sin )2 32 3(12sin )g x得當6時，( )0g，當(0,)6時，( )0g x ，即( )g在(0,)6上單調遞增；當(,)6 2 時，( )0g x ，即( )g在(,)6 2 上單調遞減所以( )g在6時取極大值，也即造價預算最大值為（363）萬元16 分【思路點撥】（1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出 A，由周期求出，由五點法作圖求出的值 （2）由題意可得2 3CO ，取 CO 中點 F，求得圓弧段造價預算為2 3萬元，直線段 CD 造價預算為4 3cos萬元，可得步

23、行道造價預算( )4 3cos2 3g， 再利用導數(shù)求出函數(shù) g（）的單調性，從而求得 g（）的最大值題型三：計算三角形的面積或相關問題題型三：計算三角形的面積或相關問題例例：(2013高考浙江卷)在銳角ABC 中，內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c,且 2asin B 3b.(1)求角 A 的大小；(2)若 a6，bc8，求ABC 的面積yOC4-1DB-4x-1BE2yOC4DxF9【思路點撥】(1)利用已知條件和正弦定理可求出 sin A，進而求出 A；(2)利用余弦定理求出 bc，再用面積公式求面積【解】(1)由 2asin B 3b 及正弦定理asin Absin B，得 s

24、in A32.因為 A 是銳角，所以 A3.(2)由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 b2c2bc36.又 bc8，所以 bc283.由三角形面積公式 S12bcsin A，得ABC 的面積為12283327 33.點評：解三角形的一般方法是：(1)已知兩角和一邊，如已知 A、B 和 c，由 ABC求 C，由正弦定理求 a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知 a、b 和 C，應先用余弦定理求 c，再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用 ABC求另一角(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知 a、b 和 A，應先用正弦定理求 B，由 ABC求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c，

25、要注意解可能有多種情況(4)已知三邊 a、b、c，可應用余弦定理求 A、B、C.訓練：訓練：1. (2013石家莊市高三模擬考試)已知 a，b，c 分別為ABC 三個內角 A，B，C 的對邊，( 2cb)cos Aacos B.(1)求角 A 的大??；(2)若 a 2，ABC 的面積為 1，求 b，c.【解】(1)由( 2cb)cos Aacos B 及正弦定理得，( 2sin Csin B)cos Asin Acos B，則2sin Ccos Asin Bcos Asin Acos Bsin(BA)ABC，sin(AB)sin C， 2sin Ccos Asin C.sin C0，cos A

26、22，又 0A，A4.(2)ABC 的面積 S12bcsin A1，A4，bc2 2.根據(jù)余弦定理 a2b2c22bccos A 和 a 2，可得 c2b26.由得，b2c 2或b 2c2.2.2013新課標全國卷 ABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 abcos Ccsin B.(1)求 B；(2)若 b2，求ABC 面積的最大值解：(1)由已知及正弦定理得 sin Asin Bcos Csin Csin B又 A(BC)，故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和 C(0，)得 sin Bcos B.又 B(0，)，所以 B4.(2)AB

27、C 的面積 S12acsin B24ac.由已知及余弦定理得 4a2c22accos4.又 a2c22ac 故 ac42 2，當且僅當 ac 時等號成立故ABC 面積最大值為 21.3. 在ABC中，a、b、c分別為內角ABC、 、所對的邊，且滿足:ACBACBcoscoscos2sinsinsin (1) 證明：acb2；(2) 如圖，點O是ABC外一點，設AOB(0)，22OAOB，當cb 時，求平面四邊形OACB面積的最大值【知識點】正弦定理、余弦定理、三角形面積公式BCoA10解： （1）證明：由已知得：cossincossin2sincossincossinABACABACAsins

28、in2sinCBA，2bca（2）由余弦定理得254cosa，則2131 2 sin24Sa =5 35 3sin3cos2sin()4340，當32即56時，max5 324S【思路點撥】 再解三角形問題時， 恰當?shù)睦谜叶ɡ砘蛴嘞叶ɡ磉M行邊角的轉化是解題的關鍵.在求三角形的面積時，若已知內角，可考慮用含夾角的面積公式進行計算.題型四：判斷三角形的形狀題型四：判斷三角形的形狀例：例：在ABC 中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，試判斷ABC 的形狀審題視點 首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷解：由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得 b2sin(

29、AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即 b2sin Acos Ba2cos Asin B，即 sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以 sin 2Bsin 2A，由于 A，B 是三角形的內角故 02A2，02B2.故只可能 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2. 故ABC 為等腰三角形或直角三角形方法總結：方法總結：三角形形狀的判斷思路判斷三角形的形狀，就是利用正、余弦定理等進行代換、轉化，尋求邊與邊或角與角之間的數(shù)量關系，從而作出正確判斷.1邊與邊的關系主要看是否有等邊，是否符合勾股定理等；2角與角的關系主要是看是否有等角，有無直角或鈍角等.2.判

30、定三角形形狀的兩種常用途徑通過正弦定理和余弦定理， 化邊為角， 利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷；利用正弦定理、 余弦定理， 化角為邊， 通過代數(shù)恒等變換， 求三條邊之間的關系進行判斷.變式練習：變式練習：1. 在ABC 中，若acos Abcos Bccos C；則ABC 是()A直角三角形B等邊三角形 C鈍角三角形D等腰直角三角形解析由正弦定理得 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R 為ABC 外接圓半徑)sin Acos Asin Bcos Bsin Ccos C.即 tan Atan Btan C，ABC.答案B2.2013陜西卷 設ABC 的內角 A，

31、B，C 所對的邊分別為 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，則ABC 的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定解析 結合已知 bcos Cccos Basin A，所以由正弦定理代入可得11sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin Asin(BC)sin2Asin Asin2Asin A1，故 A90，故三角形為直角三角形3. 在ABC中的內角, ,A B C所對的邊分別為, ,a b c，若60B, ,a b c且成等比數(shù)列，則ABC的形狀為A.直角三角形B.等腰三角形C. 等邊三角形D.不確定【知識點】三角形的形狀判斷；等比數(shù)列的性質；余弦

32、定理.解：由 a,b,c 成等比數(shù)列得2bac，代入余弦定理求得22acacac，即20ac（），因此 a=c，從而 A=C，又因為60B，所以ABC是等邊三角形，故答案選 C.【思路點撥】先根據(jù) a,b,c 成等比數(shù)列得2bac，進而代入余弦定理求得22acacac，整理求得 a=c，判斷出 A=C，最后判斷三角形的形狀【典型總結】本題主要考查了等比數(shù)列的性質，三角形形狀的判斷，余弦定理的應用三角形問題與數(shù)列，函數(shù)，不等式的綜合題，是考試中常涉及的問題，注重了對學生的雙基能力的考查4. 在ABC中，若BbAacoscos，則ABC一定是（）A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角

33、三角形 D 等腰直角三角形【知識點】正弦定理、余弦定理解析：因為BbAacoscos，由正弦定理得 sinAcosA=sinBcosB，得 sin2A=sin2B，由 A、B 為三角形內角得 2A=2B 或 2A+2B=，得 A=B 或 A+B=2，所以ABC是等腰三角形或直角三角形，選 C.【思路點撥】在解三角形中，一般遇到邊角混合條件，可利用正弦定理或余弦定理把關系轉化為角的關系或轉化為邊的關系進行解答，本題還可用余弦定理轉化為邊的關系解答.5. 在ABC中，若22tantanbaBA，則ABC的形狀是（）A直角三角形B等腰或直角三角形C不能確定D等腰三角形【知識點】正弦定理；三角函數(shù)的恒

34、等變換；正弦函數(shù)圖象與性質解： 由正弦定理得：2sinsinabRAB=， （R 為三角形外接圓的半徑） ,22tantanbaBA變形為：22sin cossincos sinsinABAABB=，化簡得：2sin cos2sin cosBBAA=，即sin2sin2BA=，由A和B為三角形的內角，得到22AB=或22AB，即AB=或2AB，則ABC 的形狀是等腰三角形或直角三角形故選 B【思路點撥】把已知等式的左邊利用同角三角函數(shù)間的基本關系切化弦，右邊利用正弦定理變形，然后根據(jù)二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，由A和B為三角形的內角，根據(jù)正弦函數(shù)圖象與性質得到A與B角度之間的關系，根據(jù)角度之間的

35、關系12即可得到三角形ABC的形狀6. 在ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為, ,a b c,若2 cosabC，則這個三角形一定是（）A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【知識點】余弦定理的應用解：2222222 cos22abcabcabCbaba+-+-=，2222aabc=+-，22bc=，因為, b c為三角形的邊長，bc=，ABC是等腰三角形故選 C【思路點撥】先根據(jù)余弦定理表示出cosC，代入整理即可得到bc=從而知是等腰三角形7.在ABC 中，a、b、c分別為內角CBA、的對邊，且 CbcBcbAasin2sin)2(sin2 （1）求A的大??；若1si

36、nsin CB，判斷ABC 的形狀.(7 分）【知識點】正弦定理和余弦定理的應用;解三角形；三角函數(shù)的化簡求值解：（1）由正弦定理得 cbcbcba 2222即bcacb 222212222 bcacb, 120A（2）由（1）知 120A， 60CB1)60sin(cos23sin21)60sin(sinsinsin BBBBBCB 30,30 CB,ABC 是等腰三角形【思路點撥】（1）利用正弦定理把題設等式中的角的正弦轉化成邊，求得a，b和c關系式，代入余弦定理中求得cosA的值，進而求得A（2）把（1）中a，b和c關系式利用正弦定理轉化成角的正弦，與1sinsin CB聯(lián)立求得sinB

37、和sinC的值，進而根據(jù)C，B的范圍推斷出B=C，可知ABC是等腰的鈍角三角形題型五：三角形知識的綜合應用題型五：三角形知識的綜合應用例：例：已知函數(shù) f(x)sin(2x6)2cos2x1(xR)(1)求 f(x)的單調遞增區(qū)間；(2)在ABC 中，三內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，已知 f(A)12，2abc，bc18，求 a 的值解(1)f(x)sin(2x6)2cos2x132sin 2x12cos 2xcos 2x1332sin 2x12cos 2xsin2x6 .令 2k22x62k2(kZ)，得 k3xk6(kZ)，即 f(x)的單調遞增區(qū)間為k3，k6(kZ)(2)

38、由 f(A)12，得 sin(2A6)12.62A626，2A656.A3.由余弦定理得 a2b2c22bccos A(bc)23bc.又 2abc，bc18，a24a2318，即 a218，a3 2.訓練：訓練：1 1、(2013四川)在ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且2cos2AB2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)35.(1)求 cos A 的值；(2)若 a4 2，b5，求向量BA在BC方向上的投影解(1)由 2cos2AB2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)35，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B35，即

39、 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B35.則 cos(ABB)35，即 cos A35.(2)由 cos A35，0Ab，則 AB，故 B4，根據(jù)余弦定理，有(4 2)252c225c35 ，解得 c1 或 c7(舍去)故向量BA在BC方向上的投影為|BA|cos B22.2(2013福建)如圖，在等腰直角OPQ 中，POQ90，OP2 2，點 M 在線段 PQ 上，(1)若 OM 5，求 PM 的長；(2)若點 N 在線段 MQ 上，且MON30，問：當POM 取何值時，OMN 的面積最小？并求出面積的最小值解(1)在OMP 中，OPM45，OM 5，OP2 2，由余弦定理得，

40、OM2OP2MP22OPMPcos 45，得 MP24MP30，解得 MP1 或 MP3.(2)設POM，060，14在OMP 中，由正弦定理，得OMsinOPMOPsinOMP，所以 OMOPsin 45sin45，同理 ONOPsin 45sin75.故 SOMN12OMONsinMON14OP2sin245sin45sin751sin45sin45301sin4532sin4512cos45132sin24512sin45cos451341cos90214sin90213434sin 214cos 213412sin230.因為 060，30230150，所以當30時，sin(230)取

41、最大值 1，此時OMN 的面積取到最小值，即POM30時，OMN 的面積的最小值為 84 3.4.已知ABC 的三個內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，向量 m(4，1)，ncos2A2，cos 2A，且 mn72.(1)求角 A 的大小；(2)若 a 3，試判斷 bc 取得最大值時ABC的形狀解(1)由 m(4，1)，ncos2A2，cos 2A，得 mn4cos2A2cos 2A41cos A2(2cos2A1)2cos2A2cos A372，解得 cos A12，0A，A3.(2)在ABC 中，由余弦定理得 a2b2c22bccos A，且 a 3，( 3)2b2c22bc12

42、b2c2bc，b2c22bc，32bcbc，即 bc3.當且僅當 bc 3時，bc 取得最大值，此時 abc 3，ABC 為等邊三角形5. 已知函數(shù) 2sinsin,63fxxxxR. （I） 求函數(shù) f x的最小正周期； （II）在ABC中,若角ABBCCf求滿足銳角,21)62(C,4A的值.【知識點】誘導公式；最小正周期；正弦定理.解：（I）因為15 2sinsin63f xxx2sin()cos()sin 2,663xxx5 分所以函數(shù)( )f x的最小正周期為T，（）由(I)得，1()sin262CfC由已知，1sin2C =，又角 C 為銳角，所以6Cp=11 分有正弦定理得2si

43、nsin422.1sinsin62BCAABC14 分【思路點撥】（I）先把原函數(shù)式化簡整理得( )sin 2,3f xx再利用公式即可； （）先解出1()sin262CfC，進而可得C的值，再利用正弦定理可求的結果.6.設ABC 中，AD 為內角 A 的平分線，交 BC 邊于點 D，3,2ABAC ，BAC=60o，則ADBC =（） A85B95C95D85【知識點】角平分線定理；向量的計算；余弦定理.解：由圖可知向量的關系，根據(jù)角平分線定理可得35ADABBC ，根據(jù)余弦定理可知7BC ，所以23321555AD BCABBC BC AB BCBCAB AC AB 2212193 2 c

44、os609555AB ACAB 【思路點撥】 可根據(jù)角平分線定理和余弦定理， 可求出,BC BC 的模等向量，再通過向量的計算法則對向量進行轉化.7. 已知向量3(sin , ),(cos , 1)4axbx ()當/ab時， 求2cossin2xx的值； ()設函數(shù)( )2()f xabb，已知在 ABC 中，內角A、B、C的對邊分別為abc、 、，若36sin, 2, 3Bba,求 62cos4Axf（0,3x）的取值范圍【知識點】向量的運算；正弦定理；三角函數(shù)的誘導公式.16解： （1）33/ ,cossin0,tan44abxxx 22222cos2sin cos1 2tan8coss

45、in2sincos1tan5xxxxxxxxx（2）( )2()2sin(2)4f xabbx+32由正弦定理得2sin,sinsin24abAAAB可得所以或43A因ab ，故4A 62cos4Axf2sin(2)4x12,0,3x112,4412x,所以 21262cos4123Axf【思路點撥】 （1）按向量的數(shù)量積運算求出3tan4x ，代入所求算式.（2）利用正弦定理求出角 A，代入函數(shù)化簡求取值范圍.點評：(1)對于三角求值問題的規(guī)律是把角向統(tǒng)一的角轉化，注意降次或升次問題 （2）三角求值， 求單調性， 求周期等問題， 要把式子轉化成一個三角函數(shù)的形式再按角的范圍求值.8. 已知A

46、BC三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c, 且3 sincoscaCcA，(1)求角A(2)若a=2 3,ABC的面積為3,求ABC的周長.【知識點】余弦定理；正弦定理.解： （1）由 c=asinC+ccosA，利用正弦定理化簡得：sinC=sinAsinC+sinCcosA，sinC0，sinA+cosA=1，即 2sin（A+）=1，sin（A+）= ，又 0A，A+，則 A+=，即 A=；（2）ABC 的面積 S= bcsinA=，sinA=，bc=4，由余弦定理知 a2=b2+c22bccosA=b2+c2+bc，得 a2+bc=（b+c）2，代入 a=2，bc=4，解得：b+c=4，則ABC 周長為 4+2【思路點撥】 （1）已知等式利用正弦定理化簡，根據(jù) sinC 不為 0，得到關系式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的三角函數(shù)值，利用特殊角的三角函